小學生數學“思維經驗”的習得策略

陸志杰

摘 要：數學思維經驗是學生解決數學問題的營養基，是孕育學生創造性思維的溫床，思維經驗的積累能夠有效引領、助推學生的數學學習。在數學教學中，教師要有意識地幫助學生從已有知識、點狀知識以及相關知識中積累思維經驗，發展思維經驗，提升思維經驗，依次助推學生數學學習，不斷促進學生數學核心素養的形成。

關鍵詞：數學學習；思維經驗；習得策略

美國著名教育家杜威先生在《民主主義與教育》中曾經這樣說：“教育即學生經驗的改造或重組”“一盎司經驗勝過一噸理論”。事實上，學生的經驗不同于知識，知識是系統性、公共性的，而經驗則是碎片化、個體性的。經驗亦不同于能力，能力是外顯的，而經驗則是內隱的。學生的數學活動經驗包括“實踐經驗”和“思維經驗”。所謂“思維經驗”，是指學生在思維活動中所產生的過程性體驗，這種過程性體驗是一種素樸的、直接的感性認識。學生數學思維經驗是孕育學生創造性思維的溫床，可以有效地引領、助推學生的數學學習，促進數學素養的提升。

一、直觀：從已有知識中孕育思維經驗

學生數學思維經驗是學生數學活動的伴生產物。學生數學學習總是在學生已有知識基礎上的再建構、再創造。教師可以引導學生從已有知識中孕育思維經驗。如在學生的數學學習中，教師可以引領學生展開思考：這部分新知和什么有關系？有什么關系？這種關系對嗎？怎樣驗證？……這樣，通過一系列對新知的感知、審視和對舊知的反思、回顧，學生能夠從已有知識中孕育思維經驗，促進新的認知。譬如，對于《平行四邊形的面積》這一教學內容，教師可以先畫一個平行四邊形，讓學生思考：平行四邊形的面積與平行四邊形的什么有關？學生根據直觀圖以及長方形面積的相關知識，紛紛產生自己的數學猜想：底×鄰邊、高×鄰邊、底×高等。然后教師可以給學生提供一個活動的平行四邊形框架，學生在推拉平行四邊形框架的過程中不難形成這樣的認識：平行四邊形的面積在不斷變化，極端情況下平行四邊形似乎變成了一條線，面積約等于零。平行四邊形的底以及鄰邊始終沒變，只有高發生了變化，因此平行四邊形的面積與高一定有關系。那么，平行四邊形的面積與高之間到底有怎樣的關系呢？接著，教師可以引導學生抓住高，展開深度探究，將平行四邊形放到方格圖上，用數方格的方法對猜想進行逐個篩選，產生“平行四邊形的面積等于底×高”的初步結論。在數方格的過程中，由于有些格子不滿1格，有學生自然地想到剪切、平移，轉化成整格數來數。在這個過程中，學生萌發了對平行四邊形進行剪、移、拼轉化成長方形的問題解決思路，為正式的數學實驗奠定了思維活動基礎。最后引導學生展開數學操作，將平行四邊形轉化成長方形。學生有的將平行四邊形分割成一個直角三角形和一個直角梯形，有的將平行四邊形分割成兩個直角梯形。在這個過程中，學生深刻感受到，只有沿著高剪開，才能產生直角，否則如果斜著剪，平移后還是平行四邊形。至此，學生領悟到必須沿著平行四邊形的高進行剪、移、拼的合理性，數學的思維經驗得到了提升。

直觀開啟了學生數學發現、數學探究的大門。學生正是在觀察、聯想、想象中孕育出豐富的思維經驗。盡管這種經驗是懵懂的，需要教師的幫扶，但這是學生基于自己已有知識經驗基礎上的主動發現、探究，因此倍顯珍貴。在不斷實踐中，筆者越來越真切地感受到：學生的已有知識是孕育數學思維經驗的孵化器，這種萌發出的思維經驗能夠逐步讓學生的數學認知從模糊走向清晰，并不斷深入，最終形成對數學知識的深刻洞察。

二、反思：從點狀知識中發展思維經驗

圍繞一個個具體的知識點而生發的思維經驗，我們稱之為“點狀經驗”。這種點狀的思維經驗是感性的，也是極不牢固的。如何讓學生的感性的思維經驗走向知性，如何固化他們點狀的思維經驗，在教學中，筆者嘗試有意識地引導他們對已有的思維經驗展開反思，讓他們對自我的思維經驗進行梳理、組織，以求形成穩健的思維基礎。例如，在教學《三角形的內角和》一節時，我們通常選擇的教法是：教師首先引導學生量三角形的三個內角，并算出內角和，在此基礎上讓學生提出各自的猜想，然后運用各種方法對猜想進行驗證，如剪拼法、折疊法、作平行線法等，最后形成數學結論。在整個數學實驗過程中，教師注重的是探究方法的多樣化。其實，在教學中，我們更應該對各種探究法進行反思，尋找各種探究法背后的共同特點、思維方式，即“為什么要測量？”“為什么剪拼？”“為什么要折疊”等。通過這些對數學操作本質的反思，學生的數學思維將會被我們向縱深處推進。課堂上，學生通過小組合作比較，深入理解了操作背后的數學本體性目的：量角的目的是為了求三個角的和；拼折角的目的是為了將三個角放在一起，形成平角。因此，無論是“測量法”還是“剪拼法”“折疊法”等，都是為了同樣的目的——把三個角“合”起來，“合”是隱藏在其中的數學思維經驗。在這里，反思比操作更重要，因為反思能夠讓學生的思維經驗得到提升。如在《三角形的面積》教學后，筆者還引導學生做適度拓展，將“三角形的內角和”向“多邊形的內角和”進行拓展。由于學生剛剛學習了“三角形的內角和”，因此部分學生迅速萌發了將多邊形分割成三角形的想法。在學生合理的數學猜想基礎上，教師引導學生展開數學操作。學生將多邊形分成了若干個三角形。但是，有的分法不是從多邊形的一個點出發的，有的分法卻是從一個點出發的。引導學生進行比較，學生發現，從一個點出發更有序、更科學、更易于操作。對于拓展性問題，教師可以點燃學生的思維火把，讓學生將之帶至課后繼續探究。這時候的學生，其思維已不再停留在機械的操作層面，而是有了更深的數學內涵、意義和價值。

我們孜孜以求的是，學生對數學知識的認知不僅要“知其然”，更要“知其所以然”，要深入數學知識的腹部，深入數學知識的靈魂深處。在數學教學中，積極有效地引領學生對數學知識的探究過程展開反芻、咀嚼，可以切實培養學生的反思意識，形成學生的反思習慣，繼而在他們主動地反思與追問中發展數學思維經驗。

三、類化：從相關知識中提升思維經驗

數學是一門系統性、結構性很強的學科。一般情況下，教師往往關注知識點的聯結。其實，如果從思維發生的機理來看，許多相關知識的思維基礎也是相通的。教學中，教師要打通不同知識點背后的思維脈絡，幫助學生形成“思維鏈”。思維經驗的整合即是對思維經驗進行類化、聯結和結構化。像蘇教版小學數學教材里，小數乘法、除數是小數的小數除法、平行四邊形面積、梯形面積、圓的面積等知識考量的是學生的轉化思維；“數的組成”“數線段”“數圖形”“搭配的學問”“雞兔同籠問題”等知識考量的是學生的有序思維，即“既不遺漏，也不重復”；數的組成、多位數乘一位數的簡便運算、組合圖形面積的計算等知識考量的是學生分與合的數學思維；間隔排列、周期問題、平移中的對應點、軸對稱圖形關于對稱軸的對稱點、分數的乘除法應用題中量和率的對應等知識考量的是學生的對應思維等。教學中，教師要有意識地幫助學生類化相關知識，積累思維經驗。

以“轉化思維”的經驗培養為例，在蘇教版小學數學教材中，五年級上冊學習小數乘法，必須引導學生轉化成整數乘法，除數是小數的小數除法必須引導學生轉化成除數是整數的除法；五年級上冊學習的平行四邊形面積，必須引導學生轉化成長方形的面積，三角形、梯形面積等必須引導學生轉化成平行四邊形的面積，由此積淀學生轉化的思維經驗。如此，學生到了五年級下冊學習圓的面積時就能有意識地探尋將圓轉化成已學的圖形，如長方形、平行四邊形、梯形、三角形等。而在六年級下冊學習圓柱體積、圓錐體積時也能自然地萌發轉化的思維策略。

在數學教學中，盡管知識外在的表征形態各不相同，但許多知識都蘊藏著共同的數學思維模式。教學中，教師要打破知識關節，打破知識壁壘，甚至打破知識界別，尋找不同知識背后相同的思維節點，幫助學生積累思維經驗，探尋形成不同數學知識的共同思維模式，形成思維鏈、思維塊等，由此將學生的低階思維提升至高階思維。這些高階的數學思維經驗是學生解決數學問題的營養基，能夠有效地內化為學生的數學核心素養，引領、助推學生的數學學習。

總之，作為一種策略性、方法性、模式性的數學活動經驗，學生的數學思維經驗的形成不是一蹴而就的，它是一個不斷深化、提升的過程。有些思維經驗更需要學生在運用中才能走向深刻、走向靈活。因此，教學中教師要充分提供變式，給學生提供運用數學思維經驗解決數學問題的機會，讓學生不斷積淀思維經驗、發展思維經驗、提升思維經驗。