融合BFGS的自適應蜂群算法在諧波平衡分析中的應用

南敬昌,張云雪,高明明

(遼寧工程技術大學 電子與信息工程學院,遼寧 葫蘆島 125105)

融合BFGS的自適應蜂群算法在諧波平衡分析中的應用

南敬昌,張云雪,高明明*

(遼寧工程技術大學 電子與信息工程學院,遼寧 葫蘆島 125105)

(*通信作者電子郵箱1455525715@qq.com)

針對諧波平衡分析中傳統算法存在初值限制,以及智能算法收斂速度慢的缺點,提出一種基于BFGS(Broyden-Fleteher-Goldfarl-Shanno)算法局部搜索策略的自適應蜂群算法。該算法在基本蜂群算法的基礎上引入非線性的動態調整因子代替蜂群算法搜索公式中的隨機變量,增加搜索的自適應性,并將BFGS算法運用到自適應蜂群算法后期求解,提高其局部搜索能力。實驗結果表明,改進算法較標準蜂群算法迭代次數減少51.9%,相對于傳統BFGS算法和部分改進智能算法均表現出較好收斂性能。

自適應蜂群算法;動態調整因子;BFGS算法;諧波平衡;非線性分析

0 引言

微波有源非線性電路的分析與設計一直是微波技術領域的主要工作,自20世紀80年代以來,諧波平衡法[1-2]被廣泛應用于射頻微波電路的非線性分析中。諧波平衡分析中算法求解過程較為耗時且精度不高。擬牛頓算法[3]每次迭代只需通過測量梯度的變換構造一個目標函數模型從而達到超線性收斂特性,避免了牛頓法中Hessen矩陣的計算,更適合現實大規模非線性電路的求解；但若初值遠離極值點將導致算法不收斂。文獻[4]引入伽遼金法以減少諧波分析時采用過采樣技術產生的多項式方程,從而降低求解維度；但在求解過程中計算目標函數一階導數及Hessen矩陣時增加了算法的計算復雜度。針對以上問題,文獻[5]提出擬牛頓粒子群算法,可有效避免傳統算法對初值的限制,且無需進行目標函數導數計算,在一定程度上加快了算法后期收斂,但粒子群算法易陷入局部最優,導致求解精度受限;文獻[6]提出的混合蟻群算法雖提高了算法后期收斂速度,但由于蟻群算法迭代初期信息素匱乏,算法初期仍存在收斂較慢的問題。針對以上算法的問題和不足,有必要去探索新型智能、高效的算法來提高收斂速度及求解精度。

人工蜂群(Artificial Bee Colony,ABC)算法[7]作為一種新興的群智能優化技術,由于其控制參數少、易于實現、計算方便等優點,近幾年備受學者關注。文獻[8]受粒子群速度進化公式啟發,在蜜源搜索中引入“自我認知能力”和“社會認知能力”,提高了算法的尋優能力,同時加入互斥因子以保證種群的多樣性;文獻[9]引入擁擠距離保持種群的多樣性,并根據帕累托最優理論改進跟隨蜂選擇概率,在保持種群多樣性的同時提高了求解精度;文獻[10]將正交學習策略引入到搜索公式中,使產生的解更具搜索前景,增強了局部尋優能力;文獻[11]通過調整遞進步長使搜索精度提高,并引入了最大嘗試次數,從而加快算法收斂。上述文獻雖然針對ABC算法的不足提出了多種改進策略,但在平衡算法探索能力和開發能力方面仍需進行進一步的研究。

本文在標準蜂群算法的基礎上,為克服算法易陷入局部最優、后期收斂速度慢的缺點以及提高算求解精度,引入動態調整因子ω,使引領蜂由隨機搜索轉為向著當前最優解方向搜索,在保證遍歷性的同時減少了算法的迭代次數;參照文獻[5-6]的局部尋優策略,在收斂后期將BFGS(Broyden-Fleteher-Goldfarl-Shanno)算法融合到改進的蜂群算法中,將當前最優解作為BFGS算法的初始值,利用其快速收斂的優點提高改進算法后期的迭代速度。實驗結果表明,改進算法能有效應用于求解諧波平衡方程。

1 諧波平衡分析方程

對于大信號下的射頻電路,去除激勵源,可以把其大信號等效電路分為線性和非線性兩部分[12],根據Kirchhoff定律線性與非線性端口電流相等可得到諧波平衡方程,再采用適當的算法求解,進而可求出電路中任意元件上的電流和電壓值,且求得的值含有諧波,可以很好地描述電路中的非線性現象。

圖1為金屬-半導體場效晶體管(Metal-Semiconductor Field-Effect Transistor, MESFET)大信號模型電路模型[2],電路中的非線性網絡僅包含非線性元件,分別是壓控電流源Igs、Idg和Ids;線性網絡包含電路中所有的線性元件、源端阻抗、負載阻抗以及直流偏置和激勵,其中Zin和ZL分別為輸入、輸出匹配阻抗。Vs是輸入信號,Vg和Vd為柵極和漏極的直流偏置電壓。諧波平衡方程的頻域表達式如下:

(1)

其中線性網絡電流可表示為:

V4由直流偏壓Vg和基波偏壓Vs組成,V5由直流偏壓Vd組成。其中，V1、V2、V3即為所求,在求解算法中需對其進行初值設定。導納矩陣Y中的元素也都是矩陣形式,每一個子矩陣都是對角線矩陣形式,它的元素Ym,n是在每一個基本激勵頻率ωp的諧波k(k=0,1,…,K)上的分量。

Ym,n=diag[Ym,n(kωp)];k=0,1,…,K

(2)

電流矢量In是第n個端口的電流諧波：

非線性網絡中的Igs、Idg和Ids根據經驗公式[1]可表達為:

Igs=Ig0(eαfVg-1)

(3)

Idg=Ib0(eαrVdg-1)

(4)

(5)

其中:電流Igs受電容Cgs兩端的電壓Vg控制,Vg即為模型中的1端口電壓V1;Idg受電容Cdg兩端電壓Vdg控制；Vdg為模型中的2端口電壓V2;Ids與電壓Vg和Vd有關,Vd=Vds-IgRs-Id(Rd+Rs)。式(3)～(5)中的Ig0、Ib0、αf、αr、β、λ、b、VT和α利用MESFET直流特性得到。

最后諧波平衡方程可表達為:

(6)

f(V)即為電流誤差矢量,在求解過程中作為目標函數。

圖1 經分解的晶體管大信號電路模型Fig. 1 Decomposed large signal circuit model of the transistor

2 融合BFGS的自適應蜂群算法

針對蜂群算法后期收斂速度較慢,將引領蜂搜索公式進行改進,使其具有動態自適應性,在保證算法遍歷性的前提下加快局部收斂特性;同時在算法后期加入BFGS算法,使其達到快速收斂。

2.1 標準蜂群算法

蜂群算法[13-15]通過模擬蜜蜂采蜜機制處理函數優化問題。在求解優化問題時,食物源的位置即為解空間,優化問題的可行解的集合稱為一個種群,種群中每個個體(可行解)對應一個食物源,食物源的優劣程度取決于待優化問題的適應度值,可行解的個數等于引領蜂與跟隨蜂之和。諧波平衡方程可以看作是非線性函數最小值問題,可表示為minf(V),由式(1)得到適應度函數:

fiti=|f(Vi)|

(7)

下面對ABC算法求解諧波平衡方程的關鍵步驟進行介紹:

1)設置初始進化代數m=0,最大循環次數mMAX,標志向量bas(u)=0記錄每個個體(可行解)出現的次數。在m=0時刻,算法根據式(8)隨機生成NP個個體V構成初始種群。

(8)

2)T=t時刻,對于第t代的引領蜂V(t),在其當前位置附近鄰域內,局部搜索新的食物源(可行解)搜索公式為:

(9)

其中:j∈{1,2,…,D};k∈{1,2,…,NP/2}隨機生成;rand()為區間[0,1]內的隨機數。對引領蜂局部搜索生成的Xi和目標個體Vi進行適應度值計算并比較,保留適應度值較小的個體,確保種群在進化方向上不出現退化。

(10)

(11)

4)當某一個引領蜂對應的食物源經多次搜索后仍為發現的最優位置,即bas(u)≥limit(limit為設定的淘汰條件),對應的個體被淘汰并按式(8)搜索產生新個體。此淘汰機制可避免種群多樣性喪失,防止種群陷入局部最優值。

5)若滿足終止條件,算法停止迭代,輸出最優食物源位置(最優解)；否則跳轉至步驟2)繼續執行。

2.2 BFGS自適應蜂群算法

2.2.1 搜索公式改進

標準蜂群算法的鄰域搜索公式通過隨機變量控制鄰域食物源位置搜索,存在很大的盲目性,從而影響了算法的收斂速度。由于諧波平衡方程呈現非線性,故在改進搜索公式時考慮引入非線性的動態調整因子。本文將自適應動態調整因子ω代替搜索公式中的隨機變量,在保證算法遍歷性的同時加快算法的收斂速度。改進搜索公式如下:

(12)

其中：ωmax、ωmin分別表示自適應動態調整因子ω的最大值和最小值;fiti代表引領蜂當前的適應度值;fitavg表示平均適應度值;fitmin表示最小的適應度值。自適應調整因子隨著適應度值而自動改變，因此使得改進的搜索公式具有自適應性。

對于適應度值小于平均適應度值的引領蜂，其對應的自適應調整因子較小，從而保護了這個引領蜂所在蜜源; 反之，對于適應度值大于平均適應度值的引領蜂，其對應的自適應調整因子較大，增大搜索的全局性，使其向較好的蜜源靠攏。

2.2.2 BFGS算法

BFGS算法是一種應用最為廣泛的擬牛頓算法[16],不需要計算Hessen矩陣,同時保存了牛頓算法的超線性收斂特性。為加快蜂群算法的局部搜索特性,本文將BFGS算法融合到自適應蜂群算法求解中,BFGS算法校正公式如下:

當蜂群算法運行達到最大的循環次數mMAX時,將蜂群算法當前最優解作為BFGS算法的初值V(0),具體步驟如下:

步驟1 給定初值點V(0),設定H0為I,I為單位矩陣,精度εMAX。

步驟2 判斷f(V(0))≤εMAX,若成立輸出結果V(0)；否則令q(k)=-Hk▽f(V(k)),k=0。

步驟4 判斷f(V(k+1))≤εMAX,若成立則輸出V(k+1)，否則轉至步驟5。

步驟5 通過校正公式得到Hk+1,其中Sk=V(k+1)-V(k),yk=▽f(V(k+1))-▽f(V(k)),令q(k)=-Hk+1▽f(V(k+1)),k=k+1,轉至步驟3。

2.2.3 融合BFGS算法的自適應蜂群算法

改進算法求解f(V)的流程如圖2所示。

圖2 改進算法流程Fig. 2 Flow chart of improved algorithm

步驟1 初始化種群,自適應蜂群算法最大循環次數mMAX,改進算法全局最大循環次數nMAX,誤差精度εMAX,初始進化代數m,標志向量bas(u),根據式(8)生成初始解,計算每個解的適應度。

步驟2 取適應度值較小的一半個體為引領蜂,根據式(11)進行自適應搜索產生新解X,并計算各解向量的適應度函數值。

步驟3 根據式(10)進行貪婪選擇,若Xi的適應度值小于Vi,則用Xi代替Vi,將Xi作為當前最優解；否則保留Vi。

步驟4 計算選擇概率Pi,跟隨蜂根據Pi選擇食物源,根據式(12)進行鄰域搜索產生新解Xi,并計算各解向量的適應度函數值。

步驟5 對跟隨蜂搜索產生新解的適應度函數值與原跟隨蜂種群中解的適應度函數值根據式(10)進行貪婪選擇。

步驟6 判斷是否有需要放棄的解,若bas(u)≥limit,偵查蜂根據式(8)生成一個新解代替原個體。

步驟7 判斷是否滿足精度εMAX,若達到精度要求，即ε<εMAX，則輸出當前解。反之,判斷是否達到自適應蜂群算法最大的循環次數mMAX,若m≥mMAX,轉至步驟8；否則轉至步驟2。

步驟8 將得到的當前較優解作為BFGS算法的初值V(0),繼續進行迭代,當滿足精度εMAX或達到最大循環次數nMAX時,算法結束,輸出當前解；若不滿足,繼續按步驟8進行迭代。

2.3 時間復雜度分析

融合BFGS的自適應蜂群算法與標準蜂群算法在搜索策略和后期迭代方式上均有不同,因此,需要對改進蜂群算法的時間復雜度進行分析。設種群大小為NP,算法(迭代一次)的時間復雜度分析如下:引領蜂進行局部搜素的時間復雜度為O(NP),計算蜜源適應度值和蜜源擇優更新的時間復雜度均為O(NP),跟隨蜂采用輪盤賭方式進行跟隨的時間復雜度為O(NP2),之后進行局部搜索和蜜源更新的時間復雜度均為O(NP),偵查蜂階段進行蜜源更新的時間復雜度為O(NP)。搜索公式更新后的蜜源的局部搜索時間復雜度仍為O(NP),BFGS算法的時間復雜度為O(NP)。

綜上所述融合BFGS的自適應蜂群算法的最差時間復雜度為O(NP2),同理,標準蜂群算法的最差時間復雜度為O(NP2),所以改進蜂群算法并沒有增加原始算法的時間復雜度。

3 仿真分析

本文選用MRF6S19060N晶體管,用Matlab軟件進行電路建模分析,建立并計算諧波平衡方程。晶體管漏極直流電壓VDS=28 V,漏極靜態電流IDQ=0.632 A,柵極偏壓VGS=2.7 V,工作頻率為1.96 GHz,輸入功率為20 dBm,源端阻抗和負載阻抗均為50 Ω。改進蜂群算法部分參數設置如下：NP=40，ωmax=0.9，limit=30，ωmin=0.6。

3.1 算法收斂時間分析

本次實驗選取諧波數目K分別為8和16,mMAX=50,將誤差精度作為算法終止條件,精度選取如表1所示,在每個誤差精度下隨機進行20次獨立實驗。為了驗證本文算法的性能,分別與求解諧波平衡的基本算法(BFGS算法)、改進粒子群算法[5]、混合蟻群算法[6]比較分析。

表1 算法平均收斂時間Tab. 1 Average convergence time of the algorithm

如表2所示,本文改進算法相對于BFGS算法,在求解較高精度解以及高諧波的條件下,收斂速度明顯提高;較文獻[5-6]算法在相同精度和諧波數的情況下,收斂時間均有不程度的減少。

3.2 收斂可靠性分析

分別采用BFGS算法、標準蜂群算法和本文改進算法隨機進行100次獨立實驗,將最大迭代次數100作為算法終止條件。表2給出了3種算法求解諧波平衡方程的收斂可靠性。

表2 收斂可靠性對比 %Tab. 2 Comparison of convergence reliability %

由表3可以看出,融合BFGS的自適應蜂群算法收斂可靠性達到100%;標準蜂群算法由于后期收斂速度較慢,其收斂可靠性僅為21%;擬牛頓算法受初值選取的限制,收斂可靠性為64%。由此證明改進算法很好地解決了擬牛頓算法的初值依賴問題,提高了算法的收斂可靠性。

3.3 算法收斂性能分析

圖3是標準蜂群算法與本文改進算法求解諧波平衡方程的迭代曲線,標準蜂群算法需迭代108次,而本文改進算法迭代52次便完成收斂,相對于標準蜂群算法迭代次數減少51.9%,可見,融合BFGS算法的自適應蜂群算法在后期迭代次數明顯減少。改進算法迭代曲線始終處于標準蜂群算法迭代曲線下側,是由于改進后的搜索方程具有自適應性,加快了算法整體的迭代速度。

圖3 融合BFGS的自適應蜂群算法與標準蜂群算法迭代對比Fig. 3 Iterative comparison of adaptive bee colony algorithm with BFGS and standard bee colony algorithm

3.4 算法應用驗證

電路仿真中,由于存在非線性元件,導致整個電路出現非線性現象,在工程設計中通常考慮二次、三次諧波對電路的影響,故表3給出了計算所得柵極和漏極基波、二次和三次諧波電壓。

表3 柵、漏極電壓諧波 VTab. 3 Gate, drain voltage harmonics V

圖4描述了單音輸入時的諧波特性,當輸入小于30 dBm時,隨著輸入功率的增大,基波輸出功率隨之增加,當輸入大于30 dBm時輸出功率產生壓縮特性,逐漸趨于飽和,表現出功放的非線性特點;二次諧波由于晶體管內部的特性,增大到一定程度達到飽和,并逐漸減小;三次諧波隨著輸入功率不斷增加,并且輸出功率逐漸超過二次諧波。圖4～5中直線表示實測數據,點表示仿真數據。

圖4 單音輸入諧波特性Fig. 4 Characteristics of single input harmonic

圖5為1 958.75 MHz和1 961.25 MHz雙音信號等功率輸入的諧波特性曲線圖,基波和三階交調波的輸出功率都隨著輸入功率的增大而不斷增大,而基波的增大速度逐漸減小。從圖4～5可以看出,實測曲線與仿真曲線基本吻合,證明本文改進算法在諧波平衡分析中應用成功。

圖5 雙音輸入諧波特性Fig. 5 Characteristics of two tone input harmonic

4 結語

本文針對分析射頻功率放大器時所建立的諧波平衡方程,提出一種新的求解算法,即融合BFGS的自適應蜂群算法。該算法將動態調整因子引入到食物源更新機制中,加快算法向全局最優值的搜索進程,后期采用基于BFGS算法的局部尋優策略進行快速求解,以克服蜂群算法后期收斂速度慢的缺點。仿真結果表明,本文提出的改進蜂群算法成功應用于諧波平衡分析,并且可有效減少收斂時間,提高諧波平衡方程求解效率。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61372058), the Key Laboratory of Universities and colleges Program of the Liaoning Province (LJZS007), the Scientific Research General Program of Liaoning Provincial Department of Education (L2015209).

NAN Jingchang, born in 1971, Ph. D., professor. His research interests include radio frequency circuit and device, multimedia information coding, communication system simulation.

ZHANG Yunxue, born in 1991, M. S. Her research interests include harmonic balance equation solving algorithm for radio frequency power amplifier.

GAO Mingming, born in 1980, Ph. D., associate professor. Her research interests include wireless communication, radio frequency communication.

Adaptive bee colony algorithm combined with BFGS algorithm for microwave circuit harmonic balance analysis

NAN Jingchang, ZHANG Yunxue, GAO Mingming*

(SchoolofElectricsandInformationEngineering,LiaoningTechnicalUniversity,HuludaoLiaoning125105,China)

In view of the shortcomings of the initial value limitation of traditional algorithms and slow convergence speed of intelligent algorithms in harmonic balance analysis, an adaptive bee colony algorithm based on local search strategy of Broyden-Fleteher-Goldfarl-Shanno (BFGS) algorithm was proposed. Based on the basic bee colony algorithm, nonlinear dynamic adjustment factor was introduced to replace the random variables in the formula, thus improving the adaptability of searching. Meanwhile, BFGS algorithm was applied to the later period of bee colony algorithm to speed up the local search capability. Simulation results show that compared with the standard bee colony algorithm, the number of iterations of the improved algorithm was reduced by 51.9%, and the proposed algorithm has better convergence performance compared with the traditional BFGS algorithm and some other improved intelligent algorithms.

adaptive bee colony algorithm; dynamic adjustment factor; Broyden-Fleteher-Goldfarl-Shanno (BFGS) algorithm; harmonic balance; nonlinear analysis

2016-10-10;

2016-11-25。

國家自然科學基金資助項目(61372058);遼寧省高校重點實驗室項目(LJZS007);遼寧省教育廳科學研究項目(L2015209)。

南敬昌(1971—),男,河南滑縣人,教授,博士,主要研究方向:射頻電路與器件、多媒體信息編碼、通信系統仿真; 張云雪(1991—),女,天津人,碩士,主要研究方向:射頻功率放大器諧波平衡方程求解算法; 高明明(1980—),女,內蒙古平莊人,副教授,博士,主要研究方向:無線通信、射頻通信。

1001-9081(2017)05-1516-05

10.11772/j.issn.1001-9081.2017.05.1516

TN711.4

A