Tripod并聯機器人工作空間完全解析與實驗驗證

牟家旺 于 今 吳超宇 程 敏，2 錢小吾

(1．重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044;2．浙江大學流體動力與機電系統國家重點實驗室，杭州310027; 3．鎮江高等專科學校數理化工系，鎮江212002)

Tripod并聯機器人工作空間完全解析與實驗驗證

牟家旺1于 今1吳超宇1程 敏1，2錢小吾3

(1．重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044;2．浙江大學流體動力與機電系統國家重點實驗室，杭州310027; 3．鎮江高等專科學校數理化工系，鎮江212002)

針對Tripod并聯機器人工作空間一般用數值搜索方法研究，難以給出邊界曲面準確表達的問題，提出一種曲面掃略分析與機械結構形位分析結合的方法來解析Tripod并聯機器人的工作空間。以正逆解的算法為基礎，得到并聯機器人各單開鏈掃略空間范圍及其包絡曲面表達式，用三維軟件布爾運算得出各支鏈公共的工作空間，在考慮虎克鉸約束和桿件干涉的情況下，再依據機械結構形位分析得到機器人實際工作空間及邊界曲面表達式，并對工作空間的奇異性進行了分析。通過三坐標測量儀器測出實際的工作空間與理論分析解析出來的空間進行對比來驗證解析方法的正確性，從而為機器人機械結構參數設計和工作空間計算奠定基礎。

并聯機器人;曲面掃略分析;形位分析;工作空間;邊界曲面表達式

引言

自從CLAVEL［1］提出Delta三自由度并聯機器人以來，由于其具有更好的承載能力、運動精度和剛度而被廣泛應用于工程中，也一直是國際上研究的熱點。國內外研究的少自由度并聯機器人多為轉動副的Delta機器人，而Tripod并聯機器人是以平移副代替轉動副，在大尺寸結構參數的情況下，電機的負載轉動慣量更小，有更好的應用前景。在把并聯機器人應用于工程實際過程中，首先需要解決的問題就是確定一個已知機械結構參數的機器人工作空間。現有Tripod并聯機器人并聯空間的研究很多，大多采用數值法中的三維搜索法［2－3］或者用計算機輔助模擬法確定工作空間［4］。GOSSELIN［5］則利用圓弧相交的方法來確定6自由度并聯機器人的定姿態工作空間，并給出了工作空間的3維表示，此法以求工作空間的邊界為目的，且可以直接計算工作空間的體積。FICHER［6］采用固定6個位姿參數中的3個姿態參數和一個位置參數，而變換其他2個參數研究了6自由度并聯機器人的工作空間。MASORY等［7］同時考慮到各關節轉角的約束、各桿長的約束和機構各構件的干涉來確定并聯機器人的工作空間，且采用數值積分的方法計算工作空間的體積，比較接近實際。采用數值法雖然直觀，但是存在計算時間長，邊界曲面存在誤差，不能求解完全的解。LI等［8］提出一種綜合考慮空間利用率和全局空間靈活度的工作空間優化方法，其核心的工作空間求解還是采用數值搜索法。

相對于解析法，數值法求解無法獲得準確的邊界曲面方程，只能有直觀的認識，無法準確獲取空間尺寸與機械結構尺寸的數學關系，從而無法根據空間需求定向地調整機械結構參數［9－11］。

本文采用曲面掃略分析結合機械結構形位約束的數形方法，以正逆解［12－14］的算法為基礎，分析方程特點得到并聯機器人單開鏈子空間范圍，求解邊界曲面的解析表達式，從而得出空間尺寸與機械結構尺寸的關系，為以空間尺寸為標準的設計提供理論依據。

1 Tripod機器人運動學模型建立

Tripod并聯機構由上、下2個等邊三角形平臺及3條完全相同的支鏈組成，如圖1所示，每條支鏈都由1個平移運動的電缸(平移副P)和1個平行四邊形機構組成，電缸與上面靜平臺以一個固定角度固連，電缸滑塊與平行四邊形機構以虎克鉸(U副)連接，平行四邊形與下面的動平臺也以虎克鉸(U副)連接。由空間自由度計算公式可知，此機構有3個自由度，動平臺只能實現3個方向的平動。根據運動副的連接順序，Tripod機器人又叫3-PUU型并聯機器人。

圖1 并聯機器人三維模型Fig．1 3-Dmodel of parallelmechanism

在靜平臺上固連基坐標OXYZ，坐標原點位于靜平臺中心，X軸過點A1，Y軸平行于A2A3。OA1到A1B、OA2到A2B、OA3到A3B的轉角分別為α1、β1、θ1，靜平臺為邊長為L的等邊三角形，動平臺為邊長為R的等邊三角形，平行四邊形桿件機構簡化為一個桿，如圖2中CiDi長度為M。滑塊距離Ai點的距離為滑塊的滑行距離si;根據桿長約束建立方程式

圖2 并聯機器人運動簡圖Fig．2 Kinematic diagram of parallelmechanism

設坐標系OXYZ中Ci、Di的坐標為(xi，yi，zi)、(Xi，Yi，Zi)，則式(1)可整理為

以第2條支鏈為例，平移坐標系OXYZ原點到A2得到坐標系O'X'Y'Z'，繞Z'軸逆時針旋轉坐標系O'X'Y'Z'，角度為β1，使X軸平行于OA2得到坐標系O″X″Y″Z″，再繞Y″軸順時針旋轉坐標系O″X″Y″Z″，角度為 β2，使 Z″軸平行于電缸方向得到坐標系OXYZ。則在坐標系OXYZ下C2點的坐標為(H，0，s2)，則在坐標系OXYZ下的坐標(x2，y2，z2)為

在動平臺上固連坐標系O1X1Y1Z1，坐標原點位于動平臺中心點 O1，X1軸過點 D1，Y1軸平行于D2D3。在坐標系OXYZ中，令坐標系O1X1Y1Z1的原點坐標為(X，Y，Z)，研究機器人的工作空間即研究動平臺中心點，即O1(X，Y，Z)可到達的運動空間，則D2坐標為

在已知電缸行程 s1、s2、s3情況下，3個未知數3個方程聯立方程式(5)～(7)得到動平臺中心坐標(X，Y，Z)，即為3-PUU機器人運動學正解;在已知動平臺中心坐標(X，Y，Z)的情況下聯立方程式(5)～(7)得到每個電缸的行程si，即為3-PUU機器人運動學逆解。

2 工作空間解析

觀察式(5)～(7)為空間球面方程形式，令所描述的球面分別表示為ψi(i=1，2，3)。球心的坐標在機械結構參數L、R、H、αi、βi、θi為定值時，球面ψi只隨著si的變化而移動。當電缸的行程si變化時，圓心的軌跡分別為

上述3條軌跡分別記作Li(i=1，2，3)。當電缸的行程si變化時，球面ψi的圓心沿著空間直線Li連續移動，球面ψi掃過的三維空間就是動平臺中心O1在支鏈i約束下的變化范圍，如圖3所示。

圖3 單開鏈子空間邊界截面圖Fig．3 Sectional view of single-open-chain sub-space boundary

根據球面在空間中的掃略過程分析可知，每個支鏈空間的外邊界面可分為3部分，前后兩端各有2個半球面，中間為空間圓柱面，圓柱面軸線過Li，如圖4所示。

圖4 單開鏈子空間三維圖Fig．4 3-D model of single-open-chain sub-space

當給定si變化范圍時，兩端球面的方程已知，則求解單支鏈運動空間邊界曲面方程的問題簡化為求中間空間圓柱面方程的問題。由于此空間圓柱面的準線和母線方程都容易求得，聯立2個方程，則可以求出空間任意方向圓柱面的表達式。由下文可知，圓柱面不是空間的邊界面，所以方程結果不在文中詳細描述。

根據上述分析，并代入并聯機器人機械結構參數:L=1 300.41 mm，R=103.923 mm，M=610 mm，H=98.5 mm，α1=－52°，β1=－120°，β2=－52°，θ1=120°，θ2=－52°。當3個支鏈約束下確定的3個三維空間求交集時，得到的公共空間就是動平臺中心O1在不考慮其他約束條件下的理想可達空間，如圖5所示。

圖5 理想可達空間三視圖Fig．5 Three views of ideal reachable space

結合機器人的機械結構形位特征，對上述可達空間進行形位分析。當式(5)～(7)中si取最小值時，得到的3個球面分別為3個支鏈中一條支鏈滑塊在上極限位置，另外2個支鏈滑塊任意運動得到的面。根據實際情況中電缸和平行四邊形連桿機構的安裝位置約束可知，動平臺中心O1只可能出現在以這3個球面為上邊界面的以下空間中，否則平行四邊形機構將會和電缸發生干涉，所以在上述動平臺O1理想可達空間中切去這3個球體的空間，得到考慮了桿件干涉、不考慮虎克鉸限制的可達空間，如圖6所示。

圖6 工作空間三視圖Fig．6 Three views ofworkspace

空間由上下各3個球面包絡出來，黑色上凹面是式(5)取si為最小值時確定的球面，黑色下凸面是式(5)取si為最大值時確定的球面，紅色上凹面是式(6)取si為最小值時確定的球面，紅色下凸面是式(6)取si為最大值時確定的球面，黃色上凹面是式(7)取si為最小值時確定的球面，黃色下凸面是式(7)取si為最大值時確定的球面。

3 虎克鉸約束分析

研究的Tripod機器人虎克鉸結構如圖7所示。

圖7 虎克鉸結構圖Fig．7 Diagram of Hooke hinge structure

與傳統的虎克鉸不同，所設計的虎克鉸第1個自由度的旋轉副U1在物理上沒有角度限制，可以360°的旋轉，旋轉軸為U1第2個自由度的旋轉副U2有角度限制，旋轉軸為U1，建立虎克鉸的簡化模型，如圖8所示。

過軸線U1，垂直于U2軸線創建平面2，其法向量設為n1;過U2旋轉副的對稱中心，平行于軸線U2并垂直于軸線U1創建平面1，其法向量設為n2。以第2條支鏈為例，由于旋轉副U1沒有結構上的角度限制，所以虎克鉸的約束主要來自于旋轉副U2，由結構特點可知，旋轉副U2的旋轉范圍關于平面1對稱，設桿件C2D2與平面1的夾角為γ21，所以與平面1的法向量n1的夾角為90°－γ21，根據幾何關系可知

圖8 虎克鉸角度說明圖Fig．8 Diagram of Hooke hinge angle

根據實際的結構限制可知，－40°≤γ21≤40°，由于n1為平面1的法向量，可得

由前文論述可知

將式(3)、(4)、(12)、(13)代入式(11)中，并代入機器人結構參數，可得

整理可得

同樣的方法可得到其他2條支鏈的方程，支鏈1為

支鏈3為

將上述表達式(15)～(17)表示成幾何描述即為工作空間必須為表達式所表示的6個平面包圍的范圍內，如圖9所示。

圖9 虎克鉸約束的范圍Fig．9 Range of Hooke hinge constraint

由圖9可知，用掃略分析結合機械結構形位分析方法得到的工作空間(圖6)都在虎克鉸約束范圍內，滿足虎克鉸約束條件。

4 奇異性分析

奇異位形是當機構進入某種臨界狀態時所具有的特定形態，在這種臨界狀態下，機構的實際自由度不再與理論自由度相等，即存在兩種情況:一是機構喪失了應有的自由度;二是機構獲得了額外的自由度。機構自由度的喪失意味著機構某種功能的喪失;機構獲得額外的自由度則意味著即使鎖定所有的驅動輸入，機構在外力的作用下仍能運動，導致機構失控。一般而言，機構奇異位形研究的內涵體現在2個方面:對于確定的機構，找出它的所有奇異位形以及如何有效地避免機構奇異位形。分析式(5)～(7)可知，其描述的是動平臺坐標O1(X，Y，Z)與電缸位移S(s1，s2，s3)的關系，可表示為

式中 Q——動平臺位置矢量

S——平移驅動副的位置矢量

對零矢量方程(18)中各分量Q、S、O分別對時間求導，可得

其中

由式(19)可知當det(JS)=0時，存在非零向量Q產生零矢量S，當det(JQ)=0時，存在非零向量S產生零矢量Q，第1種情況即為逆運動學奇異，給定一個指定的運動方向，卻得不到驅動的平移量，這一類情況多發生于機器人工作空間邊界處，所有圖5所示的工作空間邊界(其中包括單支鏈工作空間球體交界處)都是奇異位置，第2種情況即為正運動學奇異，給定驅動的平移量，末端動平臺位置矢量不變，即無論驅動如何運動，動平臺始終不變。由于這一類奇異位置會在工作空間內部，所以本文主要討論這一類奇異位置。令時，。將式(5)～(7)對時間t進行求導，得到

即J是該并聯機構的雅可比矩陣，當det(J)= 0時，表明機構位于奇異位，機構喪失一個自由度。求|J|=0，經過化簡得到

由此得到

則qw=lv，pw=ul，pv=qu，然后代入方程(5)～(7)。得到當X=Y=Z=0時，|J|=0，也就是靜平臺的原點位置時，此時上下平臺半徑相等，三分支平行，機構位于奇異位置。由于Z=0，所以靜平臺與動平臺在同一平面。但此位置實際上是機構不能達到的位置，所以工作空間除邊界外內部不存在奇異位置。

5 樣機工作空間掃描實驗驗證

為驗證所提出的工作空間解析方法的正確性，進行了樣機工作空間掃描實驗。實驗所用3-PUU并聯機器人如圖10所示，并聯機器人機械結構參數與上述理論分析的機器人參數相同。采用FARO公司激光跟蹤儀 Vantage(測試精度為(16+ 0.8)μm/m)和相應的輔助裝夾設備來實時測量動平臺中心的位置。

圖10 測試設備現場圖Fig．10 Scene diagram of test equipment

空間掃描方法具體如下:3-PUU機器人在手動模式下，選定一個Z平面進行掃描，掃描的軌跡為先從(X，Y)=(0，0)的點開始，X單軸運動到負極限位置，再將Y軸單軸在X、Z坐標固定的條件下從負極限運動到正極限位置，激光跟蹤儀以Y軸運動5 mm為一個步長，記錄一個點的坐標位置。當Y軸運動到正極限位置后，X坐標增加10mm，再重復上述Y軸操作，完成整個Z平面的掃描。測試現場圖如圖10所示。由于難以對機器人完整的工作空間進行直接對比，為了驗證理論計算的結果，任意選取2個Z切面來進行平面比較，比較理論計算和實驗測試得到的空間切面是否相同，驗證理論結果的正確性。由理論分析結果可知，工作空間上下兩部分的切面形狀存在較大的差異，所以在上下兩部分分別選取2個平面進行驗證，一個平面為Z=750 mm所對應的平面;另一個平面為Z=1 000mm所對應的平面;將理論分析空間切面和實驗測試空間切面的數據放一起對比，如圖11、12所示。

圖11 Z=750mm理論和測試數據對比Fig．11 Comparison of theory and test data of Z=750mm plane

圖12 Z=1 000mm理論和測試數據對比Fig．12 Comparison of theory and test data of Z=1 000mm plane

如圖11、12所示，2個切面的大小、形狀基本一致。為了證明理論和實際測試數據吻合，以每個測試邊界點為圓心畫圓，使每個圓與理論數據曲線相切，記錄每個圓的半徑。以測試點的X軸坐標為橫坐標，以對應圓的半徑為縱坐標，作出理論與測試數據分析圖，如圖13所示。

由圖13可知，2個平面的誤差范圍絕對值最大為3.337mm，都小于5mm，即小于一個步長。考慮到測試數據由于機器人安裝誤差、控制器運動控制誤差和測試誤差的細微影響，上述誤差在允許范圍內，可以證明理論和實際測試數據吻合，理論分析結果正確。

圖13 Z=1 000mm與Z=750mm平面誤差Fig．13 Error analysis of data of Z=1 000mm and Z=750mm plane

6 結論

(1)建立Tripod并聯機器人運動學模型，并得出了機器人運動學正逆解。

(2)在正逆解的基礎上，提出了一種Tripod并聯機器人工作空間解析方法:通過分析曲面掃略范圍結合機械結構形位約束得到工作空間包絡曲面的數學模表達，從而根據曲面表達式建立工作空間重要尺寸參數和機械結構參數之間的數學關系，從而獲得了精確的機器人三維工作空間表達式，解決了常用數值分析法所不能解決的問題。

(3)考慮了虎克鉸的限制，并做了理論分析，得出分析所得工作空間滿足虎克鉸的限制;并做了空間奇異性分析，沒有奇異點出現。

(4)最后，用實驗測試的空間三維掃描數據和理論計算工作空間進行對比，結果一致，證明了所提出的工作空間解析方法的正確性，從而為機器人工作空間計算、機械結構參數設計等提供了理論依據。

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Workspace Resolution of Tripod Parallel Manipulator and Experimental Verification

MOU Jiawang1YU Jin1WU Chaoyu1CHENG Min1，2QIAN Xiaowu3
(1．The State Key Laboratory of Mechanical Transmissions，Chongqing University，Chongqing 400044，China 2．State Key Laboratory of Fluid Power and Mechatronic Systems，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China 3．Department of Mathematics，Physics and Chemistry，Zhenjiang College，Zhenjiang 212002，China)

Aiming at the difficulty of using accurate analytical formulas to represent the Tripod parallel robotworkspace boundary surfaces，a method called surface-sweep analysis combined with the shape of mechanical structure analysis was proposed to give an accurate expression to the workspace of Tripod parallelmanipulator．On account of the Tripod parallel robot，the geometric model of the parallel robot was set up and the architecture of the parallel robot and the driving mode of the parallel robot were introduced．Based on the algorithm of forward and inverse kinematics solution，the scope of sweeping space and envelope surface expression of this sweeping space considering one of the robot parallel’s open chains were obtained．Then，the six envelope surfaceswere drawn in sequence and the overlap partof the six sweeping space was solved．In 3-D software，the public workspace can be obtained by using boolean operation algorithm．Then，under the consideration ofmechanical structure of shape analysis and physical constraints，the actual workspace and boundary surface expression of robot can be obtained．Furthermore，the singularity of the obtained workspace was analyzed．According to the comparison of workspacemeasured by the three coordinate measuring instrument and the workspace obtained by 3-D software，the validity of this analyticmethod was verified by using the error analysismethod，which layed foundation for the next step to figure out the influence ofmechanical parameters on the workspace and do some work on the size optimization of the parallel robot．

parallel robot;surface-sweep analysis;shape analysis;workspace;boundary surface expression

TP242

A

1000-1298(2017)07-0368-08

2016-10-31

2016-11-28

國家自然科學基金項目(51375507)、重慶市基礎與前沿研究計劃項目(cstc2016jcyjA0253)和流體傳動與機電系統國家重點實驗室開放基金項目(GZKF-201503)

牟家旺(1992—)，男，博士生，主要從事智能控制、機器人與流體傳動研究，E-mail:moujiawang@qq．com

于今(1964—)，男，副教授，主要從事流體傳動與智能控制、機器人研究，E-mail:yj93@cqu．edu．cn

10．6041/j．issn．1000-1298．2017．07．047