行星飛輪式滾珠絲杠慣容器設計與特性分析

葛 正 王維銳

(浙江大學機械工程學院，杭州310027)

行星飛輪式滾珠絲杠慣容器設計與特性分析

葛 正 王維銳

(浙江大學機械工程學院，杭州310027)

為提高滾珠絲杠型慣容器的慣容系數與飛輪質量之比(慣-質比)，提出了行星飛輪式滾珠絲杠慣容器設計方案。建立了慣容器力學模型，研究了慣容器各結構參數對飛輪慣-質比的影響規律，通過增加行星輪數量或厚度、減小銷軸半徑等提高行星輪自轉慣量占飛輪總慣量比重的方法，有效提高了慣-質比;根據行星輪數量、厚度和銷軸半徑，計算得到最優的行星輪與外齒圈齒數比，令慣-質比達到最大。對比了行星飛輪和傳統單飛輪慣容器的力學特性，表明在同等飛輪徑向尺寸下，行星飛輪可獲得更大慣-質比。最后通過試驗，驗證了理論分析的正確性。

慣容器;行星飛輪;滾珠絲杠;慣-質比

引言

2002年劍橋大學SMITH［1］根據電容的數學模型提出了一種新型的兩端點機械裝置Inerter，該裝置的受力與兩端點相對加速度成正比。由于慣容器在機械網絡中的動力學特性與電容在電學網絡中的特性相同，陳龍等［2］引入這一概念時，將其翻譯為慣性蓄能器或慣容器。

慣容器一方面具有質量塊所不具備的兩端特性(質量塊相當于單端接地的慣容器)，另一方面能取代質量塊并以較小的自身質量實現大慣性體的動力學特性，因此豐富了機械振動網絡的設計理論。如將動力吸振器中的質量塊替換為慣容器后，整體質量可降低90%以上，令輕型動力吸振器成為可能。該技術已被應用到車輛懸架、建筑等多個領域［3－7］。慣容器運用在車輛零部件的力學測試系統中，可進一步實現測試臺架與被測零部件的機械阻抗匹配，從而提高試驗臺架綜合性能。

當前慣容器的結構形式有滾珠絲杠型［8］、齒輪齒條型［9］、液壓馬達型［10］、液力發生型［11］、液力回旋型［12］等。其中滾珠絲杠型慣容器的摩擦力較小，能夠利用螺母的預緊力減小背隙影響，同等質量慣容系數較大，綜合表現較優［13］。由于滾珠絲杠慣容器的獨特優勢，目前針對安裝單個飛輪的滾珠絲杠慣容器的理論研究相對較為深入，并成為多種新型慣容器的結構基礎。一些學者研究了滾珠絲杠慣容器的固有特性［14－17］。一些學者則在滾珠絲杠慣容器的基礎上增設調節部件，形成可動態調節的新型慣容器［18－20］。

盡管當前對滾珠絲杠式慣容器有了較多研究，但對如何用更小的飛輪質量實現更大慣容系數的研究鮮有見述。尤其當飛輪徑向尺寸受限時，單飛輪慣容器無法通過改變其結構參數或增設定軸輪系提高其慣-質比放大能力。為進一步提高滾珠絲杠型慣容器的飛輪慣-質比，本文提出一種行星飛輪式滾珠絲杠慣容器，利用行星輪的公轉和自轉復合運動，增大慣容器的飛輪慣-質比。通過理論分析，建立慣容系數和慣-質比的數學模型，探明結構要素對慣-質比的影響規律。最后通過試驗驗證理論分析的正確性。

1 慣容器結構設計及慣容系數的理論分析

1.1 慣容器結構設計

如圖1所示，行星飛輪式滾珠絲杠慣容器的活塞桿和外殼分別為慣容器的2個運動端?；钊麠U左端加工有螺紋，外殼上設置有安裝法蘭，用于同其他部件連接。當慣容器2個運動端之間發生相對運動時，活塞桿沿著直線軸承和直線導軌方向推動螺母左右移動，螺母繼而將直線運動轉換為絲杠的旋轉運動。飛輪由行星飛輪架和多個行星飛輪共同組成，行星飛輪架與絲杠一端固定，行星輪則通過外齒與外齒圈的內齒相嚙合。運動中，絲杠與行星飛輪架等速旋轉，行星飛輪則在飛輪架以及外齒圈的共同作用下，形成既有公轉又有自轉的復合運動。

圖1 行星飛輪式滾珠絲杠慣容器結構Fig．1 Structure of ball screw type inerter with planetary flywheel

1.2 慣容器的慣容系數解析

當齒輪模數相對于飛輪組徑向尺度較小時，為便于分析，假設行星輪、飛輪架及其上的軸銷都是均質圓柱體，外齒圈內半徑和飛輪架外半徑近似等于外齒圈分度圓半徑，行星輪半徑近似等于自身分度圓半徑。慣容器的原理簡圖如圖2所示(隱去了外殼僅保留行星飛輪、絲杠螺母和活塞桿部分)。

圖2 行星飛輪式滾珠絲杠慣容器原理圖Fig．2 Schematic diagram of planetary flywheel inerter

圖2中，x1、x2為兩端位移，R為外齒圈分度圓半徑，r為行星輪分度圓半徑，s為飛輪架軸銷半徑，l為行星輪厚度，L為飛輪架厚度，H為飛輪總厚度。

根據能量守恒定律得

式中 F——慣容器輸出力

N——行星輪數量

Js——飛輪架轉動慣量(含軸銷)

Jp——行星輪自轉轉動慣量

Jr——行星輪公轉轉動慣量

ωs——飛輪架-螺母相對角速度

ωp——行星輪自轉角速度

兩側同取微分得

式中 v1、v2——兩端速度

αs——飛輪架-螺母相對角加速度

αp——行星輪自轉角加速度

根據行星輪系的轉動關系有

將式(3)代入式(2)得

根據絲杠傳動關系有

式中 P——絲杠導程

a1、a2——兩端加速度將式(5)代入式(4)得

設飛輪架、行星輪密度為ρ，分別計算其質量和轉動慣量為

將式(8)代入式(6)得

因此行星飛輪式滾珠絲杠慣容器的輸出力與兩端相對加速度成正比，符合慣容器力學特性定義。其慣容系數為

由材料密度、絲杠導程、外齒圈分度圓半徑、行星輪分度圓半徑和厚度、飛輪架厚度和銷軸半徑、行星輪數量確定。

對式(10)做歸一化處理，得到慣容系數計算模型

其中

式中 Z1——行星輪齒數 Z2——外齒圈齒數

β——銷軸與行星輪分度圓半徑比

λ——行星輪與外齒圈齒數比

τ——行星輪與飛輪架厚度比

2 慣容器最優結構參數解析

機械網絡設計時，需根據使用要求，確定慣容器的慣容系數。由于慣容器能用小質量的飛輪實現大質量物體的動力學特性，因此慣容系數與飛輪質量比越大，則減質量效果愈加明顯。行星飛輪式滾珠絲杠慣容器的最優結構參數求解問題可以等效為慣容器在目標慣容系數約束下，求解結構參數令慣容器的慣-質比達到最大。

2.1 慣-質比的計算

對行星飛輪滾珠絲杠慣容器來說，其慣-質比為

式中 mp——行星輪質量

ms——飛輪架質量(含軸銷)

可見，行星飛輪式滾珠絲杠慣容器的慣-質比包括兩部分:第一部分受絲杠導程P和外齒圈分度圓半徑R影響;第二部分受飛輪數量N、行星輪與飛輪架厚度比τ、行星輪與外齒圈齒數比λ、銷軸與行星輪分度圓半徑比β影響。

減小絲杠導程能提高慣-質比，但會引起絲杠壽命和傳動效率降低，所以確定絲杠導程后，提高慣-質比的最有效途徑是增大飛輪的徑向尺寸，由于飛輪的徑向尺寸不可能無限增大。因此優化問題應在特定的絲杠導程和飛輪徑向尺寸下進行討論。

根據式(14)，當絲桿導程和飛輪徑向尺寸確定時，慣容器的慣-質比與G正相關，結構參數對G的影響規律等效于結構參數對慣-質比的影響規律，因

此慣容器的參數優化問題可表示為

2.2 結構參數對慣-質比的影響規律

將式(13)右側上下同除以Nτ得

可見慣-質比與行星輪數量N、行星輪與飛輪架厚度比τ正相關;同銷軸與行星輪分度圓半徑比β負相關。因此增大N、τ或減小β，即增加行星輪自轉慣量占飛輪總慣量的比重，有助于提高慣-質比。

λ、N、τ和β與G關系如圖3～5所示。

圖3 λ、N與G關系(τ=2，β=0.2)Fig．3 Relationship betweenλ，N and G(τ=2，β=0.2)

圖4 λ、τ與G關系(N=4，β=0.2)Fig．4 Relationship betweenλ，τand G(N=4，β=0.2)

圖5 λ、β與G關系(N=4，τ=2)Fig．5 Relationship betweenλ，βand G(N=4，τ=2)

由圖3～5可見，當λ∈(0，λmax)時，存在最優λopt令G達到最大。

2.3 行星飛輪慣容器的參數設計流程

根據上述分析，行星飛輪慣容器的參數設計流程為:①根據絲杠受力條件，選定導程P。②選定徑向空間允許的最大飛輪徑向尺寸Rmax。③選擇較大的飛輪數N和行星輪與飛輪架厚度比τ、較小的銷軸半徑比β。④根據式(20)計算最優齒數比λopt。⑤根據式(11)計算飛輪架厚度L。⑥根據目標慣容系數計算確定其他結構參數。

2.4 單飛輪和行星飛輪慣容器對比

對圖6所示的單飛輪滾珠絲杠慣容器來說，其慣-質比為

圖6 單飛輪滾珠絲杠型慣容器Fig．6 Ball screw type inerter with single flywheel

慣-質比由絲杠導程和飛輪徑向尺寸確定，與飛輪厚度無關。較小的絲杠導程或較大的飛輪徑向尺寸能獲得較大的慣-質比。

2種慣容器實現相同慣容系數時有

兩者飛輪徑向尺寸相同時，R=R'。由式(21)可知，當飛輪徑向尺寸受限時，單飛輪慣容器的慣-質比被鎖定，無法通過結構參數調整。2種慣容器的慣-質比關系為

兩者飛輪厚度關系為

因此，在飛輪徑向尺寸約束下，為達到相同的慣容系數，行星飛輪式慣容器的飛輪質量小于單飛輪慣容器，但需要相對較大的飛輪厚度。

3 試驗

3.1 樣機制作與臺架試驗

采用圖1所示結構方案，設計并制作行星飛輪慣容器。作為參照，同時制作4種采用不同結構參數的行星飛輪，以及與1號行星飛輪徑向尺寸和總厚度均相同的單飛輪。主要結構參數如表1所示。

表1 行星飛輪式滾珠絲杠慣容器零件結構參數Tab．1 Structure parameters of parts of ball screw typeinerter w ith planetary flywheel

通過對慣容系數的理論計算，并實測飛輪質量可知:對比2號和1號飛輪，行星輪數量從2增加到4后，飛輪慣-質比提高了20.4%;對比1號和3號飛輪，行星輪與飛輪架厚度比τ下降了66.7%，飛輪慣-質比降低了10.1%;對比1號和4號飛輪，雖然4號飛輪的銷軸半徑比β更大，但其齒數比(λ= 0.26)更接近最優齒數比(λopt=0.24)，飛輪慣-質比提高了4.6%;對比4號飛輪和單飛輪，在相同的徑向尺寸情況下，4行星飛輪的慣-質比相對單飛輪提高了17.3%，表現出顯著的減質量優勢。

制作2種飛輪以及慣容器樣機，如圖7、8所示。

圖7 行星飛輪與單飛輪樣機Fig．7 Prototype of planetary flywheel and single flywheel

搭建試驗臺架(圖9、10)，液壓缸固定在試驗臺承載框架的一端，慣容器通過前端法蘭面與試驗臺承載框架的另一端固定，液壓杠的作動桿前端安裝力傳感器，并通過連接器與慣容器的活塞桿連接。通過MOOG Portable控制器控制液壓缸，液壓缸驅動慣容器的活塞桿與其殼體產生相對運動。由NICompact-RIO數據采集系統實時采集慣容器活塞桿的位移和力信號并發送給計算機，供后續數據分析。

圖8 慣容器樣機Fig．8 Prototype of inerter

圖9 試驗臺架原理圖Fig．9 Schematic of test bed

圖10 慣容器樣機及試驗臺架Fig．10 Prototype of inerter and test bed

3.2 正弦輸入試驗

通過液壓作動缸，令慣容器活塞桿與外殼之間發生幅值為7 mm，頻率為5 Hz的正弦運動。記錄過程中慣容器兩端相對位移和作用力，作用力的時間響應曲線如圖11所示。

圖11 慣容器輸出力的時間響應(位移幅值7mm，頻率5 Hz)Fig．11 Time responses of output force of inerters

由圖11可見，慣容器輸出力均基本與理論計算結果相吻合，表明對慣容系數的理論計算是正確的。

3.3 隨機輸入試驗

通過液壓作動缸給1號行星飛輪和單飛輪慣容器輸入如圖12所示，頻率范圍為0.5～15 Hz的速度白噪聲，其功率譜密度函數(m2/Hz)為

式中 f——頻率，Hz

分析試驗數據，得到輸出力的功率譜密度和位移-輸出力傳遞特性(圖13)。由圖13可見，行星飛輪和單飛輪慣容器位移-力傳遞特性相似，表明在該頻段行星式飛輪可以替代單飛輪作為滾珠絲杠慣容器的慣性部件。其中低頻段，兩者的輸出特性基本相同，這主要是因為摩擦力的影響較大，慣容特性體現尚不明顯［14］;高頻段，兩者的位移頻響均隨頻率提高而增大，符合理想慣容器的特性規律，增益的差異主要是因為2種慣容器的慣容系數不同。

圖12 隨機輸入Fig．12 Radom inputs

圖13 慣容器輸出力的頻率響應Fig．13 Frequency response of output force of inerters

綜合圖11和圖13來看，行星飛輪與單飛輪慣容器的動態特性相似，但由于摩擦、粘滯等非線性因素，導致輸出力響應曲線均發生一定程度的畸變，輸出與理想慣容器有一定差異，其形成機理應進一步研究。

4 結論

(1)行星飛輪能用作滾珠絲杠慣容器中的慣性部件，并且相對單飛輪來說，能大幅提高滾珠絲杠慣容器的飛輪慣-質比。

(2)行星飛輪慣容器的慣-質比可通過多個結構參數進行調節，增加行星輪數量、加厚行星輪、減小飛輪架銷軸半徑，即提高行星輪的自轉慣量占飛輪總慣量比重，均能提高慣-質比。根據以上3個參數，可計算得到最優的行星輪與外齒圈齒數比，令慣-質比達到最大。

(3)相同徑向尺寸限制下，達到相同的慣容系數，行星飛輪組厚度大于單個飛輪。因此行星飛輪慣容器適用于對慣容器自重敏感而軸向空間相對充裕的場合。

1 SMITH M．Synthesis ofmechanical networks:the inerter［J］．IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(10):1648－1662．

2 陳龍，張孝良，江浩斌，等．基于機電系統相似性理論的蓄能懸架系統［J］．中國機械工程，2009，20(10):1248－1251．CHEN Long，ZHANG Xiaoliang，JIANG Haobin，et al．Vehicle suspension system employing inerter based on electricalmechanical analogy theory［J］．China Mechanical Engineering，2009，20(10):1248－1251．(in Chinese)

3 SHEN Yujie，CHEN Long，YANG Xiaofeng，et al．Improved design of dynamic vibration absorber by using the inerter and its application in vehicle suspension［J］．Journal of Sound and Vibration，2016，361:148－158．

4 WANG FC，HONG M F，CHEN CW．Building suspensions with inerters［J］．Proc．IMechE，Part C:Journal of Mechanical Engineering Science，2010，224(8):1605－1616．

5 孫曉強，陳龍，汪少華，等．2級串聯式ISD懸架非線性建模與參數優化［J/OL］．農業機械學報，2014，45(6):7－13．http:∥www．j-csam．org/jcsam/ch/reader/view_abstract．aspx?file_no=20140602＆flag=1．DOI:10．6041/j．issn．1000-1298．2014．06．002．SUN Xiaoqiang，CHEN Long，WANG Shaohua，etal．Nonlinearmodeling and parameter optimization of two-stage series-connected ISD suspension［J/OL］．Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2014，45(6):7－13．(in Chinese)

6 楊曉峰．基于動力吸振原理的車輛ISD懸架動力學特性與實現方法研究［D］．鎮江:江蘇大學，2013．YANG Xiaofeng，Research on dynamic characteristics and realization method of vehicle inerter-spring-damper suspension based on dynamic vibration absorbers principle［D］．Zhenjiang:Jiangsu University，2013．(in Chinese)

7 張孝良，聶佳梅，汪若塵，等．基于慣容-彈簧-阻尼結構體系的被動天棚阻尼懸架系統［J/OL］．農業機械學報，2013，44(10):10－14，9．http:∥www．j-csam．org/jcsam/ch/reader/view_abstract．aspx?file_no=20131002＆flag=1．DOI:10．6041/j．issn．1000-1298．2013．10．002．ZHANG Xiaoliang，NIE Jiamei，WANG Ruochen，et al．Passive skyhook-damping suspension system based on inerter-springdamper structural system［J/OL］．Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2013，44(10):10－14，9．(in Chinese)

8 EVANGELOU S，LIMEBEER D，SHARPR，et al．Control ofmotorcycle steering instabilities［J］．IEEE Control Systems，2006，26(5):78－88．

9 SMITH M，WANG F C．Performance benefits in passive vehicle suspensions employing inerters［J］．Vehicle System Dynamics，2004，42(4):235－257．

10 WANG F C，HONG M F，LIN T C．Designing and testing a hydraulic inerter［J］．Proc．IMech E，Part C:Journal of Mechanical Engineering Science，2011，225(1):66－72．

11 聶佳梅，張孝良，江浩斌，等．慣容器模型結構探索［J］．機械設計與研究，2012，28(1):29－32．NIE Jiamei，ZHANG Xiaoliang，JIANG Haobin，et al．Research on the inerter structure［J］．Machine Design and Research，2012，28(1):29－32．(in Chinese)

12 SWIFT S，SMITH M，GLOVER A，et al．Design and modeling of a fluid inerter［J］．International Journal of Control，2013，86(11):2035－2051．

13 WANG F C，CHAN H A．Vehicle suspensionswith amechatronic network strut［J］．Vehicle System Dynamics，2011，49(5): 811－830．

14 張孝良，聶佳梅．摩擦力對滾珠絲杠慣容器頻響特性的影響［J］．機械科學與技術，2015，34(5):770－774．ZHANG Xiaoliang，NIE Jiamei．Influence of the friction force on the frequency response characteristics of ballscrew inerter［J］．Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2015，34(5):770－774．(in Chinese)

15 PAPAGEORGIOU C，SMITH M．Laboratory experimental testing of inerters［C］∥Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control，and the European Control Conference，2005:3351－3356．

16 孫曉強，陳龍，汪若塵，等．滾珠絲杠式慣容器試驗及力學性能預測［J］．振動與沖擊，2014，33(14):61－65，83．SUN Xiaoqiang，CHEN Long，WANG Ruochen，et al．Experiment and mechanical properties prediction on ball-screw inerter［J］．Journal of Vibration and Shock，2014，33(14):61－65，83．(in Chinese)

17 SUN X Q，CHEN L，WANG SH，etal．Performance investigation of vehicle suspension system with nonlinear ball-screw inerter［J］．International Journal of Automotive Technology，2016，17(3):399－408．

18 HU Yinlong，CHEN M Z Q，XU Shengyuan，et al．Semiactive inerter and its application in adaptive tuned vibration absorbers［J］．IEEE Transactions on Control Systems Technology，2017，25(1):294－300．

19 PIRESL，SMITH M，HOUGHTON N E，etal．Design trade-offs for energy regeneration and control in vehicle suspensions［J］．International Journal of Control，2013，86(11):2022－2034．

20 ZHU D，LIU Y，WEN J．A simulation research of the mechatronic inerter based on active control［C］∥IEEE International Conference on Information and Automation，2015:1269－1272．

Design and Characteristics Analysis of Ball Screw Type Inerter w ith Planetary Flywheel

GE Zheng WANGWeirui
(College of Mechanical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China)

The inerter can replace the mass block and realize the dynamic characteristic of large inertia body with small mass，thus greatly enriching the design theory of mechanical vibration network．To achieve the same inertance，the larger the inertia-mass ratio is，the lighter the mass of the flywheel is，and the advantage ismore obvious．In order to improve the inertia-mass ratio of ball screw type inerter，a new design of ball screw type inerterwith planetary flywheelwas put forward．By themechanicalmodel of inerter，the influence of structure parameters on the inertia-mass ratio of flywheelwas researched．Result showed that the inertia-mass ratio could be improved by three methods:increasing the number or thickness of the planet gears，reducing the pin diameter，which increased the proportion of planet gear rotation inertia in the total inertia of flywheel．Themaximum inertia-mass ratio could be obtained by the optimal gear ratio of planet gear to ring gear，which was calculated by the number and thickness of planet wheel and the pin diameter．Themechanical properties of planetary flywheel inerter were compared with those of traditional inerter．Analysis of result indicated that the inertia-mass ratio of planetary flywheel inerter was larger than that of traditional inerter with the same diameter of flywheel．But for the same radial size，the planetary flywheel was thicker than the traditional single flywheel．Therefore，the planetary flywheel inerter was suitable for the weight sensitive，and the axial space-rich application occasions．The theoretical analysiswas verified by experiment at last．

inerter;planetary flywheel;ball screw;inertia-mass ratio

O313;TH113

A

1000-1298(2017)07-0391-08

2016-09-13

2017-01-10

國家自然科學基金項目(51005206)

葛正(1986—)，男，博士生，主要從事車輛零部件試驗技術研究，E-mail:gezheng01@126．com

王維銳(1978—)，男，高級工程師，主要從事車輛工程和汽車零部件測試方法研究，E-mail:wwrzju@126．com

10．6041/j．issn．1000-1298．2017．07．050