外延石墨烯電導率和費米速度隨溫度變化規律研究?

杜一帥 康維 鄭瑞倫?

1)(重慶文理學院電子電氣工程學院,永川 402160)2)(重慶郵電大學理學院,重慶 400065)(2016年6月14日收到;2016年10月16日收到修改稿)

外延石墨烯電導率和費米速度隨溫度變化規律研究?

杜一帥1)康維2)鄭瑞倫1)?

1)(重慶文理學院電子電氣工程學院,永川 402160)2)(重慶郵電大學理學院,重慶 400065)(2016年6月14日收到;2016年10月16日收到修改稿)

考慮到原子的非簡諧振動和電子-聲子相互作用,建立了金屬基外延石墨烯的物理模型,用固體物理理論和方法,得到金屬基外延石墨烯的電導率和費米速度隨溫度變化的解析式.以堿金屬基底為例,探討了基底材料和非簡諧振動對外延石墨烯電導率和費米速度的影響.結果表明:1)零溫情況下,堿金屬基外延石墨烯的電導率和費米速度均隨基底元素原子序數的增大而增大;2)外延石墨烯的電導率隨溫度升高而減小,其中,溫度較低時時變化較快,而溫度較高時則變化很慢,費米速度隨溫度升高而增大,其變化率隨基底材料原子序數的增大而增大;3)原子非簡諧振動對外延石墨烯的電導率和費米速度有重要的影響,簡諧近似下,費米速度為常數,電導率的溫度變化率較大;考慮到原子非簡諧項后,費米速度隨溫度升高而增大,電導率的溫度變化率減小;溫度愈高,原子振動的非簡諧效應愈明顯.

外延石墨烯,非簡諧振動,電導率,費米速度

1引 言

由于石墨烯具有優異的電學、力學和熱學等性質和二維結構,使石墨烯及其復合材料成為當今國際研究的重要前沿之一.目前,人們對單層石墨烯已做了不少研究[1,2],一般是在金屬或半導體平面基底上通過吸附、沉積等方法生長一層或多層石墨烯,這種石墨烯稱為外延石墨烯.由于它更與實際接近,因此,研究外延石墨烯顯得更有現實意義.例如:基底薄片怎樣影響外延石墨烯的形成和吸附原子的狀態、傳感器的儀器構件接觸點的性質與石墨烯功能的關系等都是人們正在探索的重要問題.外延石墨烯的制備和性能的研究已成為石墨烯材料的研究前沿與熱點之一.

在外延石墨烯的制備方法上,目前采用的外延法是在一種晶體結構上通過晶格匹配生長另一種晶體的方法,它可分為SiC外延法和金屬外延法兩類.其中SiC外延法因SiC本身就是一種性能優異的半導體且其在單晶加熱時會發生石墨化現象,制備外延石墨烯相對較易,已有一些文獻對用這種方法獲得的外延石墨烯的制備、性質等開展了研究.如文獻[3]研究了近平衡制備方法在4H-SiC襯底上制備的外延石墨烯的表征;文獻[4]實驗研究了退火時間對6H-SiC(0001)表面外延石墨烯形貌和結構的影響;文獻[5]對外延石墨烯-緩沖層-SiC-基底系統中原子的置換能進行了計算.由于SiC外延法難以實現大面積的制備、能耗高等局限性,其制備受到制約[6].

金屬外延法是采用與石墨烯晶格匹配的單晶為基底,在高真空環境中熱分解含碳化合物(如乙炔、乙烯等),通過調控和優化工藝參數,盡可能地使石墨烯均勻地鋪滿整個金屬基底,由此獲得較大面積的外延石墨烯.金屬外延獲得外延石墨烯的制備方法主要有[7]:化學真空沉積法(CVD)、溫度控制法(temperature programmed growth,TPG)、分離法(segregation)、碳原料法(carbon feedstock)、碳化硅升華法(SiC sublimation)等.與SiC外延法相比,該方法獲得的外延石墨烯不僅面積較大,連續均勻,且易于轉移(通過化學腐蝕去掉金屬基底),因而愈益引起了人們的關注.文獻[8]綜述了金屬表面化學功能化獲得外延石墨烯的合成過程和電學性質,指出:石墨烯的功能化可分為離子功能化、置換功能化、共價功能化三類.通過氫來實現共價功能化,通過金屬來實現離子功能化,通過氮摻雜來實現置換功能化,其中,在金屬基底上化學真空沉積一層石墨烯是首要的一步.由于該方法所制材料的性能、形貌受金屬基底的影響較大,探尋一種易于制備且所制的外延石墨烯性能良好的工藝(含基底的選取)、搞清基底與性能的關系等是一個待解決的重要問題.文獻[9,10]對Ru,Ni等金屬基底的外延石墨烯的制備進行了研究,文獻[11]論述了在Cu(111)/藍寶石界面上通過大氣壓大面積生長外延石墨烯的CVD方法.為了揭示金屬基底與其上所生成的外延石墨烯性能的關系,以便為選取合適的基底提供理論根據,文獻[12]研究了在Ru,Ni等金屬基底上形成的外延石墨烯與基底電荷的轉移,文獻[13]論證了外延石墨烯費米速度與單層石墨烯中費米速度的關系,文獻[14]用實驗方法研究了氧對外延石墨烯與金屬相互作用的影響.

除采用Cu,Ru,Ni等金屬作基底生長外延石墨烯外,已有一些文獻對堿金屬基外延石墨烯進行研究.堿金屬與石墨烯的晶格常數的差異與現采用的金屬基底的情況差異并不是太大.例如,Li,Na的晶格常數分別為3.491×10?10,4.225×10?10m,碳的晶格常數為3.567×10?10m,兩者的差異為2.1%和18.4%；而Ni,Cu晶格常數為3.52×10?10,3.61×10?10m,兩者的差異為1.3%和1.2%,這表示以堿金屬為基底和以Ni,Cu為基底與石墨烯晶格匹配的差異不是太大,因而可通過改進工藝條件用真空沉積獲得堿金屬基外延石墨烯.俄羅斯學者Davydov和Alisultanov等已對堿金屬基外延石墨烯的性質做了不少研究.文獻[15]建立了吸附模型,對堿金屬與石墨烯碳原子的相互作用能進行計算;文獻[16]從理論上研究了在金屬表面上形成的外延石墨烯的輸運性質,論證了電導率與金屬基底化學勢、費米能的關系;文獻[17]從理論上計算了K基底的外延石墨烯的費米速度和電導率.但這些研究均未涉及隨溫度的變化,而且在研究中,未考慮聲子的貢獻.對單層和少層石墨烯電導率和溫度的關系,文獻[18]做了一些研究,但未研究外延石墨烯的情況,而且在研究中未考慮原子的振動(特別是非簡諧振動)和電子-聲子相互作用.為了揭示原子振動的非簡諧效應,我們在文獻[19,20]中對原子非簡諧振動對單層石墨烯的熱力學性質的影響做了研究,但未研究外延石墨烯的電導率和費米速度等輸運性質.鑒于金屬基外延石墨烯的費米速度和電導率等輸運性質在理論和應用上的重要性,本文在考慮到原子非簡諧振動和電子-聲子相互作用情況下,以堿金屬上形成的外延石墨烯為例,用固體物理理論和方法,研究外延石墨烯電導率和費米速度隨溫度的變化規律以及原子非簡諧振動對它們的影響.

2物理模型

本文研究的系統是由在平面狀金屬(如Li,Na,K等堿金屬)基底上,生成由碳原子構成的理想二維六角形結構的單層石墨烯構成,其俯面和側面分別見圖1(a)和圖1(b).

圖1 金屬基外延石墨烯系統俯面(a)和側面(b)Fig.1.The surface(a)and side(b)of the metal-base epitaxial grapheme.

石墨烯碳原子除與基底堿金屬原子有相互作用外,彼此之間還有相互作用.在溫度不太高時,石墨烯原子只在平面內做微小振動.原子靜止時,文獻[21]用哈里森鍵連軌道法,求出未考慮短程相互作用情況下一個原子的平均相互作用能.文獻[22]進一步考慮到原子短程相互作用,給出石墨烯一個原子的平均相互作用能為

式中的V2為兩原子的sp2軌道σ鍵的共價能,它與原子間距離d的平方成反比:

V2=這里m為自由電子的質量;V1為金屬化能;R=0.154×104(?2/2m)a100,a0為玻爾半徑;β2=2/3,?為普朗克常數.

金屬基底態密度為[17]

這里,Nm和Wm分別是金屬導帶可容納的電子數和半寬度.在堿金屬作為自由電子近似處理情況下,與金屬晶格常數a的關系為

因熱振動,石墨烯碳原子要在平衡位置d0附近做微振動,假設基底與石墨烯原子之間相互作用不大,則振動情況主要由石墨烯碳原子間的相互作用決定.將φ(d)在平衡位置d0附近展開,偏離δ=d?d0很小時,有

將(1)代入(4)式,求得原子振動的簡諧系數ε0、第一和第二非簡諧系數ε1,ε2,其表示式見文獻[20].

3外延石墨烯的電導率

外延石墨烯的電導率σ除了電子的貢獻σe(T)外,還有聲子的貢獻σp(T).在零溫情況,原子振動很小,振動被“凍結”在基態,聲子的貢獻σp(T)可忽略.

3.1 零溫情況

文獻[17]給出了零溫(T=0 K)情況下,外延石墨烯的電導率與格林函數G±的關系為

其中,ε+= εD+vF?|q|,ε?= εD?vF?|q|,這里的εD是石墨烯布里淵區狄拉克點電子的能量,按文獻[17],取εD=0;vF為石墨烯電子的費米速度,它與電子躍遷能量矩陣元t以及石墨烯最近鄰原子間的距離d的關系為[13]vF=3td/2?,|q|為電子波矢絕對值,εF0是零溫費米能,而非零溫情況費米能為εF.

對金屬基底上形成的外延石墨烯,有[17]

其中Vm為石墨烯與堿金屬原子的平均相互作用能,ξ為石墨烯π帶的寬度.將(6)式代入(5)式求得零溫(T=0 K)情況下電子貢獻的電導率為

這里ΓmF0,B0,bm0分別為零溫情況的ΓmF,B,bm,由下式表示:

3.2 溫度不為零的情況

非零溫情況外延石墨烯電導率為電子貢獻與聲子貢獻之和:σ(T)=σe(T)+σp(T).文獻[23]給出的費米能與溫度的關系為

式中kB是玻爾茲曼常數.電子貢獻的電導率為

為了求得聲子對電導率的貢獻σp(T),按照固體理論[24],考慮到電子-聲子相互作用后,電子的分布函數f滿足的玻爾茲曼方程為

等式右邊第一項為溫度分布不均勻,電子擴散引起的分布函數的變化;第二項是外電磁場引起的變化,第三項為電子與聲子碰撞或聲子之間的碰撞引起,稱為碰撞項.在無外場和溫度梯度不大時,碰撞項可以簡化,引入弛豫時間近似,即令

這里τ為弛豫時間,f0是平衡時的電子分布,即費米分布.經不太復雜的運算,應用二維德拜模型,求得溫度不太高情況下τ與溫度T的關系為

其中,M為碳原子質量;m?為電子有效質量;kF為電子費米波矢;c=?2εF/3,這里εF為石墨烯電子費米能;qm是聲子的最大波矢,它與石墨烯原胞面積?的關系為qm=(4π/?)1/2;θD為德拜溫度,簡諧近似下,它與ε0關系為[25]

考慮到原子振動的非簡諧效應后,利用振動頻率與溫度的如下關系[24]

利用電導率與自由電子數密度n(對二維,即單位面積電子數)以及弛豫時間的關系σ=(ne2/m?)τ,得到溫度不太高時聲子產生的電導率σp(T)為

分別將(15),(17)式代入(18)式,得到簡諧近似和原子做非簡諧振動情況下聲子貢獻的電導率,進而得到外延石墨烯的總電導率.

4外延石墨烯電子的費米速度

電子的費米速度是電子輸運性質中的一個重要的量.文獻[17]給出了零溫情況外延石墨烯電子的費米速度的表示式,但未研究基底的影響和費米速度隨溫度的變化,現以堿金屬基底為例作研究.文獻[17]給出的金屬基外延石墨烯電子的費米速度ˉvF與石墨烯費米速度vF的關系為

將(3)式代入(19)式,注意到金屬基點陣常數a與溫度T和線膨脹系數αl的關系為a(T)=a0(1+αlT),可得到金屬基外延石墨烯電子費米速度ˉvF與溫度T、基底與石墨烯原子相互作用Vm、金屬基底線膨脹系數αl以及vF的關系為

這里Wm0=3?2π2/2ma20為零溫情況下金屬導帶半寬度.

5非簡諧振動對外延石墨烯導電率的影響

現以在堿金屬基底上形成的外延石墨烯為例,研究電子-聲子互作用和非簡諧振動對外延石墨烯電導率和費米速度的影響.將文獻[26]給出的堿金屬的點陣常數a數據代入(3)式求得導帶半寬度Wm.文獻[15]給出了堿金屬與石墨烯碳原子相互作用能Vm.另外,按文獻[27],取ξ=2.38eV,堿金屬一個原胞相應的導帶可容納的電子數取Nm=4,由石墨烯碳原子間距離d0=1.42×10?10m和文獻[27]給出的t=2.8eV,求得石墨烯費米速度vF=0.904493×106m·s?1和ε0F=mv2F/2=2.3034eV.將上述數據代入(8)式,求得T=0 K時的ΓmF0,B0,bm0,代入(7)式,求得外延石墨烯的零溫電導率ε1,結果見表1.

表1 a,Wm,Vm以及σm(0)隨堿金屬元素的變化Table 1.Variations of a,Wm,Vmand σm(0)for di ff erent alkali-metal elements.

由表1做出外延石墨烯的零溫電導率σe(0)隨堿金屬元素的變化如圖2(a).將上述數據代入(9)式,再一起代入(10)和(11)式,求得外延石墨烯電子對導電率貢獻σe(T)隨溫度的變化,結果見圖2(b).

圖2 外延石墨烯電子電導率隨基底元素(a)和溫度的變化(b)Fig.2.Variations of the electrical conductivity of epitaxial graphene with the based elements and the temperature,which are shown by Fig.(a)and(b),respectively.

由圖2可見:1)堿金屬基外延石墨烯零溫電導率σe(0)隨原子序數增大而增大,原因在于金屬基底原子序數增大時,導帶半寬度Wm因晶格常數a變大而變小,堿金屬與石墨烯碳原子相互作用能Vm也變小,基底對石墨烯中電子的約束減弱,因而外延石墨烯的電導率變大;2)外延石墨烯電子貢獻的電導率隨溫度升高而略有增大,但變化極小,其數量級為10?5(?·m)?1,這與純石墨烯電子貢獻的電導率有區別,原因在于堿金屬基外延石墨烯電子貢獻的導電率σe除受石墨烯原子影響外,還受到基底元素原子相互作用能Vm的影響;3)外延石墨烯電子貢獻的電導率隨溫度的變化情況與基底材料有關,在Li,Na,K,Rb,Cs這5種元素中,以K基底的外延石墨烯電導率隨溫度的變化最大,而Cs基底的變化最小.

文獻[20]求出石墨烯原子振動的簡諧系數ε0和非簡諧系數ε1, ε2分別為ε0= 3.5388 ×102J·m?2, ε1= ?3.49725 × 1012J·m?3, ε2=3.20140×1022J·m?4.碳原子質量M=1.995017×10?26kg. 將其與kB=1.38065 × 10?23J·K?1,? =1.05457 × 10?34J·s?1等數據代入(15)式,求得θD0=1660.02 K.石墨烯碳原子間距離d0=1.42×10?10m,求得? =1.74625×10?20m2,qm=2.68199×1010m?1,kF=1.89638×1010m?1.由前面求得的εF0,求得c= ?2εF/3= ?1.5356eV.將這些數據代入(18)式,求得σp(T).再與(10)式求出的σe(T)一起代入σ(T)= σe(T)+σp(T),得到溫度不太高的情況下外延石墨烯的電導率隨溫度的變化.圖3給出了以鋰為基底的外延石墨烯電導率隨溫度的變化,圖中的1為簡諧近似,2為只考慮到第一非簡諧項,3為同時考慮到第一、二非簡諧項的結果.

圖3 (網刊彩色)鋰金屬基外延石墨烯電導率隨溫度的變化Fig.3.(color online)Variation of electrical conductivity of the Li-base epitaxial graphene with the temperature.

由圖3可見:1)在溫度不太低的情況下外延石墨烯的電導率隨溫度升高而減小,其中,簡諧近似時,電導率幾乎與溫度為反比;2)考慮到原子的非簡諧振動項后,電導率要比簡諧近似的值稍大,而且溫度愈高,兩者的差愈大,非簡諧效應愈明顯.其原因在于:在相同的溫度下,考慮到原子的非簡諧振動項后,聲子的弛豫時間τ增大,而聲子電導率與弛豫時間τ成正比,因此,電導率變大.計算表明:聲子對電導率的貢獻遠大于電子的貢獻,外延石墨烯的總電導率近似等于聲子電導率,即σ≈σp.文獻[17]由于未考慮聲子對電導率的貢獻,計算得到的電導率對Li,只有σ =3.57×10?5(?·m)?1,而本文考慮到聲子對電導率的貢獻后,得到的電導率在T=500 K時,為σ =1.25(?·m)?1,與由文獻[28]給出的載流子遷移率算出的電導率σ≈0.7(?·m)?1數量級接近.

6非簡諧振動對外延石墨烯費米速度的影響

將前面求得的石墨烯費米速度vF以及Nm和表1的數據代入(19)式,求得零溫情況外延石墨烯的費米速度隨基底元素變化,結果見表2,其變化曲線見圖4.

表2F,αl隨堿金屬元素的變化Table 2.Variations ofˉvFand αlwith the metal elements.

表2F,αl隨堿金屬元素的變化Table 2.Variations ofˉvFand αlwith the metal elements.

Li Na K Rb Cs FrˉvF/106m·s?11.106051.194331.260161.323881.43395 αl/10?6K?1 58 71 83 9 0.97

圖4 外延石墨烯零溫費米速度隨基底元素的變化Fig.4.Variation of the Fermi velocity of the epitaxial graphene with the low temperature at the zero temperature.

由圖4可見,在零溫情況下堿金屬基外延石墨烯的費米速度隨原子序數的增大而增大,但變化不大.其原因在于:原子序數增大時,最外層電子受核的引力因原子半徑的增大而減小,石墨烯和基底元素原子相互作用Vm減小,因此費米速度增大.

由文獻[29]給出的堿金屬的體膨脹系數αV的數據,求得線膨脹系數αl=αV/3,數據見表2.將這些數據代入(20)式,求得幾種堿金屬基外延石墨烯電子費米速度ˉvF隨溫度的變化,結果見圖5.其中圖5(a)為Li,Na,K基底,圖5(b)為Rb,Cs基底.圖中的虛線為簡諧近似(αl=0)的結果,而實線為非簡諧(αl?=0)的結果.

由圖5可見:1)堿金屬基外延石墨烯的費米速度隨溫度的升高而增大,具體變化情況與基底材料有關,在幾種堿金屬基中,以K基底的費米速度隨溫度的變化最大,而以Cs基底的變化最小,例如溫度從500 K升高到1000 K時,基底K的費米速度增大了9.2%,而基底Cs則只增大了0.11%,其原因在于堿金屬基外延石墨烯的費米速度以及隨溫度變化率的大小均與石墨烯基底元素原子相互作用能以及基底材料自身性質有關;2)不考慮原子非簡諧振動時,外延石墨烯的費米速度為常量,考慮到原子非簡諧振動后,不同基底的外延石墨烯的費米速度均隨溫度升高而非線性增大,溫度愈高,非簡諧效應愈顯著,例如對K基底情況,T=300 K時,每升高100 K,費米速度增大0.6%;T=1500 K時,每升高100 K,費米速度增大3.8%.

圖5 (網刊彩色)外延石墨烯費米速度F隨溫度的變化Fig.5.(color online)Variations of the Fermi velocity with the temperature for the epitaxial graphene.

7結 論

本文對金屬基外延石墨烯電導率和費米速度變化規律的研究表明:1)零溫情況下,堿金屬基外延石墨烯的費米速度和電導率均為常數,其值與基底元素的原子序數有關,隨基底元素原子序數的增大而增大;而非零溫情況下,堿金屬基外延石墨烯的電導率和費米速度均隨溫度變化而變化,其變化情況既取決于基底元素的性質,又取決于石墨烯和基底元素原子相互作用能的大小,具體關系由(10),(18)和(20)式表示;2)堿金屬基外延石墨烯電導率隨溫度升高而減小,其中,溫度較低時(T＜300 K)時變化較快,而溫度較高時則變化很慢,它的電導率包括聲子的貢獻和電子的貢獻兩部分,其中電子的貢獻部分很小且隨溫度變化也很小,聲子貢獻的電導率遠大于電子貢獻且隨溫度的變化較大;3)金屬基外延石墨烯電子的費米速度隨溫度升高而增大,但變化較小,其具體變化情況與基底材料原子序數有關;在幾種堿金屬基中,以K基底的外延石墨烯的費米速度隨溫度的變化最大,而以Se基底的變化最小;4)原子的非簡諧振動對外延石墨烯的電導率和費米速度有重要的影響,簡諧近似下,費米速度為常數,電導率隨溫度升高而較快減小,幾乎成反比關系;考慮到原子非簡諧項后,費米速度隨溫度升高而增大,電導率隨溫度升高而減小的變化速度減慢,溫度愈高,原子振動非簡諧效應愈明顯.

感謝西南大學物理科學與技術學院王俊忠教授的指導.

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PACS:47.11.Mn,63.20.–e,63.22.Rc,65.80.CkDOI:10.7498/aps.66.014701

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11574253),Chongqing Foundation and Advanced Research Projects,China(Grant No.cstc2015jcyjA40054)and the Scienti fi c Research Foundation for the Returned Overseas Chinese Scholars(Grant No.State([2014]1685)).

?Corresponding author.E-mail:zhengrui@swu.edu.cn

Variations of the electrical conductivity and the Fermi velocity of epitaxial graphene with temperature?

Du Yi-Shuai1)Kang Wei2)Zheng Rui-Lun1)?

1)(College of Electronic and Electrical Engineering,Chongqing University of Arts and Sciences,Yongchuan 402160,China)2)(College of science,Chongqing University of Posts and Telecommunication,Chongqing 400065,China)(Received 14 June 2016;revised manuscript received 16 October 2016)

The atomic anharmonic vibration and the electron-phonon interaction are considered,and then a physical model about the metal-based epitaxial graphene is built.Variations of the electrical conductivity and the Fermi velocity with temperature for the metal-based epitaxial graphene are given based on the solid state physics theory or method.The alkali-metal epitaxial graphene is selected as the substrate,and then the in fl uences of substrate material,electronphonon interaction and the anharmonic vibration on the electrical conductivity and the Fermi velocity of epitaxial graphene are discussed.Some results are shown as follows.Firstly,at zero temperature,the electrical conductivity and the Fermi velocity of the alkali-metal-base epitaxial graphene increase with the number of the atoms in substrate material increasing.Secondly,the electrical conductivity of epitaxial graphene decreases with temperature rising.Furthermore,the variation rate also decreases with temperature rising.Generally,the electrical conductivity originates mainly from electrons and phones.The electronic contribution to the electrical conductivity varies with temperature slowly,but the phone contribution to electrical conductivity varies with temperature evidently.Therefore,the contribution of phonons to electrical conductivity is much larger than that of electrons.Furthermore,the contribution increases with the number of atoms in basal elements.The phonon contribution to conductivity decreases with temperature rising,but it is unrelated to the basal elements.Thirdly,the Fermi velocity of the epitaxial graphene increases with temperature slowly.The variation of the Fermi velocity with temperature decreases with the increase of interaction between the graphene and the basal atoms.However,it increases with the number of atoms of the basal materials.The anharmonic e ff ect causes important in fl uences on the electrical conductivity and the Fermi velocity.Under the harmonic approximation the velocity is constant.However,the conductance increases rapidly with temperature.With considering the atomic anharmonic terms,the Fermi velocity increases with temperature.The variation of the electrical conductivity with temperature increasing becomes slower.If the temperature is higher,the anharmonic e ff ects become more evident.

epitaxial graphene,anharmonic vibration,electrical conductivity,Fermi velocity

10.7498/aps.66.014701

?國家自然科學基金(批準號:11574253)、重慶市基礎與前沿研究項目(批準號:cstc2015jcyjA40054)和教育部留學回國人員基金(批準號：[2014]1685)資助的課題.

?通信作者.E-mail:zhengrui@swu.edu.cn