弱測量對四個量子比特量子態的保護?

黃江

(廣東海洋大學電子與信息工程學院,湛江 524088)(2016年8月11日收到;2016年9月14日收到修改稿)

弱測量對四個量子比特量子態的保護?

黃江?

(廣東海洋大學電子與信息工程學院,湛江 524088)(2016年8月11日收到;2016年9月14日收到修改稿)

廖湘萍等(Chin.Phys.B 23 020304,2014)指出弱測量和弱測量反轉操作可以保護三個量子比特的糾纏,提高保真度.本文將弱測量方法推廣至四個量子比特的情況,研究了幾種典型四個量子比特量子態的演化.結果表明：在振幅阻尼通道中,弱測量方法能夠有效地提高系統量子態的保真度.分析了影響量子態保真度的各種因素,對比了不同量子態的演化特征,劃分了量子態保真度提高的敏感區域.最后,對弱測量方法抑制量子態衰減的內在機制做了合理的物理解釋.

弱測量,四量子比特,振幅阻尼,保真度

1引 言

量子態可以得出量子體系的所有性質[1].作為量子力學的基本假定之一,量子態及其演化一直是研究者們關注的對象.量子態可分為糾纏態和可分離態,糾纏態的概念由愛因斯坦等[2]引入.隨著量子理論的深入和實驗水平的提高,量子糾纏[3?12]這種純粹的量子效應已經得到了驗證.量子糾纏不僅僅是區分量子與經典現象的重要依據,也是量子信息和量子計算的關鍵資源.隨著量子信息技術的發展,量子糾纏因其優越的特性而得到了廣泛的研究.眾所周知,任何真實的量子系統都可以認為是開放系統,相互作用環境會不可避免地影響系統的糾纏,從而導致退相干,甚至出現糾纏猝死[13?16].如何有效地保護系統的相干性成為研究者們關注的課題.目前,關于系統相干性[17?28]的理論研究取得了長足的進步,部分研究成果已經進入實用階段,中國研發的世界首顆量子通信衛星便是其代表性成果.

Korotkov等[29,30]提出了一種全新的抑制量子系統退相干的方法——弱測量與弱測量反轉,能夠使一個超導相位量子態在振幅阻尼通道中得以概率性地恢復.這種方法有效地增強了量子態抑制退相干的能力,雖然其結果是概率性的,但此方法卻為抑制退相干提供了一個全新的處理思路.弱測量是在馮·諾依曼測量和半正定算子值測量(POVM)的基礎上發展出來的一種部分坍縮測量.弱測量從量子系統中提取的信息比較有限,能夠有效防止測量系統的量子態隨機地坍縮至其本征態.因此,在適當的操作下可以將量子態以一定的概率反轉至其初始態.自弱測量方法提出以來,與此相關的實驗和理論工作均得到了迅速發展.隨著研究的深入,各種性質逐步明確,諸多應用也受到了高度的關注.實驗上,利用弱測量方法來抑制退相干已經在固體系統[31]、線性光學系統[32?34]和超導相位比特[35,36]中成功實現.弱測量的理論工作也取得了豐碩成果,Korotkov和Keane[37]提出了一種利用量子反轉測量來抑制單量子比特零溫環境下的退相干方案;Wang等[38]提出了一種在較低溫度環境中利用弱測量方法來保護單量子比特退相干的方法;Sun等[39]提出了利用弱測量及弱測量反轉的方法來保護低維量子系統的糾纏;Kim等[40]在理論和實驗上均證明了在振幅阻尼通道中弱測量方法能夠有效保護兩個量子比特的糾纏;近期,Xiao和Li[41]以及Liao等[42]將弱測量方案推廣至兩體三能級和三體二能級系統.

然而,目前關于四體二能級原子系統量子態保護的研究工作并不多.由于四體二能級原子系統的基矢有16個,演化時會生成16×16的密度矩陣.因此,四體系統的計算量較大,討論會更加復雜.另外,四體二能級系統的度量還沒有統一的判據,這也增加了研究的難度.幸運的是,本文得到了在振幅阻尼衰減通道中四體二能級系統保真度的解析解,劃分了保真度保護的區域.通過引入保真度提高的概念,對比弱測量前后的結果,得到了四體二能級系統的保真度在大部分情況下都能得到有效保護的結論.本文對弱測量抑制退相干的物理機制也做了相應的解釋.本文的安排如下：第二部分給出與本文相關的基礎理論;第三部分研究弱測量對初始處于糾纏態和可分離態的幾種典型的四體二能級原子保真度的影響;最后,對本文作簡單的總結.

2基礎理論

2.1 振幅阻尼

振幅阻尼通道[3]是描述量子系統與環境相互作用耗散過程的一個重要模型,在開放量子系統中有著諸多應用.在Born-Markov近似下,可以用Kraus算符來模擬單量子比特的演化過程:

其中ρ(0)和ρ(t)分別表示量子態初始時刻和任意時刻的密度矩陣,Ei(i=1,2)為Kraus算符,

D為衰減率,取值范圍為D∈[0,1].Kraus算符滿足完備性關系根據方程(1)和方程(2),可以得到四個量子比特的演化

2.2 保真度

為了度量在相互作用過程中輸出量子態與輸入量子態的接近程度,引入保真度[43]的概念:

其中,F∈[0,1],|ψin〉為相互作用之前的初始輸入量子態,ρout表示相互作用后的輸出量子態.保真度的值越高,表示系統的量子態保持得越完整.反之,則衰減得越嚴重.保真度是衡量兩量子態接近程度的物理量,不僅可以度量輸入態為糾纏態的情況,也適用于輸入態為可分離態的情形.因此,對于糾纏態而言,保真度在一定程度上能夠反映糾纏的演化、衰減及保護情況.本文將分別對這兩類量子態進行研究.

2.3 弱測量及弱測量反轉

四個量子比特的弱測量和弱測量反轉過程[40,42]可以表示為

其中Mwk(p1,p2,p3,p4)為弱測量算符,p1,p2,p3,p4分別為弱測量強度;Mrev(pr1,pr2,pr3,pr4)表示弱測量反轉算符,pr1,pr2,pr3,pr4分別為弱測量反轉強度.由于兩個算符Mwk、Mrev均為非幺正算符,操作的成功率因而小于1.弱測量操作能使輸入量子態以一定的概率躍遷至基態,減少了振幅阻尼的影響,而弱測量反轉則可使輸出量子態恢復至初始輸入量子態.因此,理論上前置弱測量和后置弱測量操作可以起到削弱振幅阻尼衰減、保護系統量子態的效果.文獻[40]已經證明：當弱測量反轉強度取時,系統的量子態能夠得到最大程度的保持.為了計算方便,本文取此最佳值.同時,假設四個量子比特是全同的,即p=p1=p2=p3=p4,pr=pr1=pr2=pr3=pr4.方程(5)和(6)可寫成如下較為簡潔的形式

3四個量子比特量子態的保護

本節闡述論文的核心思想,將詳細研究弱測量前后幾種典型的四個量子比特量子態在振幅阻尼通道中的保真度.通過對比,得到量子態保真度的演化規律,劃分保真度提高區域,并解釋其物理原因.首先介紹弱測量的實驗方案圖,如圖1所示.實驗方案分為三個步驟：第一步,在初始制備的四比特量子態上執行弱測量操作,激發態將概率性的躍遷至基態;第二步,將弱測量后的量子態通過振幅阻尼通道,系統的退相干在此過程中發生;第三步,再對此量子態執行弱測量反轉操作,以一定的概率將量子態恢復至初態,從而實現了量子態的保護.

圖1 四量子比特弱測量保護的實驗方案圖Fig.1.Experiment schemes for protecting four-qubit using weak measurement and quantum weak measurement reversal.

3.1 輸入態為糾纏態

3.1.1 Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態考慮初始量子態為GHZ態[44]的情況首先,GHZ態直接經歷振幅阻尼衰減通道,用ρG表示四個量子比特在此過程中的演化量子態,則

選取基矢{|abcd〉},其中a,b,c,d=0,1.由于矩陣ρG較大,此處只給出非零的密度矩陣元:

結合方程(4),很容易計算GHZ態直接通過振幅阻尼衰減通道的保真度

接下來對GHZ態執行弱測量操作,即：弱測量+振幅阻尼+弱測量反轉.用ρG(WM),ρG(AD)和ρG(WR)分別表示四個量子比特弱測量、振幅阻尼和弱測量反轉過程中的演化量子態

整理ρG(WR)的計算結果,并歸一化處理后,得到如下非零的矩陣元:

其中C1=(1?pr)4+(1?p)4[(1?D)+D(1?pr)]4為歸一化因子.計算弱測量后的保真度為

為了更直觀地表示弱測量對保真度的保護效果,引入保真度提高[45]的概念

圖2給出了弱測量前后保真度隨參數D和p變化的曲面,其中兩個曲面相交的曲線表示F(ρG(WR))=F(ρG). 由圖可以看出,對于GHZ態而言,弱測量并不是在任何時候都能提高保真度,而是在一定區域范圍內成立.圖3進一步說明了這一點,參考平面以上區域為保真度可以得到提高的區域,平面以下則反之.圖2和圖3清晰地劃分了弱測量提高保真度的區域,為GHZ糾纏態的制備、演化、弱測量等方面的研究提供了理論依據.

圖2 (網刊彩色)GHZ態的保真度隨參數D和p的演化曲面,其中紅色曲面表示弱測量后的F,綠色曲面表示弱測量前的FFig.2.(color online)The fidelity of GHZ states is plotted against the parameters D and p.The red curve respects F after weak measurement,and the green curve is the F before weak measurement.

圖3 (網刊彩色)GHZ態的保真度提高隨參數D和p的演化曲面,其中紅色曲面表示Fimp,綠色曲面表示零參考面Fig.3.(color online)The fidelity improvement of GHZ states is plotted against the parameters D and p.The red curve respects Fimp,and the green curve is zero reference plane.

3.1.2 W態

用ρW表示W態直接通過振幅阻尼衰減通道的演化態,則

接下來研究W態[44]

經計算可得ρW的非零矩陣元:

容易計算振幅阻尼衰減W態的保真度為

接下來,做弱測量操作.計算過程較為復雜,此處不一一寫出.歸一化后的非零矩陣元為

其中C2=[(1?D)+D(1?pr)]為歸一化因子.此時的保真度為

保真度提高為

圖4分別繪出了弱測量前后的保真度和弱測量保真度提高隨參數D和p變化的演化圖像.令人驚訝的是,與GHZ態不同,W態經過弱測量后保真度在任意情況下都高于弱測量操作之前,Fimp也因此恒大于0.由此證明,W態的弱測量在整個演化區域都能使保真度得到有效的保護,保護的效果與參數D和p的取值有關.D,p的取值越接近于1,保真度越能得到明顯提高.將此結論與三體GHZ態和W態的演化規律[42]相比,可以發現兩者的結論幾乎是一致的,這也進一步證明了本文結論是可靠的.同時,可以推斷此結論應該對四體以上的量子態的保真度也成立.當然,相關的證明會較為復雜.另外,三體與四體量子態弱測量演化特性的相似性表明初始制備量子態的結構對其保真度的演化起決定性影響.不同特性的糾纏態有著相互各異的演化規律.

圖4 (網刊彩色)(a)W態弱測量前后的保真度F和(b)保真度提高FimpFig.4.(color online)(a)The fidelity F of W states before and after weak measurement,and(b)the fidelity improvement Fimp.

3.1.3 簇態(CL)

進一步研究四個量子比特CL態[46]的演化

用ρC表示CL態直接經歷振幅阻尼通道的演化態,類似于GHZ態和W態的步驟,容易解出CL態弱測量前的歸一化非零矩陣元:

用ρC(WR)表示CL態弱測量后的演化態,由于CL態的弱測量非零矩陣元較為復雜,歸一化因子表達式龐大,此處只給出弱測量反轉強度pr取最佳值時的化簡結果.

其中C3=1+2(D?Dp)+2(D?Dp)2+(D?Dp)3+(D?Dp)4/4為歸一化因子.CL態弱測量的保真度及保真度提高分別為

圖5分別給出了CL態的保真度F(ρC(WR))和保真度提高Fimp隨參數D和p的演化曲面.容易發現,與GHZ態和W態都不同的是,CL態在絕大部分區域保真度都能得到有效的提高,僅僅在D→1,p→0的極小區域衰減.由此可見,量子態的結構不同,弱測量對保真度的影響也各異.

圖5 (網刊彩色)(a)CL態弱測量前后的保真度F和(b)保真度提高FimpFig.5.(color online)(a)The fidelity F of CL states before and after weak measurement,and(b)the fidelity improvement Fimp.

最后,簡單地研究四體Dick態[44]|ψD〉=|1010〉).重復以上操作,容易證明,Dick態的弱測量規律類似與CL態,所不同的是保真度提高的區域略小而已.

3.2 輸入態為可分離態

現在研究輸入的四個量子比特為可分離態的弱測量方案.考慮四個全同量子比特,初始分別處于狀態則系統的量子態可寫為

可分離態|ψS〉比較具有代表性,其構成的16×16個密度矩陣元均為非零值.其他量子態可在此基礎上,通過調節歸一化系數并取部分矩陣元得到.因此,本處只討論此可分離態|ψS〉.由于處理方法與上一節類似,不難求解其演化密度矩陣元,得到弱測量前后的保真度和保真度提高的表達式.

圖6 (網刊彩色)(a)可分離態弱測量前后的保真度F和(b)保真度提高FimpFig.6.(color online)(a)The fidelity F of separable states before and after weak measurement,and(b)the fidelity improvement Fimp.

圖6表明,在振幅阻尼通道中弱測量方案下的保真度在全區域內都能得到有效的保護.保真度提高的量與參數D和p的取值有關.D,p越大,保護效果越佳.另外,對比糾纏態的弱測量,很容易發現|ψS〉的弱測量演化與W態的結果較為相似.經分析,將基矢做適當排列,W態密度矩陣的結構與|ψS〉一致,可以看成是 |ψS〉的一個分塊矩陣,其他部分矩陣元為零,不參與演化,故兩者之間的相似性也容易理解.由此進一步說明量子態的結構是弱測量保護效果的決定性因素.

依上述結論可知,弱測量方法對四能級原子任意形式量子態的保真度均能起到較明顯的保護作用,其抑制量子態衰減的物理機制可解釋如下：前置量子弱測量降低了激發態所占的權重,弱測量使得原子處于基態的概率越大.而基態原子在通過振幅阻尼通道時不受影響.最后,對量子態執行弱測量反轉操作,重新恢復了激發態的權重,從而有效抑制了量子態在振幅阻尼通道中的衰減,起到了保護效果.需要說明的是,由于弱測量及弱測量反轉為非幺正操作,因此本方法具有一定的成功概率.雖然弱測量方法無法做到百分百成功,但此方法所開辟的新思路對量子信息的發展有著深遠的影響.到目前為止,已經驗證了弱測量方法對四體及四體以下的量子態的相干性能起到保護作用.由其保護機制可以預言,弱測量方法對四體以上量子態的相干性依舊有保護效果.

4結 論

本文運用弱測量和弱測量反轉研究了在振幅阻尼衰減通道中四量子比特量子態的保真度演化,分別得到了四個量子比特糾纏態和可分離態的保真度、保真度提高的解析表達式,繪制了演化曲面,討論了各參數的影響,并劃分了量子態保護的敏感區域.研究結果表明：量子態的結構是弱測量效果的決定性因素,不同結構的量子態對弱測量有著不同的反應.對于糾纏態,GHZ態的保真度在較大區域內能得到保護,W態在全區域內都能有效提高,而CL和Dick態則介于兩者之間.當輸入特定的四個量子比特可分離態時,由于其結構類似于W態,演化規律也與W態相似,進一步證明了量子態的結構對弱測量有著至關重要的影響.本文對四個量子比特量子態的弱測量做了初步研究,得到了保真度的一些性質,對多體量子系統的研究有一定的指導意義.

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PACS:03.65.Yz,03.65.Ud,03.67.MnDOI:10.7498/aps.66.010301

*Project supported by the natural science foundation of Guangdong province(Grant No.2015A030310354),and the Foundation of Excellent-Young-Backbone Teacher of Guangdong Ocean University,China.

?Corresponding author.E-mail:940038299@qq.com

The protection of qudit states by weak measurement?

Huang Jiang?

(Electronic and Information Engineering College,Guangdong Ocean University,Zhanjiang 524088,China)(Received 11 August 2016;revised manuscript received 14 September 2016)

Liao Xiang-Ping et al.(Chin.Phys.B 23 020304,2014)pointed out that the method of weak measurement and quantum weak measurement reversal can protect entanglement and improve the fidelity of three-qubit quantum state.We generalize the method of weak measurement to the case of qudit state in this paper.By using the operation of weak measurement and quantum weak measurement reversal,we investigate the evolution dynamics of fidelity and fidelity improvement for qudit state under amplitude damping decoherence.We compare two kinds of operations:one is to let the input qudit state cross the amplitude damping decoherence directly,and the other one is that we fi rst make a weak measurement operation on the input qudit state,then through the amplitude damping decoherence, fi nally an operation of quantum weak measurement reversal is done with the output qudit state.We discuss the GHZ state,W state,CL state and some special separable states exactly and obtain the analytic expressions of fidelity and fidelity improvement for qudit state before and after the weak measurement and quantum weak measurement reversal operation.According to the analytic expressions we plot the evolution curves against its corresponding parameters.The e ff ects of corresponding parameters are discussed and a susceptible protection region of the qudit state is also given in the context.The results show that the structure of qudit state is the determined factor to the e ff ect of weak measurement and quantum weak measurement reversal.There are some di ff erent e ff ects on the di ff erent structured qudit states.For entangled state,the fidelity of qudit GHZ state can be protected in a relatively big evolution region,most part of the fidelity improvement is in the upper part of the zero reference plane.While the fidelity of qudit W state can be improved e ff ectively in the whole evolution region,which is a perfect protection.The evolution regulations of qudit CL state and Dick state are between evolution regulations of the GHZ state and W state.When we input some special separable qudit states which have similar structures to W state,their fidelity and fidelity improvement are almost the same as W state’s.It is demonstrated that the structure of qudit state is important for the weak measurement in a step.This work is meaningful for the quantum information process.

weak measurement,qudit,amplitude, fidelity

10.7498/aps.66.010301

?廣東省自然科學基金(批準號:2015A030310354)和廣東海洋大學優秀青年骨干教師基金資助的課題.

?通信作者.E-mail:940038299@qq.com