反饋控制棘輪的定向輸運效率研究?

范黎明 呂明濤 黃仁忠 高天附? 鄭志剛

1)(沈陽師范大學物理科學與技術學院,沈陽 110034)2)(華僑大學信息科學與工程學院,廈門 361021)(2016年6月7日收到;2016年9月30日收到修改稿)

反饋控制棘輪的定向輸運效率研究?

范黎明1)呂明濤1)黃仁忠1)高天附1)?鄭志剛2)

1)(沈陽師范大學物理科學與技術學院,沈陽 110034)2)(華僑大學信息科學與工程學院,廈門 361021)(2016年6月7日收到;2016年9月30日收到修改稿)

研究了反饋耦合布朗棘輪中粒子處于負載力、時變外力及噪聲作用下的定向輸運問題.詳細討論了外力作用時間的不對稱性、外勢空間的不對稱性及外力周期等對反饋耦合棘輪中粒子輸運效率的影響.研究發現,外力的時間不對稱度能促進反饋棘輪中粒子的定向輸運,隨時間不對稱度的增大,反饋棘輪中粒子能獲得較大的效率.然而,外勢空間的不對稱度能有效抑制耦合棘輪中粒子的擴散,達到增強耦合粒子定向輸運的效果.同時還發現,存在最優的噪聲強度能使耦合粒子的輸運效率達到最大.

反饋控制,時空不對稱性,定向輸運,能量轉化效率

1引 言

從熱運動環境中獲取能量一直是人類的夢想.根據熱力學第二定律,當系統處于熱力學平衡態時,定向輸運是不可能產生的.由此可知若系統的時空對稱性破缺(非對稱周期勢[1,2]、非對稱周期力[3]、噪聲作用[4?7]等)才會產生定向輸運.棘輪系統正是這樣一種處于非平衡態并能產生定向輸運的系統[8?10].為了研究系統的定向輸運,人們提出了各種布朗棘輪模型[11?13].通過分析布朗粒子的運動情況,可清晰地了解棘輪系統中粒子的定向輸運特性[14].所得理論結果在實驗上還可應用于提高納米量級分子馬達的性能[15?18].

目前,有關棘輪中粒子的輸運性能已得到廣泛研究.如Ai等[19]研究了外力頻率對定向輸運的影響,發現外力頻率能影響布朗馬達的運動方向.除了外力作用,負載力不僅會降低分子馬達的輸運能力,而且還會使肌球蛋白VI在接觸位點的平均駐留時間呈指數增長[20].更為有趣的是耦合作用也會促進粒子的定向輸運,當單個布朗粒子陷于勢阱底部并處于大阻尼時,不能形成定向輸運.然而當考慮多粒子耦合時,粒子可跨越勢壘并能產生輸運現象[21].在生物體內部的定向輸運過程中,正是這種耦合作用促進了分子馬達的輸運性能[22].因此,研究耦合作用能夠幫助我們獲得馬達系統的定向輸運能力[23].此外,棘輪系統的優化控制也是研究粒子間合作定向輸運的重要方面.通過不斷對開環控制策略進行改進,文獻[24—28]提出了依賴于系統狀態的閉環控制方法.實驗上這種控制方式的實現是通過監測溶液中膠體粒子任一時刻的狀態來決定外勢的打開或關閉[29].這種控制方式不僅可為分子馬達的步進機理及效率做出解釋[30?32],而且還可優化棘輪技術[33].因此我們將結合實驗上的這種控制方法進一步研究反饋耦合布朗棘輪中粒子的定向輸運性能.

近年來,關于布朗棘輪中粒子定向輸運性能的研究雖已取得很多突破性的進展[34,35],但是反饋耦合棘輪中粒子的能量轉化效率了解得并不是十分清楚.因此分析耦合粒子的能量轉化效率對深入了解耦合作用下的反饋控制棘輪中粒子的輸運特性也是非常必要的.研究效率問題不僅幫助我們從能量角度了解棘輪系統中粒子的輸運性能,還可清晰地獲得棘輪系統中粒子對輸入能量的利用率[36].目前實驗上已發現分子馬達的能量轉化效率很高,有的甚至接近百分之百,而現有理論計算得到的結果與馬達實際的效率相比還有很大差距[37].因此,理論上找到影響效率的關鍵因素,并對此進行優化來提高棘輪系統中粒子對輸入能量的有效利用率至關重要.棘輪系統中粒子的能量轉化效率越高,說明定向輸運的性能越理想.

為全面了解反饋棘輪中粒子的定向輸運性能,本文采用含負載力、時變外力的反饋耦合布朗棘輪模型,研究外勢的空間不對稱性、外力的時間不對稱性及外力作用周期等對耦合布朗粒子的平均速度、擴散及能量轉化效率的影響.結果發現:隨外力的時間不對稱度的增加,反饋棘輪中粒子的速度、擴散及效率的最優值均隨之增大;為提高系統中粒子的輸運性能,本文還詳細討論了反饋耦合棘輪中粒子的效率,同時所得結論可為納米機器動力系統效率的提高起到理論指導作用[38].需要指出的是,在某一外力作用周期下,存在合適的外勢空間不對稱度能使反饋棘輪中粒子的輸運性能達到最大.

2模 型

本文主要研究過阻尼下的耦合布朗粒子.受非對稱周期勢U(xi)、非對稱周期外力F(t)、反饋控制ε(t)、負載力λ及噪聲的作用,其動力學行為可由過阻尼朗之萬方程描述[39,40]:

其中,兩個耦合布朗粒子在t時刻的位置分別表示為x1(t)和x2(t);γ為介質的阻尼系數;考慮粒子間的相互作用為彈性耦合,且彈性系數為k,自然長度為l;λ為布朗粒子受到的負載力;F(t)為t時刻耦合布朗粒子受到的非對稱周期外力,如圖1所示.

圖1中A表示周期外力的振幅,τ為外力作用時間的周期.一個周期內,A的作用時間為τ1,?A的作用時間為τ2,當τ1= τ2時,正、負外力會相互抵消,當τ1?= τ2時,總的外力效果會產生一個凈力[3]. 用σt(σt= τ1/τ2)表示外力作用時間的不對稱度.由此可知外力作用時間的不對稱度越大,說明一個周期內A的作用時間就越長,相同時間內向耦合棘輪中粒子輸入的能量也越多.此外,ξ1(t)與ξ2(t)為高斯白噪聲,且滿足〈ξi(t)〉=0,〈ξi(t)ξj(t)〉=2Dδijδ(t? t′), 其中D為噪聲強度.方程中G(xi(t))表示粒子受到棘輪勢的作用,具有如下關系:

U(xi)為周期外勢,其表述如下,

其中d表示勢壘高度,如圖(2)所示.本文采用棘輪勢的周期L=1.外勢的不對稱系數可表示為σs=c/(L?c)(0＜c＜L),反映棘輪勢空間的不對稱程度.因此σs可決定棘輪勢的結構.

圖1 非對稱周期外力示意圖Fig.1.The schematic diagram of asymmetric periodic external force.

圖2 耦合布朗棘輪結構示意圖Fig.2.The schematic diagram of coupled Brownian ratchets.

方程(1),(2)中ε(t)為控制棘輪勢打開或關閉的開關.如果布朗粒子受到外勢的平均作用大于零,那么耦合棘輪處于打開的狀態(ε(t)=1),如果受到外勢的平均作用小于或等于零,耦合棘輪處于關閉的狀態(ε(t)=0),所以控制開關ε(t)可表示為

其中Θ為亥維賽函數,g(t)表示耦合布朗粒子在棘輪勢中受到的平均作用力,即

因此方程(1)和(2)表示為受反饋控制的耦合布朗粒子運動方程.

為了研究耦合布朗粒子的定向輸運,本文計算了耦合布朗粒子質心的平均速度.其表達式如下[36,41]:

其中,〈·〉表示系綜平均.由于耦合布朗粒子會發生擴散現象,因此引入平均有效擴散系數Deff來描述粒子質心位移的漲落,其表達式如下[34]:

式中,T為耦合粒子的演化時間.對于反饋耦合棘輪來說,僅知道耦合粒子質心的平均速度和擴散還不足以對反饋棘輪中粒子的定向輸運性能進行全面了解,因此本文還將重點討論耦合棘輪中粒子的能量轉化效率η,其表達式如下[23]:

其中,〈Vi〉為粒子的平均速度.該效率表示為一定時間內耦合棘輪中粒子克服負載所做的有用功與外力輸入到系統的總能量之比.需要注意的是,采用(9)式計算效率時,如果外力F(t)很小,分母中由外力輸入到系統的總能量也會很小,此時數值計算的結果會有一定波動.

本文采用隨機龍格-庫塔算法對方程(1)和(2)進行數值計算.為了獲得穩定的系綜平均值,計算時模擬5×103條軌道,每個軌道演化50個周期,其中時間步長h=10?3.文中所有物理量均采用無量綱化處理,無特殊說明參量取γ=1.0,l=0.4,L=1.0,d=2.5.

3結果與討論

3.1 外力振幅的影響

圖3(a)為不同外力作用時間的不對稱度σt下耦合布朗棘輪中粒子質心的平均速度隨外力振幅A的變化關系曲線.從圖中可發現存在一個最優振幅強度能使耦合粒子的定向輸運達到最大.當時間不對稱度σt逐漸增大時,耦合棘輪中粒子質心平均速度的最大值也會隨之增大,且粒子質心達到最大速度時所需的最優振幅逐漸減小.這是因為隨著σt的增大,每個周期內施加在耦合棘輪中粒子正向力的作用時間增加,這樣即使在較小的外力振幅作用下由外力輸入到耦合棘輪中粒子的總能量也會增大,這樣耦合粒子越過勢壘形成定向運動的概率增加,促使耦合布朗棘輪中粒子質心的平均速度變大.

圖3(b)給出了改變外力作用時間的不對稱度σt時,外力振幅A對耦合棘輪中粒子質心的平均有效擴散系數的影響.研究發現,當振幅達到某一合適值時,耦合粒子質心的平均有效擴散系數會達到一個最大值.然而,隨著時間不對稱度σt的增加,平均有效擴散系數的最大值也會隨之增大,且最大值對應的最優振幅強度會隨之減小.說明外力作用時間的不對稱度對耦合粒子質心的擴散同樣能起促進作用.

為了更好地研究反饋棘輪中粒子定向輸運的性能,本文還探討了外力作用時間的不對稱度σt對棘輪中粒子能量轉化效率的影響,結果如圖3(c)所示.需要說明的是,采用(9)式計算效率,當外力振幅很小時,分母所示的由外力輸入到系統中粒子的總能量將趨于零.此時數值計算的效率會很大,結果會導致圖像有一定的波動,所以在不影響分析反饋棘輪中粒子輸運性能的前提下我們的振幅取值如圖3(c)所示.可以發現棘輪中粒子效率不是外力振幅A的單調函數,且存在振幅的最優值能使耦合棘輪中粒子的效率達到最大.因為當外力輸入的能量足以驅動粒子跨越勢壘形成定向運動后,如果再繼續增大振幅輸入更多的能量,此時耦合粒子并不能對輸入的全部能量進行有效利用,從而導致能量轉化效率降低.總體來看,當外力作用時間的不對稱度σt增大時,反饋棘輪中粒子的能量轉化效率也會隨之增大,且效率最大值所對應的最優振幅強度逐漸減小.如當σt=9.0時,可利用較小的外力振幅就能使反饋棘輪中粒子獲得較大的輸運效率.說明外力作用時間的不對稱度能促進反饋控制棘輪中粒子的能量轉化.

圖3 (網刊彩色)(a)平均速度〈V〉,(b)平均有效擴散系數Deff和(c)能量轉化效率η隨外力振幅A的變化曲線,其中D=0.01,k=1.0,λ=5.0,σs=0.96,τ=10Fig.3.(color online)The curves of(a)the centerof-mass velocity 〈V 〉,(b)the average effective diffusion coefficient Deffand(c)the energy conversion effi ciency η varying with the amplitude of external force A,where D=0.01,k=1.0,λ =5.0,σs=0.96,τ=10.

3.2 外力作用周期的影響

圖4(a)給出了不同外勢不對稱系數σs下,耦合棘輪中粒子質心的平均速度隨外力作用周期τ的變化關系.從圖中可發現,在外力作用周期不太大時,耦合布朗粒子質心的平均速度呈準周期變化,且當外力周期較小時速度的波動很大,這是因為當外力作用周期較小時,外力振幅A方向變化的頻率較快,因此會導致耦合粒子受力不穩定,所以速度圖像振蕩較明顯;然而當外力作用周期較大時,外力振幅A方向變化的頻率較慢,因此粒子受力趨于穩定且平均速度波動較小.研究還發現,隨著外力周期的變化,外勢的不對稱度對反饋棘輪中粒子定向輸運的影響也發生改變.如在較小的外力周期下,當σs=0.7時耦合棘輪中粒子的定向輸運最強.而當外力周期增大時,如τ＞1.0,最優的外勢不對稱度變為0.65.因此可通過選取合適的外勢空間不對稱度和外力周期來共同促進反饋棘輪中粒子的定向輸運.

圖4(b)給出了在不同的外勢不對稱系數σs下耦合粒子質心的平均有效擴散系數隨外力作用周期τ的變化關系曲線.研究發現,耦合布朗粒子質心的平均有效擴散系數隨外力作用周期τ也呈準周期變化,隨著外力周期τ的增加,耦合粒子質心有效擴散系數變化的幅度逐漸變小,說明此時耦合棘輪中粒子的定向輸運逐漸增強;然而隨著外勢不對稱度σs的增加,我們發現耦合棘輪中粒子質心擴散的幅度隨之降低,說明利用較大的空間不對稱度能夠有效地抑制反饋棘輪中粒子質心的擴散,達到增強耦合系統中粒子定向輸運的效果.

為了更清晰地了解反饋耦合棘輪中粒子的輸運性能,本文還進一步討論了外力作用周期τ對系統中粒子能量轉化效率的影響,得到的結果如圖4(c)所示.研究發現,耦合棘輪中粒子效率的變化同粒子平均速度的變化趨勢一樣不會隨著外力周期τ呈單調變化.當外力作用周期較小時,方向變化頻率較為頻繁,大部分能量都消耗在F(t)方向的頻繁轉變上,因此用來跨越勢壘的能量較少;當外力作用周期較大時,F(t)方向變化的頻率降低,此時耦合粒子會利用更多的能量來跨越勢壘并形成定向輸運.此外,研究還發現,當外勢空間的不對稱度σs等于0.4或0.7時,隨著周期τ的增加,棘輪系統中粒子能量轉化效率逐漸趨于穩定;然而當外勢空間的不對稱度相對較小如σs等于0.55或0.65時,隨著外力作用周期的增加,耦合棘輪中粒子的效率仍在增大.說明較小的外勢空間不對稱度對反饋控制棘輪中粒子效率的提高具有促進作用.

圖4 (網刊彩色)(a)平均速度〈V〉,(b)平均有效擴散系數Deff和(c)能量轉化效率η隨外力周期τ的變化曲線,其中D=0.01,k=0.1,A=3.75,λ=2.0,σt=0.8Fig.4.(color online)The curves of(a)the center-ofmass velocity 〈V 〉,(b)the average e ff ective di ff usion coefficient Deffand(c)the energy conversion efficiency η varying with the period of external force τ,where D=0.01,k=0.1,A=3.75,λ =2.0,σt=0.8.

3.3 噪聲的影響

圖5(a)給出了不同彈簧勁度系數k下耦合布朗棘輪中粒子質心的平均速度隨噪聲強度D的變化關系.可以發現,在不同的彈簧勁度系數k下,都會存在一個最優的噪聲強度D使反饋棘輪中粒子質心的平均速度達到最大.此外,隨著彈簧勁度系數k的增大,耦合棘輪中粒子質心達到最大速度時的最優噪聲強度也隨之增加.這是因為隨著耦合粒子相互作用的增強,粒子不容易越過勢壘形成定向運動.因此隨著k的增加,耦合棘輪中粒子需要較大的噪聲強度來促進耦合粒子越過勢壘,從而形成定向輸運.這也說明噪聲在耦合棘輪中的作用并不總是阻礙系統中粒子的定向輸運.此外,當噪聲強度D很大時,不同彈簧勁度系數下的棘輪中粒子質心速度趨于一致.說明當系統的噪聲很強時粒子完全在做自由擴散運動,粒子間的相互作用對耦合系統中粒子的定向輸運不再起作用.

圖5(b)為不同彈簧勁度系數k下反饋棘輪中粒子質心的平均有效擴散系數與噪聲強度D的關系曲線.研究發現,同樣存在合適的噪聲強度D使反饋棘輪中粒子質心的平均有效擴散系數達到最大.說明在耦合棘輪中,噪聲并不總是促進耦合布朗粒子的自由擴散.此外,隨著彈簧勁度系數k的增大,Deff的最大值也隨之增大,說明對于耦合布朗粒子,在一定條件下耦合強度也能促進反饋控制棘輪中粒子的擴散.然而,當噪聲強度D很大時,不同勁度系數k下的有效擴散趨于一致,說明此時噪聲占據主導作用,耦合粒子在做自由擴散運動.

為了更詳細地研究耦合棘輪中粒子的定向輸運性能,圖5(c)進一步研究了不同彈簧勁度系數k下反饋棘輪中粒子能量轉化效率隨噪聲強度D的變化關系.研究發現,同樣存在最優的噪聲強度D能使反饋棘輪中粒子的效率達到最大.因為當噪聲很弱時,棘輪中粒子熱運動不明顯,因此粒子很難越過勢壘形成定向輸運;然而在較大噪聲強度下,粒子完全在做自由擴散,同樣不利于形成定向輸運.同時還發現,當噪聲強度D非常弱時,利用較小的勁度系數能使棘輪系統中粒子獲得較大的效率;而當噪聲強度D很大時,不同勁度系數下反饋棘輪中粒子的能量轉化效率趨于一致.說明當耦合粒子完全在做自由擴散運動時,勁度系數對耦合棘輪中粒子能量轉化的影響不再明顯.也就是說,利用合適的熱漲落和粒子間的相互作用同樣可提高反饋控制棘輪中粒子的能量轉化效率.

圖5 (網刊彩色)(a)平均速度〈V〉,(b)平均有效擴散系數Deff和(c)能量轉化效率η隨噪聲強度D的變化A=3.75,λ =2.0,σt=0.8,σs=0.96,τ=10Fig.5.(color online)The curves of(a)the centerof-mass velocity 〈V 〉,(b)the average e ff ective diffusion coefficient Deffand(c)the energy conversion efficiencyηvarying with the noise intensity D,where A=3.75,λ =2.0,σt=0.8,σs=0.96,τ=10.

4結 論

本文研究了處于負載力、時變外力及噪聲作用下反饋耦合布朗棘輪中粒子的定向輸運性能.詳細分析了外勢的空間不對稱性、外力的時間不對稱性、外力周期及噪聲強度對耦合布朗粒子質心的平均速度、擴散及棘輪系統中粒子能量轉化效率的影響.研究發現,外力的時間不對稱度能促進反饋棘輪中粒子的定向輸運,且在不同的時間不對稱度下,耦合布朗粒子質心的平均速度、平均有效擴散系數及能量轉化效率均能達到最優值.同時,在不同的空間不對稱度下,棘輪中粒子質心的平均速度、擴散及系統中粒子能量轉化效率隨著外力周期的增加呈準周期變化.此外,合適的噪聲強度也能促進反饋棘輪中粒子的輸運效率.上述結論可應用于滲透、粒子分離與提高分子馬達的效率等方面,對微觀尺度下生物納米器件的研制具有一定的理論指導作用.

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PACS:05.40.–a,05.40.Jc,02.30.YyDOI:10.7498/aps.66.010501

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grand Nos.11475022,11347003)and the Scienti fi c Research Funds of Huaqiao University and the Excellent Talents Program of Shenyang Normal University,China(Grand No.91400114005).

?Corresponding author.E-mail:tianfugao@synu.edu.cn

Investigation on the directed transport efficiency of feedback-control ratchet?

Fan Li-Ming1)Lü Ming-Tao1)Huang Ren-Zhong1)Gao Tian-Fu1)?Zheng Zhi-Gang2)

1)(College of Physical Science and Technology,Shenyang Normal University,Shenyang 110034,China)2)(College of Information Science and Engineering,Huaqiao University,Xiamen 361021,China)(Received 7 June 2016;revised manuscript received 30 September 2016)

Brownian motion in the environment of the thermal fl uctuations is a long-study issue in nonequilibrium statistical physics.In recent years,the directed transport properties of Brownian ratchets attract the widespread attention of scholars.When a ratchet system possesses the spatio-temporal symmetry-breaking feature,the directed transport can be produced.Although the breakthrough progress in the directed transport of the Brownian ratchet has been made,the energy conversion efficiency of feedback ratchet is not clear.Therefore,the center-of-mass mean velocity and the energy conversion efficiency of coupled ratchet under the in fl uences of the time asymmetry of external force and the spatial asymmetry of external potential are discussed in detail.

The overdamped coupled Brownian particles are investigated.Nevertheless,the optimized control of the coupled ratchet is the important for directed transport.Therefore,the closed-loop control which depends on the state of the system is adopted.The dynamic behavior of coupled particles can be described by the overdamped Langevin equation,and the equation is numerically solved by using the stochastic Runge-Kutta algorithm.Some properties of the directed transport can be obtained through this method,such as the center-of-mass mean velocity,the energy conversion efficiency,etc.

It is interesting to fi nd that the center-of-mass mean velocity can reach a maximum as the amplitude of external force increases.However,the mean velocity can show the quasi-periodic oscillations with the increase of the period of external force for di ff erent values of the spatial asymmetry of external potential.In addition,it can be found that the feedback ratchet needs strong noise to make the directed transport of the ratchet reach the maximum as the coupled strength increases.On the other hand,the energy conversion efficiencies of the feedback ratchet can achieve their corresponding maximum values with the increase of the amplitude of external force for di ff erent values of the time asymmetry,and the maximum increases as the time asymmetry increases.However,the efficiency can also show the quasi-periodic oscillations with the increase of the period of the external force for di ff erent values of the spatial asymmetry of external potential.Moreover,the energy conversion efficiency can achieve the maximum as the noise strength increases,but the maximum of the efficiency will decrease with the increase of coupling strength.From the discussion above,the optimal values of the time asymmetry,the spatial asymmetry,the period of the external force and the noise strength can promote the directed transport of the feedback coupled Brownian ratchet.These conclusions can provide some guidance in the enhancement of the energy conversion efficiency of a nanomachine.

feedback control,spatio-temporal asymmetry,directed transport,energy conversion efficiency

10.7498/aps.66.010501

?國家自然科學基金(批準號:11475022,11347003)、華僑大學科研啟動費項目和沈陽師范大學優秀人才支持計劃(批準號:91400114005)資助的課題.

?通信作者.E-mail:tianfugao@synu.edu.cn