數(shù)學(xué)解題中“構(gòu)造法”的應(yīng)用探討

梅永健

構(gòu)造法，即對(duì)于難以解決的數(shù)學(xué)題目，根據(jù)題的條件和結(jié)論所含有的特征，性質(zhì)等，改變思考問(wèn)題的方向，從全新的角度，新的觀點(diǎn)來(lái)讀懂題目，了解題目，聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)條件和結(jié)論之間，構(gòu)造出一種以基本數(shù)學(xué)知識(shí)為支架的數(shù)學(xué)對(duì)象，讓原本模糊的知識(shí)點(diǎn)清晰起來(lái)，從而聯(lián)系到已知知識(shí)點(diǎn)，借助該構(gòu)造好的數(shù)學(xué)模型，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

一、構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合方程

方程和函數(shù)之間是相互緊緊聯(lián)系的，學(xué)生對(duì)于函數(shù)比較熟悉，對(duì)于構(gòu)造法也比較好展開(kāi)討論.對(duì)于代數(shù)類型、幾何類型的數(shù)學(xué)題中，幾乎都貫徹了函數(shù)的解題思想，所以在進(jìn)行這類題的解答中，利用構(gòu)造法，將難懂難分解的幾何、代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易懂的函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而對(duì)此題進(jìn)行求解，在一定程度上增加了學(xué)生的思維能力.

例1求證：|a+b+c|/（|a+b+c|+8）≤（|a|+|b|+|c|）/（8+|a|+|b|+|c|）.

分析把不等式中的|a+b+c|視為一個(gè)整體，可以構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)y=xx+8.再利用它的單調(diào)性來(lái)證明.

解構(gòu)造函數(shù)y=x/（x+8），x∈[0，+∞）.

而容易證明該函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的.

又因?yàn)?≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|，

所以f（|a+b+c|）

從而得|a+b+c|/（|a+b+c|+8）

≤（|a|+|b|+|c|）/（8+|a|+|b|+|c|）.

二、構(gòu)造向量，提高效率

用向量解數(shù)學(xué)題是高中數(shù)學(xué)中較為常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造法中運(yùn)用向量可以在一定程度上節(jié)約時(shí)間，節(jié)約學(xué)生學(xué)習(xí)的精力，對(duì)于某些不等式的結(jié)構(gòu)我們通常會(huì)覺(jué)得其跟向量的數(shù)量積很相似，所以我們可以將不等式進(jìn)行變形，將已有的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式，為解題提供更方便快速的方法，進(jìn)而進(jìn)行解題.

例2求函數(shù)f（x）=1-x+x+3的最大值.

分析本題的常規(guī)思路是用導(dǎo)數(shù)法求最值，但運(yùn)算量太大.注意到（1-x）+（x+3）=4是常數(shù)，則想到向量的數(shù)量積不等式，故可構(gòu)造向量來(lái)解題.

解設(shè)ON=（1，1），OM=（1-x，x+3），

所以|ON|=2，|OM|=2，

f（x）=1×1-x+1×x+3=ON·OM

≤|ON||OM|=22（x=-1時(shí)取等號(hào)）.

所以f（x）最大值為22.

三、構(gòu)造數(shù)列，簡(jiǎn)單快速

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，對(duì)于已知數(shù)列的首項(xiàng)及相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，常可以用構(gòu)造數(shù)列法進(jìn)行解答.

例3設(shè)a1=1，an+1=2an+3×（1/2）n+1，求an.

分析遞推式像等比數(shù)列，但又多了一項(xiàng)，聯(lián)想到等比數(shù)列，不妨構(gòu)造出新的等比數(shù)列來(lái)求解.

解假設(shè)遞推式可化成等比數(shù)列的形式

an+1+p（12）n+1=2[an+p（12）n].

整理得an+1=2an+（2p-p2）（12）n.

與題設(shè)遞推式對(duì)照，可知2p-p2=32，得p=1.

故新數(shù)列{an+（12）n}是公比為2，首項(xiàng)為a1+12=32的等比數(shù)列.所以an+（12）n=32×2n+1，

從而an=3×3n-2-2-n.

了解過(guò)考試的同學(xué)們應(yīng)該都知道，高考側(cè)重于人才的挑選，并不是死記硬背可以考出好成績(jī)的，它注重于對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)能力、思維能力、創(chuàng)造能力的考查，所以高考題大多都是源于課本，但對(duì)于原有的知識(shí)又有了進(jìn)一步的拓展.所以對(duì)于解答數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，學(xué)生不應(yīng)該看到題感覺(jué)難而放棄對(duì)題進(jìn)行解答，應(yīng)該立足于知識(shí)點(diǎn)，拓展思路，充分地運(yùn)用構(gòu)造法，可以在一定程度上改變苦無(wú)思路的情況.難點(diǎn)，有方向地進(jìn)行攻克以及學(xué)習(xí).以高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的對(duì)稱函數(shù)進(jìn)行分析，學(xué)生成立小組，教師不限定具體函數(shù)形式，讓學(xué)生進(jìn)行自我摸索，確定對(duì)稱函數(shù)，通過(guò)幾何畫板，來(lái)具體地展示函數(shù)的對(duì)稱操作，對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行限定以及進(jìn)行確定，小組進(jìn)行詳細(xì)的講解，包括小組制作這一幾何畫板的思路以及對(duì)于這一知識(shí)的理解等，能夠?qū)嶋H地鍛煉學(xué)生的合作意識(shí)以及學(xué)生的總結(jié)能力.

總之，幾何畫板在高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用效果較為突出，應(yīng)用價(jià)值較高，具體表現(xiàn)為能夠具體化高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容，以及提升學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解深度，以及學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，能夠發(fā)展高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的質(zhì)量以及效率，達(dá)到在預(yù)期時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)目標(biāo).