組合口徑反射鏡曲率半徑誤差分析

姜彥輝 陳曉麗 武永見 李巖

（北京空間機電研究所，北京 100094）

組合口徑反射鏡曲率半徑誤差分析

姜彥輝 陳曉麗 武永見 李巖

（北京空間機電研究所，北京 100094）

研制大口徑望遠鏡系統，通常采用組合口徑反射鏡來代替單體反射鏡。組合口徑反射鏡的方案相比于傳統方案減小了加工、運輸等各方面的困難，同時它也會引入分塊鏡的曲率半徑誤差。為更好地了解組合口徑反射鏡曲率半徑誤差對光學性能的影響，文章以整體口徑為6.6m、曲率半徑為21.34m的由18塊六邊形分塊鏡拼接而成的反射鏡為例，對組合口徑反射鏡曲率半徑誤差進行分析。首先建立組合口徑反射鏡模型，通過計算求得反射鏡的波像差與斯特列爾比，最終確定反射鏡曲率半徑誤差的合理變化范圍。結果表明，曲率半徑誤差對不同位置分塊鏡的波像差影響不同，去除位置因素后，各分塊鏡對反射鏡波像差的影響相同。文章所設計的反射鏡，如果各分塊鏡之間的曲率半徑誤差應小于±0.14mm，則滿足斯特列爾比大于0.8且最大波像差小于λ/4。文章對組合口徑反射鏡的設計、加工和裝調等有參考價值。

曲率半徑誤差 波像差 斯特列爾比 組合口徑反射鏡 航天遙感

0 引言

隨著對望遠鏡分辨率的要求越來越高，光學系統口徑也越來越大，受光學材料均勻性、加工水平等的限制，傳統單體反射鏡已經不能滿足要求，需采用組合口徑反射鏡的解決方案[1-4]。組合口徑是目前實現超大口徑望遠鏡的主要技術途徑。由于各分塊反射鏡（以下簡稱分塊鏡）單獨加工和檢測，它們的曲率半徑必然存在差異且很難通過其它光學元件進行補償，會使反射鏡的面型發生復雜的變化，影響其光學性能，因此需要對曲率半徑誤差進行詳細的分析。文獻[5-7]對組合口徑反射鏡曲率半徑誤差做了大量的理論研究工作；文獻[8]對三塊分塊鏡模型進行了研究；文獻[9]對曲率半徑誤差進行簡單分析，但是涉及組合口徑反射鏡曲率半徑誤差分析并不全面。本文建立了組合口徑反射鏡模型，對曲率半徑殘余誤差進行了詳細分析，為組合口徑反射鏡的加工與裝調提供參考。

1 組合口徑反射鏡數學建模

如圖1所示，本文所研究反射鏡是由多個六邊形離軸非球面鏡組成。分塊鏡的個數N和反射鏡的圈數M滿足式（1）（除去中間的通光孔徑），反射鏡外切圓直徑D和單個分塊鏡外切圓直徑d之間的關系為式（2）[10]。對于口徑為6.6m的反射鏡，考慮反射鏡的加工水平、成本以及主動調整的復雜度等多方面因素，采用2圈18塊分塊鏡的分塊方式，此時每塊分塊鏡外切圓直徑約為1.52m。

建立組合口徑反射鏡模型，首先需要確定各分塊鏡中心點之間位置關系。以組合口徑反射鏡的中心點為坐標原點建立直角坐標系，如圖1（a）所示。已知六邊形分塊鏡外切圓半徑r，可得到同一列分塊鏡的分塊鏡中心點坐標X軸相同，Y軸間隔為而相鄰兩列分塊鏡中心點之間的間隔為 3r/2。通過對分塊鏡位置分析，可以確定每個分塊鏡的中心點坐標。

如圖1（b）為某個分塊鏡，以分塊鏡的中心點O′(x0，y0)作為基準點，在已知分塊鏡的外切圓半徑r的情況下，利用六邊形的對稱性，可以算出六邊形分塊鏡的每條邊界的直線方程：

式中 L1、L2、L3、L4、L5、L6分別為某個分塊鏡的六條邊；x、y為在XOY坐標系下的坐標。

2 組合口徑反射鏡誤差分析及評價方法

2.1 誤差分析方法

分塊鏡的曲率半徑殘余誤差在一定范圍內是隨機分布的，本文假設曲率半徑誤差為某一范圍內極值時，分析分塊鏡曲率半徑殘余誤差對反射鏡面形的影響。

本文設計的反射鏡為非球面反射鏡，因此分析不同空間位置分塊鏡的曲率半徑誤差對光學性能的影響時，其光學性能和分塊鏡中心與組合口徑反射鏡中心的距離有關，故可分為三種不同空間位置的分塊鏡，即如圖1（a）中的分塊鏡A、分塊鏡B、分塊鏡C。

由于反射鏡曲率半徑誤差會引起偏移誤差和傾斜誤差，即位置誤差，而反射鏡的位置誤差是可以通過主動調整予以補償[11-12]。對于組合口徑反射鏡光學系統波前檢測與控制，首先需要探測全系統的波前，通過對波前圖像分析確定各分塊鏡子鏡與波前圖像的位置對應關系，并應用 Zernike多項式分別擬合各分塊鏡的波像差，進而可以求得各分塊鏡的位置誤差大小，最終調節各分塊鏡位姿[13-17]。由于本文所設計分析的為曲率半徑誤差對組合口徑反射鏡波像差的影響，已知分塊鏡波像差的位置對應關系，因此應用 Zernike多項式擬合分塊鏡波像差，即可求得各分塊鏡的位置誤差大小，并在原始數據的基礎之上去除位置誤差，最終得到曲率半徑誤差對波像差的影響情況。

2.2 評價方法

本文應用反射鏡曲率半徑誤差對最大波像差及斯特列爾比的影響作為評價標準，要求其滿足瑞利準則最大波像差Wmax小于λ/4（λ=632.5nm）且斯特列爾比S.D大于0.8。

非球面反射鏡矢高S為：

式中 R為反射鏡的曲率半徑；H為反射鏡上點到光軸的徑向坐標。當反射鏡的曲率半徑R遠遠大于分塊鏡的外切圓半徑r時，反射鏡的矢高近似表示為：

當反射鏡的曲率半徑R發生變化時，所引起的矢高變化為：

由式（6）求得反射鏡曲率半徑變化所引起的波像差W的變化為：

斯特列爾比（S.D）表示有像差時衍射像中心的最大亮度與無像差最大亮度之比[18]，表示為：

式中 ρ、θ分別為光瞳面極坐標；W（ρ，θ）為系統的波像差。而當系統為小像差情況下，S.D近似為：

式中 k為波數，即在光波傳播方向上每個單位長度內的光波數；2與2分別為光瞳面上波像差的平方平均值和平均值的平方，即：

經過上述分析可知，反射鏡曲率半徑誤差的增大會使其波像差也隨之增大，同時波像差的改變會使反射鏡的斯特列爾比也隨之變化，通過對波像差及斯特列爾比的分析，可以確定分塊鏡曲率半徑誤差合理范圍。

3 仿真分析

本文所設計的非球面反射鏡由18塊六邊形分塊鏡拼接而成，反射鏡外接圓直徑為D=6.6m，曲率半徑為R=21.34m，應用MATLAB軟件對組合口徑反射鏡進行仿真分析。

根據第一節所述的組合口徑反射鏡建模方法，對本文所設計的反射鏡進行建模分析，如圖2所示為組合口徑反射鏡不存在誤差時的理想面形圖像。

3.1 空間位置對曲率半徑誤差影響

當分塊鏡存在曲率半徑誤差時，通過式（7）即可求出反射鏡的波像差，進而可以求出其最大波像差。當不同位置分塊鏡存在不同的曲率半徑誤差時，反射鏡的最大波像差變化如圖3（a）所示，由圖像可知，分塊鏡曲率半徑誤差對波像差的影響隨著分塊鏡中心與反射鏡中心的距離的增大而增大。當去除了分塊鏡的位置誤差后，其最大波像差圖像如圖3（b）所示，此時不同位置分塊鏡的曲率半徑誤差的變化對反射鏡最大波像差影響相同。由此可知，當曲率半徑誤差相同時，不同位置分塊鏡的曲率半徑誤差所引起的波像差不同是由于其所引起的位置誤差不同，通過去除分塊鏡的位置誤差后，各分塊鏡曲率半徑誤差對波像差的影響相同。

3.2 曲率半徑誤差不一致性分析

組合口徑反射鏡的各分塊鏡存在曲率半徑誤差（ΔR=±0.1mm）時，反射鏡波像差圖像如圖4（a）所示，此時反射鏡曲率半徑誤差有正有負。通過式（7）和式（9）即可求出分塊鏡存在曲率半徑誤差時，反射鏡的最大波像差及斯特列爾比的大小，經過分析，若要滿足最大波像差小于λ/4及斯特列爾比大于0.8的要求，則分塊鏡的曲率半徑誤差ΔR=±3.7μm，其對分塊鏡曲率半徑殘余誤差要求十分苛刻。由圖4（a）可知，此時各分塊鏡波前與理想鏡面存在位置誤差，而位置誤差可以通過調節進行補償。當去除圖4（a）中各分塊鏡的位置誤差后，組合口徑反射鏡曲率半徑誤差對波像差的影響如圖4（b）所示，由圖像可知，此時反射鏡的波像差圖像與原波像差圖像相比數值明顯變小，因而極大地降低了曲率半徑誤差對反射鏡波像差的影響。

去除了分塊鏡的位置誤差后，曲率半徑誤差所引起的波像差均方根WRMS、最大波像差Wmax以及斯特列爾比S.D的變化曲線如圖5所示。由圖像可知，組合口徑反射鏡的波像差隨著曲率半徑誤差的增大而逐漸增大，斯特列爾比隨曲率半徑誤差的增大逐漸減小，擬合公式如下：

經過分析，根據對組合口徑反射鏡的要求，對于λ=632.5nm的波長，當組合口徑反射鏡整體的曲率誤差ΔR=±0.14mm時，反射鏡最大波像差為Wmax=0.157 2λ＜λ/4，滿足瑞利準則的要求，同時反射鏡的斯特列爾比S.D=0.815 5，滿足大于0.8的要求，反射鏡的波像差均方根WRMS=0.068 4λ，因此所設計的組合口徑反射鏡曲率半徑誤差標準為ΔR=±0.14mm滿足要求，是合理可行的。

由上述分析可知，組合口徑反射鏡的曲率半徑誤差會使分塊鏡產生位置誤差，通過對比去除位置誤差與未去除位置誤差的兩種情況下反射鏡光學性能的變化，可以得出，去除分塊鏡的位置誤差后，極大降低了組合口徑反射鏡的曲率半徑誤差對光學性能的影響，進而更好的分析組合口徑反射鏡存在曲率半徑誤差時，反射鏡光學性能的變化情況，經過分析此時反射鏡的主要像差為離焦和球差。

5 結束語

本文介紹了組合口徑反射鏡建模方法，并對其曲率半徑殘余誤差進行了詳細的仿真計算分析。當組合口徑反射鏡存在曲率半徑誤差時，反射鏡面形會發生變化，進而影響光學系統的波像差及斯特列爾比等光學性能，通過計算分析，確定組合口徑反射鏡曲率半徑誤差的合理變化范圍。經過分析，所得到的結論為：曲率半徑誤差對不同位置分塊鏡的影響不同，分塊鏡的波像差隨著分塊鏡中心與反射鏡中心距離的增大而增大，這是由于其產生的位置誤差大小不同所導致的，補償了位置誤差后，分塊鏡空間位置對反射鏡波像差的影響相同；當分塊鏡存在曲率半徑誤差時，若要滿足光學性能要求，則曲率半徑誤差ΔR=±3.7μm，補償各分塊鏡的位置誤差后，曲率半徑誤差需要滿足ΔR=±0.14mm，極大降低了對曲率半徑誤差的要求。本文講述了計算組合口徑反射鏡曲率半徑誤差合理變化范圍的方法，為實際加工、檢測、裝調等提供重要的參考價值。

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Error Analysis of Curvature Radius of Segmented Mirror

JIANG Yanhui CHEN Xiaoli WU Yongjian LI Yan
（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

There are big advantages using segmented mirror instead of monoliphic mirror to build large aperture telescope. There are less difficulties in fabrication, transportation and adjustment using segmented mirror comparing with the traditional scheme, in the meanwhile, the error of curvature radius is generated. In this paper, the error of curvature radius is analyzed on the basis of a 18 segmented hexagonal mirrors with the monolithic aperture of 6.6 meters and the curvature radius of 21.34 meters to better understand the impact of the curvature radius error of segmented mirror on optical system. First of all, the model of segmented mirror is built, then the wave aberration and Strehl Ratio of mirror are analyzed, at last the reasonable error range of curvature radius of mirror is determined. The results show that the curvature radius has various impact on wave aberration of segmented mirror in different position, when the factor of position is removed, the impacts are the same. For the mirror designed in this article, if the curvature radius error of segmented mirror is within ±0.14mm , then the mirror will satisfy that Strehl Ratio is more than 0.8 and the maximum wave aberration is less than λ/4. This paper can offer some important reference for the design, process and adjustment of the segmented mirrors.

curvature radius; error; wave aberration; Strehl Ratio; segmented mirror; space remote sensing

TP722.4

A

1009-8518(2017)03-0102-07

10.3969/j.issn.1009-8518.2017.03.012

姜彥輝，男，1991年生，2010年獲長春理工大學學士學位，現在中國空間技術研究院光學工程專業攻讀碩士學位。研究方向為空間遙感器系統設計。E-mail： 1244522236@qq.com。

（編輯：毛建杰）

2017-01-20

國家重點研發計劃地球觀測與導航重點專項（2016YFB0500802）