數學中的分類討論思想

呂美英

數學中的分類討論思想

呂美英

（重慶師范大學 數學科學學院，重慶 401331）

在數學問題的眾多研究方法中，分類討論是一種最常見的研究方法.當我們遇到的數學問題比較復雜，不能統一用一種方法解決時，我們一般會根據條件的不同分類去討論，最后再將結論整合到一起，本文主要從實際問題出發來探討該方法的重要性.

數學；分類討論；方法

每個數學結論都有其成立的條件，每一種數學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱之為分類討論思想.

分類討論思想的應用要把握以下三個原則：一、每一級的分類應該按同一標準進行，這就需要明確引起分類討論的原因，根據原因確定分類討論的標準；二、分類應逐級進行，而且每一級分類要有統一的標準，否則容易造成分類不清，影響結論的正確性；三、同級互斥，不得越級，這樣才能保證分類的對象不重復，不遺漏.

下面我們從數學的實際問題出發，來探討分類討論思想的應用：

1 高等代數中的分類討論

所以，當λ≠1且≠-2時，方程組有唯一解；當λ=-2時，方程組無解；當λ=1時，方程組有無窮多個解.

2 數學分析中的分類討論

3 概率論中的分類討論

例3 盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球，從中任意取出兩個，求這兩個球的編號之積為偶數的概率.

解析 從1,2,3,4,5,6,7,8,9九個球中，任意取出兩個球的取法種數為C92=36種，取出兩個球的編號之積為偶數有兩種情況：一奇一偶；兩個偶數.

一奇一偶有C51·C41=20種，兩個偶數有C42=6種，故兩個球的編號之積為偶數的情況有20+6=26種，所以取出兩個球的編號之積為偶數的概率為

以上只是作者對分類討論方法的簡單分析，實際問題中還有很多類似的例子.分類討論的思想不光適用于高等代數，數學分析等課程，它適用于數學的任何學科，而且是解決數學問題的一種重要的手段和方法.分類討論解決問題首先要明確分類的對象，分類的標準，然后逐級分類，分級得到階段性的結果，并用該級標準進行檢驗篩選結果，最后歸納給出結論.該思想不僅可以培養學生分析問題，解決問題的能力，同時還可以提高學生數學思維的嚴謹性，縝密性和靈活性.

〔1〕陳紀修，於崇華，金路.數學分析(第二版)[M].北京：高等教育出版社.2004.

〔2〕吳傳生.經濟數學—線性代數(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2009.

〔3〕王艷青，代欽.高中數學解題教學中的分類討論策略[J].內蒙古師范大學學報(教育科學版),2011，24(12)：121-122.

G420

A

1673-260X（2017）07-0007-01

2017-03-23

重慶師范大學基金項目：Cantor集上丟番圖逼近與Beta-連分數的若干研究（12XLZ02）