高考視角下的數列大題的求解

項先春

摘要：數列是高考中的熱點考題，常考求數列通項和前n項和.現將近幾年浙江高考數學中求數列通項和前n項和的求法進行總結，以供廣大考生復習借鑒之用.

關鍵詞：數列求和；構造法；分組求和法；裂項相消法；錯位相減法

一.融會貫通，求得通項是關鍵

下面就數列求通項的幾種方法進行分析.

1、公式法

等差、等比數列，直接用公式求解，也是其他幾種求數列通項類型題的解題基礎.

例（2015浙江高考）已知數列{an}和{bn}滿足，a1=2，an+1= 2an （n∈N*），

（1）求an；

解：（1）由a1=2，an+1=2an得an=2n

又如（13年浙江高考）等差數列{an}中公差為d，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數列.（1）求d，an.

2、累加法、累乘法

（1）遞推公式形如an+1-an= f（n）或者可以化簡為此種形式的，且f（1）+ f（2）+…+ f（n）可求，則用累加法求an.

例（1）已知數列{an}滿足a1=1，且an+1-an=n+1，（n∈N*）求數列{an}的通項公式.

（2）已知數列{an}滿足：a1=1， an+1-an=2n，求數列{an}的通項公式.

解：（1）由題意有

3、利用互化解決

例（2016·浙江高考）已知數列{an}，其前n項和為Sn.且 .

（I）求通項公式an；

解：（1）由題意得 則

又當n ≥ 2時，由an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an，得an+1=3an，

所以數列{an}的通項公式為an=3n-1，n∈N*.

這類題型高考反復在考，要注意書寫格式，務必驗證n=1時的情形，如果不成立，通項以分段函數的形式表示.

4、構造法

構造法是將遞推公式進行變形，轉化為等差或等比數列，再求通項.主要包含以下3種類型.

1、遞推公式形如an=pan-1+q，其中p、q為非零常數.

當p=1，則

當p≠1，則將其化為an+λ=p（an-1+λ）的形式；解出λ，再化為等比數列求解（待定系數法）。

例（16·嘉興市檢測）數列{an}中，已知a1=1，當n≥1時an+1=2an+1，求數列{an}通項公式。

對于此種題型或者有些學生不明白為什么要將遞推公式變形為an+λ=2（an-1+λ），可以通過列舉進行說明：數列1，3，7，15，31，…不是等差數列也不是等比數列，但各項都加上1后，變為數列2，4，8，16，32，…它是等比數列。……