有限浸深圓柱殼振動及遠場聲輻射的解析方法

郭文杰，李天勻，2，3，朱翔，張帥

1華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074 2高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240 3船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，湖北武漢430074

有限浸深圓柱殼振動及遠場聲輻射的解析方法

郭文杰1，李天勻1，2，3，朱翔1，張帥1

1華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074 2高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240 3船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，湖北武漢430074

［目的］針對目前對于自由液面影響下圓柱殼—流場耦合系統振動及聲輻射解析研究的匱乏，提出一種有限浸沒深度下有限長圓柱殼振動及遠場聲輻射的解析求解方法。［方法］采用鏡像原理和Graf加法定理得到流體速度勢的解析表達式，然后再結合能量泛函變分方法推導出計及自由液面影響的殼—液耦合振動方程，從而可以求解系統受迫振動響應。［結果］研究表明，相比于無限域，自由液面的存在會增大同階次共振頻率，但隨著浸沒深度的逐漸增加，均方振速很快趨于無限域工況。與Nastran軟件計算結果對比表明所提出的方法準確、可靠，且具有方法簡便、計算量小的優點。利用求得的振動響應，通過傅里葉變換和穩相法可得到遠場輻射聲壓，計算結果表明，自由液面會使得遠場聲壓指向性和波動性出現類偶極子效應；但是不同于振動特性，遠場聲壓并不會隨浸沒深度增大而很快趨于無限域工況。［結論］所提出的方法實現了外力激勵下計及自由液面影響的水下圓柱殼遠場聲輻射快速預報，對于半空間結構聲振問題的研究具有一定的指導意義。

自由液面；鏡像原理；Graf加法定理；遠場輻射聲壓

0 引 言

圓柱殼—流場耦合振動及聲輻射特性的研究工作很多［1-4］，但是這些工作主要針對的是無限流域這類工況。在實際工程問題中，自由液面是常見的邊界類型，因此需要對考慮自由液面影響的殼—液耦合振動及聲輻射問題進行研究。

自由液面對殼—液耦合振動影響的研究工作較少，Ergin等［5］基于實驗和三維水彈性軟件對有限浸沒深度下圓柱殼振動特性進行分析，發現結構離自由液面越近，同階次固有頻率越大。Amabili［6］對部分充液圓柱殼進行研究，提出了用扇形邊界替代自由液面的近似方法。之后，Amabili［7］將該方法拓展到處理部分浸沒問題。隨后，Ergin等［8］利用邊界積分法和鏡像原理對部分充液（浸沒）圓柱殼振動特性進行了研究，結果與實驗數據符合良好。王鵬等［9-10］基于波傳播方法和虛源法，分析了淺水域圓柱殼的自由振動特性，但是該方法假設振型不隨浸沒深度變化并且忽略了虛源聲波對結構振速的影響。Guo等［11］建立了有限浸沒深度下圓柱殼流固耦合物理模型，考慮了虛源速度勢對結構振速的影響，并采用邊界元方法研究了遠場聲輻射特性。王斌等［12］從圓柱殼表面的均方振速和輻射聲功率的角度，對半浸狀態和全浸狀態下圓柱殼在無限長線激勵作用下的聲振特性進行比較分析，指出了二者之間的差別與聯系。劉佩等［13］采用有限元軟件ANSYS對有限深度浸沒圓柱殼進行仿真，得到了與文獻［5］類似的結論，并指出自由液面對圓柱殼自由振動的影響在浸沒深度大于4倍半徑時可以忽略不計。

半空間聲學問題的解析研究工作較多，Huang［14］研究了平面波入射下二維圓柱殼的散射聲場，Hasheminejad等［15-16］開展了有限空間諧振動二維圓柱的聲場研究工作。白振國等［17］采用鏡像法建立了有限水深環境中二維圓柱殼的振動聲輻射數學物理模型，初步計算了淺水對圓柱殼振動聲輻射的影響規律及水深、潛深對聲場分布和衰減特性的影響規律。Li等［18］基于鏡像原理進行了自由液面下有限潛深無限長圓柱殼結構的聲輻射性能研究，基于穩相法，最終得到了有限浸沒深度下圓柱殼結構遠場輻射聲壓的計算表達式。但是，這些工作的研究對象皆是無限長圓柱殼，當圓柱殼長度為有限時，半空間聲學問題的求解難度較大，目前尚缺乏解析研究。

圓柱殼振動時會向外輻射聲波，由于自由液面的反射作用，反射聲波會在結構表面發生剛性散射，而散射聲觸及自由液面又會形成回波，繼而在結構表面產生多次散射和在界面產生多次反射（互散射），并最終形成穩態聲場。由于輻射聲和散射聲的相似性，可將其統一表示。基于鏡像原理，反射聲均可認為由虛源發出，故將所有聲波分為2類，即實源聲和虛源聲。若流體假設為不可壓縮，雖然流體中不存在聲波，但是也可通過鏡像原理，將速度勢設為實源速度勢和虛源速度勢來分析此類問題。

本文將基于此類思路分析計及自由液面影響的有限長圓柱殼振動響應及聲輻射問題，實際上考慮了互散射效應。采用鏡像原理來處理自由液面處聲壓為零的邊界條件，再利用Graf加法定理對實源和虛源這2種坐標系進行轉換得到速度勢在流場的分布，然后再結合能量泛函變分方法得到殼—液耦合振動方程，進而可以求解其振動特性。之后，利用傅里葉變換構建波數域殼體表面連續條件，再利用傅里葉逆變換和穩相法求得其遠場聲壓。

1 理論分析

圓柱殼長度為L，厚度為h，中面半徑為R，浸沒深度為H，u，v，w分別表示軸向、周向和徑向的中面位移，殼體材料的密度為 ρ，彈性模量為E，泊松比為 μ，流體密度為 ρf。取圓柱殼左端面中心為坐標原點o，對應直角坐標(x，y，z)。實際分析中選擇柱坐標系 (x，r，φ)，其中 x表示軸向，r表示徑向，φ為周向角（與 y軸的夾角），如圖1所示。

圖1 模型及坐標系Fig.1 Model and coordinate system

1.1 振動分析

為便于研究，本文取兩端簡支邊界條件，因此位移場如式（1）所示。

式中：m為軸向半波數；n為周向波數；Umn，Vmn，Wmn為三向位移幅值；km=mπ/L；ω為角頻率；t為時間；i為虛數單位。

本文采用能量泛函變分的方法研究有限浸沒深度圓柱殼的振動特性，故首先應得到各部分能量的表達式。殼體應變能（基于Love殼體理論［19］）可表示為

式中：ε為應變向量；σ為應力向量；V為圓柱殼體積分域。

根據位移函數的正交性，積分后，式（2）可寫成

式中：ξm，n=[Umn，Vmn，Wmn]；剛度矩陣 Kmn為三階Hermite矩陣。

殼體動能可表示為

同理，根據位移函數正交性，積分后可表示為式中，質量矩陣Mmn為三階對角矩陣。

為求解流體做功，首先需要得到速度勢函數的解析表達式。本文基于勢流理論，將流體視為不可壓縮、無旋、無粘性的理想流體，因此速度勢函數 ?(r，x，φ，t) 滿足柱坐標系下的Laplace方程：

對于水下圓柱殼，滿足無窮遠處速度勢為零的條件：

由于自由液面的存在，可以借鑒鏡像原理進行分析，認為速度勢可由結構振動直接引起的實源速度勢和自由液面反射的虛源速度勢疊加組成。虛源坐標系(x′,r′,φ′)與實源坐標系關于自由液面對稱，如圖2所示。

圖2 鏡像原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of image method

設流域中任意一點為點P，其速度勢函數可以表示為

式 中 ：?r(r，x，φ，t)為 實 源 流 體 速 度 勢 ；?i(r′，x′，φ′，t)為虛源流體速度勢。

滿足式（6）和式（7）的速度勢函數有以下形式：

式中，Kn（）為第2類修正貝賽爾函數。由于自由液面處速度勢為零，故有

當P點位于自由液面上時，滿足如下位置關系：

將式（9）和式（11）代入式（10），正交化處理后得到

式中，Ia（）為第a階第1類修正貝賽爾函數。

對于有限深度浸沒，結構表面處半徑r≈R＜2H，因此速度勢解析表達式

因為系數a和n地位等價，交換順序級數求和后上式改寫為

根據圓柱殼外壁面處速度連續條件，有

將式（16）代入式（17）中，正交化處理后可以得到速度勢幅值向量φn與位移幅值向量ζn的關系：

式中：Q為速度勢幅值向量和位移幅值向量的關系 矩 陣 ；φn={?m，-N，?m，-N+1，…，?m，N}T；ζn={Wm，-N，Wm，-N+1，…，Wm，N}T，即可將速度勢幅值向量用位移幅值向量表示。

由伯努利方程可以得到壁面處的流體動壓力

流體做功為

點激勵力做功為

式中，F0為激勵力幅值，激勵力位置為(x0，φ0)處，激勵力頻率為f。

由上述各能量分量可得到能量泛函表達式：

根據變分原理，滿足

由對幅值Umn，Vmn的偏導為0可以得到其與幅值Wmn的線性關系，簡寫為如下所示的形式：

式中，a1，b1，c1和 a2，b2，c2都是關于角頻率ω、剛度矩陣 Kmn和質量矩陣 Mmn的系數，即Umn，Vmn可由Wmn進行代換。

由于軸向函數在域內正交，當n的截斷數為-N～N時，最終根據?Π/?Wmn=0可以得到軸向波數m取任意值時的方程：

式中：γn表示激勵力展開后的幅值向量，γn=F0Tm為2N+1階矩陣。

求解自由振動時，γn為零向量，因為ζn中元素不全為0，所以Tm必然不是滿秩矩陣，即det(Tm)=0。由此可以求解出軸向波數m取任意值時各階角頻率ω，從而可以得到固有頻率值。

求解受迫振動時，給定激勵力頻率f，可求出對應的 ζn=Tm-1γn，從而得到結構任意位置的振動響應。

1.2 遠場聲輻射分析

本文采用傅里葉變換方法，將軸向x變換到波數域，構建新的壁面連續條件（假設圓柱兩端有兩個半無限長聲障柱），再進行逆變換即可求得聲壓表達式。

定義傅里葉變換及逆變換形式如下：

式中，k為波數，由此可將軸向坐標轉化到波數域。

聲壓可劃分為實源聲壓Pr和虛源聲壓Pi，根據分離變量法，實源聲壓可以表示為

式中，pn為與周向角無關的聲壓物理量。

波數域流體聲壓滿足Helmholtz方程：

式中，kf=ω cf，為壓縮波數，其中cf為流體聲速，角頻率ω=2πfh，fh為諧振動頻率。

由式（28）可以得到實源傅氏聲壓如下形式的解：

式中：H(1)n()為第n階第1類Hankel函數；為徑向波數；An(k)為對應的波數域幅值。

同理，虛源傅氏聲壓可以表示為

式中，Bn(k)為虛源聲波數域幅值。

考慮到空氣中的波阻抗遠小于水中的波阻抗，聲波由水中射向空氣，自由液面處可以看成是絕對軟的邊界，自由液面處的聲壓可以近似認為是零，則自由液面處某點的傅氏聲壓滿足可以推導出

根據柱貝塞爾函數的Graf加法定理可以實現坐標遷移：

式中，Jn()為第n階第1類貝塞爾函數。

同理，將結構徑向位移w變換到波數域，有

將虛源傅氏聲壓遷移到實源坐標系下，因r≈R ＜ 2H，有

將式（36）代入式（34）后，級數做有限截斷，均從-N取到N，可以得到波數域聲壓幅值向量n(k)與位移幅值向量n(k)的關系：

通過傅里葉逆變換，即可求出任意場點的聲壓。

對于遠場聲壓，可以采用穩相法［21］求解。限于篇幅，本文略去詳細推導過程，直接給出球坐標系下聲壓表達式：

式中：Aa(kfcosθ)可由式（37）求得；R0為場點到原點的距離；θ為觀測角（與軸向的夾角）。此處是將柱坐標系（x，r，φ）轉換到球坐標系 (R0，θ，φ)下，有 r=R0sin θ ，x=R0cos θ 。

2 數值分析

2.1 振動分析

計算模型參數如下：殼長L=1.284 m，半徑R=0.18 m，厚度h=0.003 m，殼體密度 ρ=7 850 kg/m3，楊氏模量E=206 GPa，泊松比 μ=0.3，流體密度ρf=1 025 kg/m3，流體聲速 cf=1 500 m/s。點諧激勵力位置坐標（R，L/2，0），激勵力幅值 F0=1。

2.1.1 收斂性分析

為了說明方法收斂性，本文取H=0.2和2 m，分別計算在激勵力頻率為200和400 Hz時徑向均方振速Vm隨截斷數M，N的變化規律，為便于分析收斂性，假設M=N。定義，其中，s為表面積，Vn為徑向速度。

從圖3可以看出，隨著截斷項數的增加，徑向均方振速Vm值很快趨于穩定，當M=N=10時已經足夠收斂，因此本文算例截斷項數取值均為10。

圖3 徑向均方振速收斂性分析Fig.3 The convergence curves of the quadratic velocity

2.1.2 準確性驗證

為驗證本文方法計算振動響應的準確性，取計算模型不變，激勵力位置及幅值不變，激勵力頻率范圍為2～500 Hz，掃頻間隔為2 Hz，在殼體表面取一個測點，測點坐標 x1=L/4，φ1=π/2。定義徑向位移響應級RDL=20*lg（|w|/w0），單位為dB，其中|w|為測點徑向位移絕對值，w0=10-12m。繪制浸沒深度H=0.2 m和H=0.5 m時的徑向位移響應級頻譜曲線，并與有限元軟件Nastran仿真（虛擬質量法）結果進行對比，如圖4所示。

圖4 本文方法和數值仿真徑向位移級對比Fig.4 Comparison of the radial displacement levels between the present method and the numerical simulation

從圖4可以看出，本文方法計算結果和有限元軟件Nastran仿真結果吻合良好，驗證了本文方法的準確性。此外，本文方法的計算效率遠高于有限元方法，以浸沒深度為0.5 m工況下計算250個頻率點振動響應為例，計算機配置均為4 GHz CPU與24 GB RAM，本文方法編程計算（Matlab2012）耗時約4 min，有限元軟件Nastran（2 400個單元）耗時約2.2 h，本文方法的計算效率遠高于數值仿真的計算效率。

2.1.3 浸沒深度對受迫振動的影響

當圓柱殼靠近自由液面時，反射波會改變速度分布，因此需要研究浸沒深度對圓柱殼速度分布的影響。計算模型及激勵力位置和幅值不變，取浸沒深度分別為半徑的1.25，2.5，5，10和20倍，對比分析各工況下的徑向均方振速，如圖5所示。

圖5 不同浸沒深度下徑向均方振速頻譜Fig.5 The quadratic radial velocity versus frequency at different submerged depth

從圖5可以看出，越靠近自由液面，浸沒深度對結構振動的影響越明顯，并且隨著浸沒深度逐漸增大，振動響應趨于穩定（無限域工況）。此外，越靠近自由液面，曲線的峰值越往右移。換句話說，自由液面的存在會使共振頻率增大，這與文獻［5］的實驗結論一致。

2.2 聲輻射分析

2.2.1 聲壓指向性分析

得到殼體振動響應后，可以利用穩相法求解其遠場輻射聲壓。取浸沒深度為H=1，5和10 m這3組工況，分別計算激勵力頻率為200，300和400 Hz時的場點聲壓級。定義聲壓級SPL=20lg(|PF|/P0)，單位為dB，其中|PF|為場點聲壓絕對值，P0=10-6Pa。場點柱坐標為（1 000，1 000，φ），其中 φ的取值范圍為-π/2～π/2，取值間隔為π/180，流體聲速cf=1 500 m/s，從而可以繪制不同激勵頻率下各工況聲壓指向性圖，并與邊界元方法（BEM）計算結果進行對比，如圖6所示。

圖6 穩相法和邊界元法聲壓級對比圖Fig.6 Comparison of sound pressure level（SPL）between the stationary phase method and the boundary element method

從圖6可以發現，穩相法和邊界元法計算得到的遠場聲壓級指向性圖吻合良好，說明穩相法準確可靠，而且相比于邊界元方法，穩相法只是簡單的賦值運算，計算效率顯然更高。

從圖6還可以看出：遠場聲壓指向性與頻率和浸沒深度相關，頻率相同時，浸沒深度越大，指向性曲線分瓣特性越明顯；浸沒深度相同時，頻率越大，分瓣特性越明顯。這是由于自由液面會帶來類偶極子效應，若將結構認為是點源，則遠場聲壓指向性與頻率和浸沒深度的乘積相關，乘積越大，分瓣越明顯。但是因為結構并非極子，而且振動時表面速度并不均一，實際上指向性不能簡單地用偶極子解釋。

此外，值得注意的是，當浸沒深度大于5倍半徑以后，盡管振速會趨于穩定，但遠場聲輻射卻不會趨于穩定。這是由于研究振動問題時，關注的是結構表面的速度勢，虛源原點到結構表面的距離遠大于實源原點到結構表面的距離，虛源速度勢可以忽略；但是對于遠場聲輻射問題，實源原點和虛源原點到場點的距離幾乎相同，虛源聲壓不可忽略。

2.2.2 聲壓波動性分析

為進一步研究遠場聲輻射隨浸沒深度變化的規律，選擇觀測點柱坐標（1 000，0，π/3），浸沒深度H從0.2 m取到20 m，取值間隔0.01 m，激勵力頻率f分別取250和400 Hz，計算聲場場點聲壓隨浸沒深度的變化規律，結果如圖7所示。

圖7 遠場聲壓級隨浸沒深度變化曲線Fig.7 The curve of far-field sound pressure level with different immersion depth

從圖7可以看出，遠場聲壓級隨浸沒深度變化呈現周期性波動，峰峰間距D隨頻率的增大而減小。但是在靠近自由液面時，聲壓級隨浸沒深度的變化比較劇烈，互散射效應比較強烈。

前文提及遠場聲壓指向性規律可借鑒偶極子模型，為進一步探究水下圓柱殼受激振動遠場聲壓級的波動規律，本文先以偶極子模型作為類比對象。

以兩振幅相同而振動相位相反的脈動小球源為例，假設實源到場點的距離為r1，虛源到場點的距離為r2，兩球相距2H，則場點聲壓可以表示為

式中：A為聲壓幅值；kf為壓縮波數。

假設平均半徑 r0=(r1+r2)/2，則有r1=r0+Δr，r2=r0-Δr，其中 Δr=(r1-r2)/2。由于觀測點為遠場，Δr遠小于r0，因此易于得到遠場聲壓的近似表達式：

當Δr的增加量為S時，若滿足kf和S的乘積為π的整數倍，聲壓的絕對值保持不變，即聲壓呈現周期性波動，則波動一個周期時S=π/kf。又因為聲波波長 λ=2π/kf，所以S和 λ滿足如下數學關系：

若聲場坐標系選擇球坐標系（R0，θ，φ），易于得到 Δr與浸沒深度H的幾何關系：Δr=Hcosφsinθ，因此 Δr的增量S與浸沒深度H的增量 D0也滿足相應的幾何關系：S=D0cos φsinθ，代入式（42）得

由式（43）可知，當浸沒深度變化 D0=λ/（2cosφsinθ）時，聲壓級剛好變化一個周期，即偶極子模型聲壓級隨浸沒深度變化曲線的峰峰值為D0。

在圖7（a）中激勵力頻率為250 Hz，因此聲波波長 λ=6 m，觀測點位于柱坐標轉換到球坐標為此可用式（43）求出偶極子模型的峰峰值D0=6 m，而由圓柱殼模型計算得到的遠場聲壓級峰峰值D=5.85 m；同理，圖7（b）中圓柱殼模型的遠場聲壓級峰峰值D=3.69 m，而偶極子模型的峰峰值D0=3.75 m。從上述兩例不難看出，偶極子模型計算的峰峰值與圓柱殼模型的計算值符合良好，這也從側面說明本文方法是準確有效的。

為進一步說明該問題，選取激勵力頻率為500 Hz，以及球坐標系下4個觀測點分別計算圓柱殼模型下遠場聲壓峰峰值D和偶極子計算值D0，如表1所示。

表1 不同觀測點遠場聲壓峰峰值及偶極子計算值對Table 1 peak-to-peak values of far field SPL and calculated values of dipole at different observation points

從表1可以看出，對于不同觀測點，圓柱殼模型下遠場聲壓峰峰值D和偶極子計算值D0符合良好，這也從場點聲壓波動性角度說明自由液面的存在會使得水下圓柱殼聲輻射產生類偶極子效應。

3 結 論

本文提出了一種求解有限浸沒深度下有限長圓柱殼振動特性及遠場聲的解析方法，相比于有限元或者邊界元等數值方法，本文方法更加簡便、計算效率更高，實現了外力激勵下考慮自由液面影響的水下圓柱殼遠場聲輻射快速預報，對于半空間結構聲振問題的研究具有一定的指導意義，并且可進一步拓展到研究剛性壁面或者組合邊界問題。

具體結論如下：

1）自由液面的存在會增大同階次共振頻率，且越靠近自由液面，共振頻率越大。

2）自由液面對聲波的反射使得聲場發生了菲涅耳干涉，遠場聲輻射的指向性和波動性都有類偶極子效應。

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Analytical research of vibration and far-field acoustic radiation of cylindrical shell immersed at finite depth

GUO Wenjie1，LI Tianyun1，2，3，ZHU Xiang1，ZHANG Shuai1
1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，
Wuhan 430074，China 2 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration，Shanghai 200240，China 3 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics，Wuhan 430074，China

Aiming at the current lack of analytical research concerning the cylindrical shell-flow field coupling vibration and sound radiation system under the influence of a free surface,this paper proposes an analytical method which solves the vibration response and far-field acoustic radiation of a finite cylindrical shell immersed at a finite depth.Based on the image method and Graf addition theorem,the analytical expression of the fluid velocity potential can be obtained,then combined with the energy functional of the variation method to deduce the shell-liquid coupling vibration equation,which can in turn solve the forced vibration response.The research shows that,compared with an infinite fluid,a free surface can increase at the same order of resonance frequency;but as the depth of immersion gradually increases,the mean square vibration velocity tends to become the same as that in an infinite fluid.Compared with numerical results from Nastran software,this shows that the present method is accurate and reliable,and has such advantages as a simple method and a small amount of calculation.The far-field radiated pressure can be obtained by the vibration response using the Fourier transformation and stationary phase method.The results indicate that the directivity and volatility of the far-field acoustic pressure of a cylindrical shell is similar to that of an acoustical dipole due to the free surface.However,the far-field acoustic pressure is very different from the vibration characteristics,and will not tend to an infinite fluid as the submerging depth increases.Compared with the numerical method,the method in this paper is simpler and has a higher computational efficiency.It enables the far-field acoustic radiation of an underwater cylindrical shell to be predicted quickly under the influence of external incentives and the free surface,providing guiding significance for acoustic research into the half space structure vibration problem.

free surface；image method；Graf addition theorem；far-field radiated pressure

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.04.010

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20170727.1022.018.html期刊網址：www.ship-research.com

郭文杰，李天勻，朱翔，等.有限浸深圓柱殼振動及遠場聲輻射的解析方法［J］.中國艦船研究，2017，12（4）：62-70.

GUO W J，LI T Y，ZHU X，et al.Analytical research of vibration and far-field acoustic radiation of cylindrical shell immersed at finite depth［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（4）：62-70.

2017-02-28< class="emphasis_bold">網絡出版時間：

時間：2017-7-27 10:22

國家自然科學基金資助項目（51379083，51479079，51579109）

郭文杰，男，1991年生，博士生。研究方向：船舶結構減振降噪。E-mail：739633869@qq.com

李天勻（通信作者），男，1969年生，博士，教授，博士生導師。研究方向：船舶結構減振降噪。

E-mail：ltyz801@hust.edu.cn