任意邊界及耦合條件下的多跨梁結構振動特性

鄭超凡，吳曉光，張成

中國艦船研究設計中心船舶振動噪聲重點實驗室，湖北 武漢 430064

任意邊界及耦合條件下的多跨梁結構振動特性

鄭超凡，吳曉光，張成

中國艦船研究設計中心船舶振動噪聲重點實驗室，湖北 武漢 430064

［目的］為了克服邊界及耦合條件對多跨梁結構振動特性研究的束縛，［方法］基于歐拉梁理論模型，采用Rayleigh-Ritz法建立多跨梁結構振動計算模型，對其在任意邊界和任意彈性耦合條件下的自由振動特性進行研究。在傳統三角余弦級數的基礎上，引入4項輔助正弦三角級數，改善以往求解過程中在邊界處存在的不連續或者跳躍現象。將位移容許函數的未知傅里葉展開系數看作廣義變量，結合Rayleigh-Ritz法對其求極值，將結構的振動特性問題轉換為求解一個標準特征值問題。［結果］通過與有限元計算結果進行對比，驗證了收斂速度與計算精度。［結論］所得結果可為多跨梁結構的工程應用提供理論參考。

改進傅里葉級數；任意邊界條件；Rayleigh-Ritz法；多跨梁；結構振動

0 引 言

梁結構在航天、航海、建筑、橋梁、水利等工程領域的應用十分廣泛，梁結構特別是多跨梁結構的振動特性一直是學者們多年來所關心的熱點問題。目前，國內外對于梁的振動特性研究比較廣泛，主要研究方法包括模態疊加法［1］、傳統傅里葉級數展開法［2］、數值法［3-4］和解析法［5-8］等。多跨梁結構的振動特性研究主要集中在雙跨梁結構上，鮮有對雙跨以上梁結構的研究。主要研究方法包括差分法［9］、動態剛度矩陣法［10］和模態疊加法［11］，其中模態疊加法通過振型疊加進行求解；數值法通過數值手段離散控制微分方程及邊界控制條件進行求解；差分法通過建立系統差分離散方程進行求解。

然而，目前大部分的研究工作僅局限于經典邊界以及剛性耦合條件，對于一般邊界及彈性耦合條件下的單跨梁與多跨梁振動特性的研究甚少。基于此，本文將提出一種多跨梁數理模型，適用于任意跨、任意邊界條件、任意耦合條件下的結構振動特性研究。首先，將結構的位移容許函數展開為改進傅里葉級數表達式，引入4項正弦級數來消除以往求解過程中邊界處的不連續或跳躍現象；然后，將函數展開的未知傅里葉級數系數作為廣義向量，利用Rayleigh-Ritz法進行求解，將結構的振動特性問題轉換為求解一個標準特征值問題；最后，通過計算驗證本文方法的合理性。

1 多跨梁結構計算模型

1.1 結構物理模型

任意邊界及耦合條件下的多跨梁結構計算模型如圖1所示。圖中：x為第1跨梁的橫向坐標；xi為第i跨梁的橫向坐標（i=1，2，…，n）。以第i跨梁為例，在梁的兩端分別設置剛度值為的橫向位移彈簧，以及剛度值為的旋轉約束彈簧，令模擬 xi=0的邊界條件，模擬 xi=Li（ Li為第 i跨梁的跨度）的邊界條件。當模擬兩端固定邊界條件時，令當模擬自由邊界條件時，令當模擬簡支邊界條件時，令在任意耦合條件下，跨與跨之間的耦合效應主要由橫向位移與橫向彎矩構成，因此第i跨與第i-1跨、第i+1跨的耦合邊界條件主要通過耦合彈簧進行模擬。設 ki，i-1，Ki，i-1為第i跨與第i-1跨之間的耦合彈簧剛度值；ki，i+1，Ki，i+1為第 i跨與第 i+1 跨之間的耦合彈簧剛度值。當 ki，i-1=Ki，i-1=1×1010時，第 i跨與第i-1 跨即為剛性耦合；當 ki，i-1=Ki，i-1=0 時，即無耦合；當 0＜ ki，i-1，Ki，i-1＜1×1010時，即為彈性耦合。因此，當結構邊界條件發生變化時，只需改變彈簧的剛度值即可。

圖1 彈性邊界條件下的多跨梁結構計算模型Fig.1 Multi-span beams with elastic boundary condition

1.2 結構運動方程

基于歐拉梁理論模型，第i跨梁的控制微分方程為

式中：Di，wi，ρi，ai分別為第i跨梁的彎曲位移函數、彎曲剛度、密度、橫截面面積；ω為結構固有頻率。

對于第i跨梁，在xi=0端的邊界條件為

在xi=Li端的邊界條件為

對于n跨梁，最左端（第1跨梁左端）的邊界條件為

最右端（第n跨梁右端）的邊界條件為

以上式中：ki，j為第i跨與第j跨之間的線性彈簧剛度值，N/m；Ki，j為第 i跨與第 j跨之間的旋轉約束彈簧剛度值，（N·m）/rad；為第 i跨梁兩端的線性彈簧剛度值，N/m；為第i跨梁兩端的旋轉約束彈簧剛度值，（N·m）/rad。

1.3 位移容許函數

以往的求解方法一般根據邊界條件設置梁的容許函數，當邊界條件改變時需要重新推導整個求解過程，計算量大、通用性差。

常用的位移容許函數包括簡單函數、正交多項式函數和三角函數等。對于多項式容許函數，若展開為低階多項式，則不能滿足結構在高階次的振動求解要求；若展開為高階多項式，則會由于數值計算的截斷誤差導致穩定性較差。當容許函數為傳統傅里葉三角級數時，級數取無窮項就可以構成一個完整的無限維度向量空間，具有良好的數值穩定性和計算精度，但其位移導數在邊界處可能存在不連續或跳躍現象，從而導致收斂速度極慢。

為了解決這個問題，在一般彈性邊界下正交各向異性矩形薄板［12］的彎曲自由振動分析和環扇形板［13］的面內振動分析中，提出了一種改進的傅里葉級數表達式。本文將該方法進一步應用于多跨梁的振動特性分析中，通過引入正弦三角級數作為輔助函數，對傳統的傅里葉級數進行改進，以滿足任意邊界以及耦合條件。

式中：Ai，m，Bi，n為傅里葉展開系數；λi，m，λi，n為角頻率。

由式（10）可知，在整個求解區域 R ：（0，Li）內，函數表達式除了傳統傅里葉余弦級數以外，還包括4項單重傅里葉正弦級數。由于梁的振動控制微分方程是四階偏微分方程，因此要求其位移函數的三階導數連續且四階導數在邊界上各點存在。通過引入4項單重傅里葉正弦級數，位移函數對于?xi∈R：（0，Li）均可以展開并一致收斂于任意函數 f(xi)∈C3（C為收斂值），即改進的傅里葉三角級數可以滿足式（2）～式（9）的任意邊界條件及耦合條件。

1.4 能量泛函與求解步驟

由于本文中的位移函數足夠光滑，其弱解（近似解）和強解（精確解）在數學意義上是等效的，因此采用基于能量原理的Rayleigh-Ritz法求解未知傅里葉展開系數。

多跨梁結構的拉格朗日能量泛函L為

式中：V為多跨梁結構的總勢能；T為多跨梁結構的總動能。

設結構本身儲存的應變勢能為Vp，邊界處模擬彈簧儲存的彈性勢能為Vs，耦合處橫向位移彈簧和旋轉約束彈簧儲存的彈性勢能分別為Vc1和Vc2，則多跨梁結構的總勢能為

將式（12）～式（17）代入式（11），然后代入式（18）對傅里葉展開系數 Ai，m和 Bi，n求極值，得到一組關于未知系數的線性方程。矩陣化處理，得

式中：K為結構的整體剛度矩陣；M為結構的整體質量矩陣；A為未知傅里葉系數向量，其表達式為

因此，多跨梁的模態特性（固有頻率及其對應的特征向量）即為求解式（19）的一個標準特征值。每個特征向量包含了構成相應結構模態的所有傅里葉展開系數，將特征向量代入式（10）即可得到相應的模態振形。

2 計算結果與對比

基于多跨梁結構理論模型，對其在不同邊界條件下的振動特性進行求解，并與有限元計算結果進行對比，以驗證本文方法的合理性。首先分析收斂性，對傅里葉級數進行截斷；然后分析不同工況下的多跨梁結構自由振動特性。梁的物理參數和材料參數如表1所示，其中E為楊氏模量，I為橫截面的慣性矩。

表1 梁的物理參數和材料參數Table 1 A list of beam parameters and material properties

2.1 收斂性分析

多跨梁的位移函數展開為傅里葉級數后，最終結果是否收斂取決于截斷值Q。以表1中的第1跨梁和第2跨梁構成的雙跨懸臂梁為研究對象，設第1跨和第2跨之間為剛性耦合，第1跨左端為固定邊界條件，第2跨右端為自由邊界條件。不同級數截斷值的前10階固有頻率和精確解如表2所示。由表2可知，截斷值對計算結果的精度基本無影響，即本文提出的方法具有良好的收斂性和數值穩定性。在后續的計算中，位移函數的截斷值均取Q=12。

2.2 多跨梁結構的自由振動特性分析

本節將對經典邊界與彈性邊界的多跨梁結構的自由振動特性進行分析，并與有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）的計算結果進行對比。有限元模型采用Beam 188單元，網格長度設為0.01 m。選取彈性邊界以及彈性耦合條件下的3跨梁作為研究對象，如圖2所示，結構參數和材料參數如表1所示，邊界條件參數如表3所示。

表4所示為經典邊界條件下雙跨懸臂梁結構前10階固有頻率的對比結果，表5所示為彈性邊界以及彈性耦合條件下3跨梁結構前10階固有頻率的對比結果。由表4和表5可知，本文方法和FEA方法的計算結果吻合度很高。

表2 傅里葉級數在不同截斷值Q的前10階固有頻率Table 2 The first ten order natural frequencies for various numbers of terms in Fourier series

圖2 彈性邊界以及彈性耦合條件下的3跨梁結構計算模型Fig.2 Elastically coupled three-span beams with elastical boundary supports

表3 3跨梁結構的兩端邊界及耦合邊界的模擬彈簧剛度值Table 3 Stiffness values for the boundary and coupling springs of three-span beams

表4 經典邊界條件下雙跨懸臂梁結構的前10階固有頻率對比Table 4 The first ten order natural frequencies for double-span cantilever beams with traditional boundary condition

表5 彈性邊界及彈性耦合條件下3跨梁結構的前10階固有頻率對比Table 5 The first ten order natural frequencies for elastically coupled three-span beams with elastical boundary condition

由前文可知，根據結構的固有頻率即可得到結構的物理彎曲模態振型。表4和表5中前6階固有頻率對應的無量綱歸一化模態振型如圖3和圖4所示。圖4中，由于跨與跨之間的耦合彈簧作用，部分模態振型存在不連續現象。

圖3 雙跨懸臂梁結構的前6階模態振型Fig.3 The first six order mode shapes for the double-span cantilever beams

圖4 3跨梁結構的前6階模態振型Fig.4 The first six order mode shapes for the three-span beams

3 結 論

本文基于改進傅里葉級數和Rayleigh-Ritz法對多跨梁結構在任意邊界及耦合條件下的振動特性進行了研究，得到以下結論：

1）通過引入4項傅里葉正弦三角級數，克服了傳統傅里葉級數在邊界處可能存在不連續或跳躍現象的問題。

2）采用線性彈簧和旋轉約束彈簧模擬梁結構兩端的邊界條件，以及跨與跨之間的耦合條件，改變彈簧剛度值即可模擬任意邊界及耦合條件，有利于結構的參數化研究。

3）采用Rayleigh-Ritz法對結構的振動特性進行求解并與FEA計算結果進行對比，驗證了本文方法的合理性。

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Vibration analysis of multi-span beam system under arbitrary boundary and coupling conditions

ZHENG Chaofan，WU Xiaoguang，ZHANG Cheng

National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise，China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China

In order to overcome the difficulties of studying the vibration analysis model of a multi-span beam system under various boundary and coupling conditions,this paper constructs a free vibration analysis model of a multi-span beam system on the basis of the Bernoulli-Euler beam theory.The vibration characteristics of a multi-span beam system under arbitrary boundary supports and elastic coupling conditions are investigated using the current analysis model.Unlike most existing techniques,the beam displacement function is generally sought as an improved Fourier cosine series,and four sine terms are introduced to overcome all the relevant discontinuities or jumps of elastic boundary conditions.On this basis,the unknown series coefficients of the displacement function are treated as the generalized coordinates and solved using the Rayleigh-Ritz method,and the vibration problem of multi-span bean systems is converted into a standard eigenvalue problem concerning the unknown displacement expansion coefficient.By comparing the free vibration characteristics of the proposed method with those of the FEA method,the efficiency and accuracy of the present method are validated,providing a reliable and theoretical basis for multi-span beam system structure in engineering applications.

improved Fourier series；arbitrary boundary conditions；Rayleigh-Ritz method；multi-span beam；structural vibration

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.04.015

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20170727.1015.012.html期刊網址：www.ship-research.com

鄭超凡，吳曉光，張成.任意邊界及耦合條件下的多跨梁結構振動特性［J］.中國艦船研究，2017，12（4）：95-101.

ZHENG C F，WU X G，ZHANG C.Vibration analysis of multi-span beam system under arbitrary boundary and coupling conditions［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（4）：95-101.

2016-11-30< class="emphasis_bold">網絡出版時間：

時間：2017-7-27 10:15

國家自然科學基金資助項目（61503354）

鄭超凡，男，1980年生，碩士，高級工程師。研究方向：船舶振動沖擊與噪聲。E-mail：55523527@qq.com

吳曉光，男，1960年生，博士，研究員。研究方向：船舶工程。E-mail：WXG—701@163.com

張成（通信作者），男，1987年生，碩士，工程師。研究方向：船舶振動沖擊與噪聲。

E-mail：zhangcheng1987530@163.com