考慮收益波動性的風險厭惡型報童問題

田志勇，周 麗，袁瑞萍

（北京物資學院 信息學院，北京 101149）

考慮收益波動性的風險厭惡型報童問題

田志勇，周 麗，袁瑞萍

（北京物資學院 信息學院，北京 101149）

將報童收益波動性融入目標函數，以價格和庫存量作為決策變量，針對單期、加法形式的隨機需求函數和風險厭惡型報童建立模型。分別利用順序優(yōu)化和同時優(yōu)化的方法對模型進行研究，分析了模型最優(yōu)解與風險系數和剩余庫存處理單價等參數的關系，利用彈性概念描述了模型最優(yōu)解存在的條件及實際意義。研究表明兩種方法的最優(yōu)解具有相同的性質—價格和庫存量都是風險系數的減函數、是剩余庫存處理單價的增函數。關于最優(yōu)解存在條件，同時優(yōu)化的局部最優(yōu)解要求最為寬松，全局最優(yōu)解要求最嚴格，而順序優(yōu)化最優(yōu)解的要求則介于兩者之間。這些研究結論為企業(yè)辨析決策環(huán)境、進行有效決策提供了有益的參考。

報童模型；收益波動性；風險厭惡型；彈性

1 引言

報童問題的經典模型是以報童期望收益為目標函數、庫存水平和價格為決策變量，研究其最優(yōu)化問題[1-2]。一般地，單期報童收益包括三部分：報童銷售收入、剩余存貨價值和潛在銷售損失。對于需求確定性問題來說，無論目標函數包含哪部分，問題的抽象模型不會出現本質差異。而對于包含隨機性問題來說，報童收益三部分的數學表現和性質有較大差異，會對模型分析的復雜程度、最優(yōu)解特征甚至結論產生重要影響。多數的研究，如xu等[3-4]、Dogan[5]、Jadidi等[6]、Khouja[7]，目標函數包含了三部分。少數研究則只包含部分收益，如Gerchak等[8]包含第二、三部分，Chua等[9]和丁小東等[10]只考慮了第一、二部分，而Javier等[11]則僅考慮了第一部分。采用收益的哪部分作為目標函數，需要根據研究的目的、進展和應用場景而定。但一般來說，采用部分報童收益的研究多是一種新的研究應用的開始，隨著研究的深入，會逐步將報童收益的三個部分包含進來。

但僅以期望收益作為模型優(yōu)化的目標函數，與報童決策的真實情景仍有較大差距。因為收益的波動顯然也是報童決策時要考量的因素，在某種情況下，甚至可能會成為影響報童決策的關鍵因素。比如，著名的6σ管理，其核心就是“不是關于平均數的問題，而是關于方差或波動的問題”[12]。對風險的度量主要有三種[13]：均值方差類應用、在險價值VaR和條件風險價值CVaR。目前，VaR和CVaR應用于報童風險監(jiān)控的研究文獻比較多，如文獻[14]、[15]、[16]和[17]等。但VaR和CVaR均是測度和控制報童收益處于風險（達到或達不到預定點）的概率，并未直接考量收益的波動性。而均值方差的研究文獻則集中在需求或供應層面，直接應用在成本或收益層面的文獻很少。需求波動雖在一定程度上可以看作利用需求概率函數間接地考量了收益波動（方差），但由于需求的波動性需要通過一定的函數關系傳遞到收益層面上，這種函數關系往往比較復雜，必然會導致直接在收益層面研究波動性在技術上更為復雜。但需求-收益函數關系使兩個層面的波動性呈現出什么樣的不同特征？對報童決策又將產生什么樣的影響？這些都需要針對收益的均值方差專門研究。據作者所知，文獻[11]是這一領域第一篇直接在收益層面考慮波動性的研究，但該文獻考慮的報童收益還僅僅是報童銷售收入，也即前面提及的第一部分。本文在以下方面進行了擴展：（1）目標函數中增加剩余庫存價值，即包含了報童收益的第一和第二部分；（2）對順序優(yōu)化的兩種情況進行了較系統(tǒng)地分析；（3）從本質上分析順序優(yōu)化和同時優(yōu)化之間的區(qū)別與聯系。

2 模型構建

2.1 需求函數

本文采用需求函數的加法形式

D表示需求,是價格p和隨機因素θ的函數。y(p)=a-bp為確定性需求函數，p為價格,a＞0為市場規(guī)模，b＞0為需求對價格反饋系數。θ為隨機變量，取值范圍為[A,B]，且 A≤0,B≥0，期望 E(θ)=μ ，方差V(θ)=σ2,概率密度和概率分布函數分布為f(.)和F(.)，設概率分布函數的補函數為

2.2 目標函數

設q為庫存水平或訂貨批量，s為剩余庫存處理單價。一般來說，有c＞s。在單期情況下，考慮剩余存貨價值的報童利潤函數為：

函數Θ(z)是期望存貨剩余量函數，E(z)是期望銷售量函數。V(z)是利潤函數方差中與z相關的部分，或者由于z與p的可分離性，在利潤函數的方差中剔除p后的變動部分。

對于綜合報童期望利潤及利潤方差的目標函數，我們采用文獻[11]的形式，即兩者的線性和，如下：

式中λ是風險系數，為利潤方差賦予的權重。由于本文僅考慮風險厭惡型報童，所以λ＞0。這意味著λ越大，報童對收益的波動性越敏感，越傾向于減少波動。

將確定性需求函數y()p=a-bp代入式（1），將目標函數進一步明確為：

3 順序優(yōu)化

順序優(yōu)化適于特定的情景，如文獻[18]所描述的兩種情景：公司內的銷售營銷部門在給定庫存水平z的情況下進行價格p(z)決策，然后生產運營部門在已知p(z)的情況下進行庫存水平的決策；或者與此過程相反，先由生產運營部門在給定價格p情況下進行庫存水平z(p)決策，然后由銷售營銷部門進行定價決策。

在進行分析前，需先做如下假設：

(A1)意味著，對于風險厭惡型報童來說，其對風險（方差）的加權系數有一個限度，不能無限大。因為那樣地話，將導致方差權重過大，在決策時過度考慮風險因素，而對期望利潤的考慮過輕。根據2.1部分的分析，(A2)意味著嚴格限制意義下的價格最大值與期望概念下價格最大值的距離要小于與成本的距離。

3.1 順序優(yōu)化I

順序優(yōu)化也可以分為兩種情景：情景I先由生產運營部門確定庫存水平z再由銷售營銷部門確定價格p；情景II先由銷售營銷部門確定價格p再由生產運營部門確定庫存水平z。

對于情景I，銷售營銷部門在z確定的情況下進行價格p決策。其一階條件為

其二階條件可以保證目標函數Σ是關于z的凹函數。所以可得最優(yōu)解p：

引理1：p*(z)是z的增函數；對于 ?z∈[A,B]，有p*(z)∈[c,pmax]。

對于第二部分，

第一個不等式是分子、分母分別取其可能的最大、最小值得到，第二個不等式是由假設(A2)得到。

可見，報童的風險系數λ越小，剩余庫存對于報童的決策影響越小，報童越傾向于在最優(yōu)解處采取高價格。剩余庫存單價越高，報童越能容忍更多的剩余庫存量，就越傾向于在最優(yōu)解處采取更高的價格。

接著研究z對目標函數的影響，得目標函數對z的一階條件：

還需檢驗關于z的二階條件，如文獻[11]和[18]，先定義一個概念—銷售損失率對價格彈性。

定義：根據經濟學彈性概念的一般定義，對于給定庫存水平q的情況下，銷售損失率對價格彈性為：

將上式代入銷售損失率對價格的彈性表達式，可得：

在本文中，由于考慮到處理剩余庫存的單價，我們將銷售損失率對價格的彈性定義為對“絕對價格”即=p-s的彈性，則上式變?yōu)椋?/p>

將在最優(yōu)點p*()z處的彈性表示為：

然后，有以下定理：

證明：

對z*關于兩個重要參數λ和s的關系，有如下引理：

引理3：z*關于λ單調減；z*關于s單調增。

根據式（5）應用隱函數定理，可以分別求解z*關于λ和s的導數，易證。

3.2 順序優(yōu)化II

再分析順序優(yōu)化情景II：先確定價格p再確定庫存水平z。其決策過程仍是逆向歸納求解：生產經營部門先對庫存水平z進行優(yōu)化，然后銷售和營銷部門在已知z為p函數的情況下進行定價p的優(yōu)化。

生產經營部門的庫存水平優(yōu)化，得到目標函數關于z的一階條件：

式（6）與式（5）形式相同，只是p的取值有差異。利用假設(A1)，容易驗證二階條件成立，確保了一階條件可以獲得最優(yōu)解z*()p。與定理1相比，本例最優(yōu)解的存在條件相對來說要寬松一些。

根據一階條件式（5）和隱函數定理分析z與p、λ及s的關系。

引理4：最優(yōu)解z*關于p單調增；關于λ單調減；關于s單調增。

證明過程同引理3。

雖然我們不能得到z*關于p的解析解，但仍可以將其視為p的函數，利用萊布尼茨鏈式求導法則求解目標函數對p的一階和二階導數。目標函數關于p的一階條件為

證明：p的二階條件為：

關于p*與參數λ和s的關系，有以下引理：

引理5：最優(yōu)解p*關于λ單調減；關于s單調增。

證明過程同引理3、4。

比較順序優(yōu)化II的引理4和順序優(yōu)化I的引理1、3，兩種情況下的最優(yōu)值z*與p、λ和s的相關關系完全一致。再比較順序優(yōu)化II的引理5與順序優(yōu)化I的引理2，兩種情況下的最優(yōu)值p*與λ和s的相關關系完全一致。如前面所述，這絕非偶然。因為兩種情況的最優(yōu)解是相同的，均是目標函數相對于p和z的一階條件組成的方程組的解。

4 同時優(yōu)化

根據多變量最優(yōu)化問題理論，同時優(yōu)化的最優(yōu)解也是由各變量的一階條件組成的方程組的解。不過，最優(yōu)解的存在需要檢驗海塞矩陣，根據海塞矩陣的正定性有定理3和4。

證明：需證明在點(p*,z*)處，海塞矩陣為半負定。即

同時關于z的二階偏導：

上式不等式成立是由于假設(A1)。

然后海塞行列式的值為：

證明：需證明海塞矩陣負定，其過程與定理3完全相同，區(qū)別僅為相應的二階偏導數及海塞矩陣行列式值的取值點，本例中為任意點(p,z)而非駐點(p*,z*)。證畢。

為了便于比較幾種情況下的優(yōu)化，將定理1—4的條件和結論予以總結，見表1。

由表1，定理1和2的充分條件介于定理3和4之間，強于定理3但弱于定理4。從這個角度，可以把順序優(yōu)化的最優(yōu)解稱為“偏全局最優(yōu)解”，順序優(yōu)化I為“偏z全局最優(yōu)解”，順序優(yōu)化II為“偏p全局最優(yōu)解”。本質上，四個定理得到的最優(yōu)解是相同的。只是定理1和定理2給出了該方程組的求解方法—代入消元法，定理1是先用函數p*(z)消去p得到z的值，然后代入p*(z)得到p；定理2是先用函數z*(p)消去z求解p，然后代入z*(p)得到z。定理3和4只是列出方程組，指出方程組的解即為最優(yōu)解，并未指出求解方法。

根據此處對三種方法、四個定理最優(yōu)點的比較分析，可知前面引理1和2的結論具有通用性。所以，同時優(yōu)化的最優(yōu)解(p*,z*)對相關參數λ和s的關系同引理1和2，此處不再贅述。

表1 順序優(yōu)化和同時優(yōu)化條件及結論

5 總結

本文研究了以包含收益波動的收益函數為目標函數、以價格和庫存為決策變量的報童問題，其中包含隨機因素的需求函數是加法形式的顯函數。論文先對這種研究思路與以往以期望收益（成本）為目標函數的區(qū)別與聯系進行了分析，然后對文獻[11]進行擴展，在報童收益中增加了剩余庫存價值，針對風險厭惡型報童分析了順序優(yōu)化和同時優(yōu)化的最優(yōu)解、最優(yōu)解相對于主要參數的比較靜態(tài)分析以及最優(yōu)解存在的充分條件，并對其實際意義進行了解釋。由于需求函數的顯式性，得到一些相對較明確的結論，但由于隨機因素的概率密度函數和累計概率函數以隱函數形式給出，所以最優(yōu)解的明確性并不徹底。幸運的是，最優(yōu)解對主要參數的比較靜態(tài)分析的方向性關系還是明確的。本文在研究上進行了拓展和深入，在對順序優(yōu)化和同時優(yōu)化進行分析時，特別是兩種情景的順序優(yōu)化，都應用了最優(yōu)解求解—最優(yōu)解對主要參數λ、s（另有p對z，或z對p）的比較靜態(tài)分析—二階條件判斷的分析框架一以貫之，用統(tǒng)一的框架較清晰、系統(tǒng)地開展了相應研究。最后，通過對順序優(yōu)化和同時優(yōu)化兩種方法的比較分析，得到兩種方法間的本質區(qū)別與聯系：順序優(yōu)化是同時優(yōu)化的局部最優(yōu)解，兩者的最優(yōu)解及最優(yōu)解的比較靜態(tài)分析結論是一致的，但二階判斷條件不同，順序優(yōu)化存在性條件的復雜性介于同時優(yōu)化的局部最優(yōu)和全局最優(yōu)之間，相當于“偏全局最優(yōu)”。此外，對于風險偏好型報童，最優(yōu)解及比較靜態(tài)分析與風險厭惡相同或相似，但最優(yōu)解成立的充分條件—二階條件相對更為復雜，也可以得到與風險厭惡型報童相對應的二階條件。但由于該條件無論從形式上還是實際意義上，都不如風險厭惡型報童情景中表現得簡潔直觀，所以本文不再對風險偏好報童的情形進行討論。此外，在目標函數中考慮收益波動性的報童問題這一方向還有不少問題有待研究，如在需求函數方面，對于常見的乘法形式和指數形式等函數形式對問題的影響；在波動性方面，將測度波動性的常用工具變異系數融入報童模型，研究衡量波動性對決策的影響等，都是在這個方向上值得深入思考和進一步研究的問題。

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Study on Risk Aversive Newsboy Problem Considering Earnings Fluctuation

Tian Zhiyong,Zhou Li,Yuan Ruiping
(School of Informaiton,Beijing Wuzi University,Beijing 101149,China)

In this paper,targeting at the fluctuation of the newsboy earnings,we built the risk aversive newsboy model with singlephased additive stochastic demand function and price and inventory as the decision-making variables.We analyzed the model respectively through sequential optimization and simultaneous optimization,investigated the relationship between the optimal solution of the model and such parameters as risk coefficient and disposal unit price of the residual inventory,etc.,and used the concept of elasticity to describe the condition of existence and practical significance of the optimal solution of the model.Through the analysis,we found that the optimal solutions yielded by both methods were of the same nature,in that both the price and the inventory quantity were decreasing function to the risk coefficient and increasing function to the disposal unit price of the residual inventory.As for the condition of existence of the optimal solution,the local optimal solution through simultaneous optimization was the least stringent in prerequisite,followed by the optimal solution through sequential optimization,and further followed by the global optimal solution through simultaneous optimization.

newsboy model;earnings fluctuation;risk aversive;elasticity

F224.0

A

1005-152X(2017)07-0066-06

10.3969/j.issn.1005-152X.2017.07.015

2017-05-06

國家自然科學基金資助項目(71501015)；北京智能物流系統(tǒng)協同創(chuàng)新中心；智能物流系統(tǒng)北京市重點實驗室(BZ0211)

田志勇，男，北京物資學院信息學院副教授，博士，研究方向：低碳物流、電子商務。