初中數學的典型“前概念”探析

章曉東

初中數學的典型“前概念”探析

章曉東

在初中數學學習中，由于學生的頭腦中存在的數學“前概念”的影響，常常引發學生出現各式各樣的錯誤。經分析，學生“前概念”的形成多源于生活經驗、原有概念、直觀判斷和思維定勢等方面。教師可依據不同來源，采取不同的矯治策略。

初中數學；前概念；成因分析

本文中的“前概念”是指學生在接受科學概念之前，根據已有的生活與知識經驗形成的對事物的認識與觀念。這些“前概念”中，雖然有少部分與科學概念的表述比較接近，但大多數的理解還是停留在淺層次，不能深入到科學概念的本質，還有一些“前概念”則是和科學概念完全背道而馳的，它對學生形成科學概念會產生干擾。

數學“前概念”的形成大多是自發的，內隱的，學生會不自覺地使用其解決數學問題，這就給數學概念的真正理解與掌握帶來了一定的困難，在常規的數學教學中，有些教師對概念教學存在不當處理的狀況，如采用課前預習概念、課中背誦概念，在學生還沒有理解概念的情況下就開始講例題，做練習，以為這樣就能鞏固概念達成教學目標，但事實恰恰相反，學生憑背誦而記憶的數學概念會不自覺地受到原有“前概念”的干擾，導致在往后的學習中反復出現同樣的錯誤。

本文試結合初中學生在數學概念學習及應用中的典型問題來分析數學“前概念”產生的幾個原因，以期對轉變學生的錯誤“前概念”，促進正確數學概念的理解提供一些參考。

一、生活經驗的局限

初中學生受生活經驗和日常觀察的影響，常常會站在生活化的角度來描述和理解數學概念，在他們學習新的數學概念之前，其實已經在頭腦中有了關于這個數學概念的生活化的認識與理解。雖然許多數學概念都是從日常生活概念中抽象而成的，但其中有些生活概念則是不全面、不完整的，有的甚至是同數學概念的本質不一致的，容易對學生學習正確的數學概念造成干擾。

例如在教學“對頂角概念”時，學生對圖1中的兩個角，它們的頂點“相對”，學生會從生活的角度在字面及圖形直觀上理解和判斷這兩個角就是對頂角。如果教師在此忽略學生的 “前概念”，其結果必然會導致科學概念被學生們先入為主的“前概念”嚴重干擾而發生認知障礙。

圖1

再如圓的概念，圓是到定點的距離等于定長的點的集合，圓是一條封閉的曲線，故有點在圓內、圓外、圓上之說。而生活中圓的概念常常是以圓面的形象出現的，對學生接受圓是封閉曲線的概念會有干擾。

二、原有概念的干擾

數學概念之間既相互聯系，又相互區別。由于受已有的認知結構及概念的影響，當學生學到近似或者關聯的概念時，有些學生往往不能正確區分近似的數學概念或找不到關聯概念中的聯系部分，容易受以前概念的影響，新舊概念會互相混淆或干擾，學生難免會產生思維障礙，阻礙新概念的正確形成。

例如，把地球看成球形，用一根比地球赤道長15米的鐵絲將地球赤道圍起來，鐵絲與赤道之間的間隙有多大？能放進一顆草莓嗎？能放進一個拳頭嗎？你能站在赤道上走過去嗎？姚明呢？學生受小學數學“前概念”的影響，一是無法想象長15米的鐵絲把地球赤道圍起來后的間隙有多大；二是認為必須要已知赤道的周長（具體的數）才能求出地球的半徑，不習慣用字母來表示赤道的周長；三是對鐵絲與赤道之間的間隙怎么轉化為兩個同心圓的半徑差有困難，絕大多數學生的猜想是至多放進一顆草莓，事實上卻是間隙大到足夠讓姚明輕松走過去。

再如，學生學習了異分母分式加減時的通分后，常常會在解分式方程時也在等式兩邊通分再約分去分母，無形中增加了解方程的繁復程度，這就是學生在學習約分的概念時受到了 “前概念”通分的干擾，導致前后概念發生混淆。還有，學生在學習一個角的平分線時知道它是以角的頂點為端點的一條射線，到學習三角形的角平分線時自然受“前概念”的影響會認為它是射線而不是線段。類似的還有指數與次數的概念等都經常出現混淆。

三、直觀判斷的失誤

站在初中生的年齡特點和認知水平的角度看，主導他們思維方式的是形象思維，即喜歡通過直觀的方式來描述和認識客觀世界。所以，學生在敘述一個數學概念時，會通過他觀察到的結果結合自己已有的數學經驗，用自己熟悉的語言方式來嘗試描述數學概念和結論。對需要運用數學邏輯思維的方式才能做出正確判斷的問題，他們常常會憑直覺來判斷而產生錯誤，其原因在于沒能理解所隱含的數學本質，抽象思維的能力比較欠缺。

例如，如圖2，一張邊長為8cm的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖3所示重新拼合。這四塊恰能拼成一個長為13cm，寬為5cm的長方形紙片嗎？

圖2

圖3

由于受直觀圖形的影響，絕大多數學生容易誤判，認為可以把正方形紙片中的4塊再拼成長方形紙片。即使學生動手操作，由于誤差的原因，也會產生直覺上的誤判。此題只有通過計算，才能發現不能恰好拼成長方形，因為正方形紙片的面積是64cm2，而長方形紙片的面積是65cm2，長方形紙片中多了1cm2的空隙。而如果進一步向學生提問，這1cm2的空隙部分是什么圖形，學生的答案也是五花八門的，很少會有學生說是平行四邊形，因為學生不習慣用邏輯思維的方式來解決問題。

再如，在一元二次方程概念的學習中，學生常常會憑著直觀印象從形式上來判斷以下方程是一元二次方程，如3x+x2=16+x2，ax2+bx+c=0，其實第一個方程還沒有整理成一般形式，兩邊的x2是可以抵消的，而第二個方程是缺少a不等于0的條件。類似的還有同類二次根式的概念，學生單純從直觀字面上來理解概念的話，就會認為和不是同類二次根式，因為被開方數不同。

四、思維定勢的束縛

在數學教學中，思維定勢在解決問題的過程中存在兩面性，既有積極的一面，也有消極的一面。其積極的一面表現在知識技能的正遷移上，如快速掌握數學概念及公式，在條件不變的情況下，可以更迅速地對同類的題型做出正確判斷，并順利解決。思維定勢也有消極的一面，會對數學概念的認識產生干擾作用。這種“前概念”的形成是由于學生看了一些有關這個概念的描述，但又沒有理解概念的內涵和成立的條件，從而在對具體的問題的判斷過程中，失去了思維的獨立性，受思維定勢的影響，正確的觀點和概念就難以建立。

例如，已知等腰三角形中兩邊長分別為2和5，求這個三角形的周長。一些學生由于等腰三角形兩腰長相等的思維定勢（“前概念”）的原因，知道在等腰三角形兩邊長已知的情況下求周長有可能產生兩種情況：兩腰為2，底邊為5，故周長為9；兩腰為5，底邊為2，故周長為12。其實周長為9的情況不符合三邊關系定理，是不存在的，所以本題的解只有周長為12這一種情況。

還有，因為有思維定勢的原因，學生常常把距離等同于路程，距離是兩點之間的線段的長度。例如，從甲地到乙地的距離是表示甲乙兩地間線段的長度。而路程有行程的意思，所行的路程不一定是兩地間最短的路程，不一定是沿直線運動的。特別學生學了一次函數的圖像之后，距離與時間的圖像和路程與時間的圖像有時的差別是很大的（如左圖），如果此圖是路程與時間圖，同樣是平行于t軸（時間）的一條線段AB，在這一時間段內，可以表示時間在變路程不變；但如果是距離與時間圖，則還可以表示以出發點O為圓心，OA為半徑作圓周運動，此時距離不變但路程在變。

圖4

可見，要轉變學生頭腦中的錯誤“前概念”，教師在具體的數學概念教學中，一方面要敢于讓學生主動暴露認識數學概念的思維過程，通過觀察、試驗、猜想、驗證等多種學習方式的變革來組織師生之間的交流與分享，不斷引發學生數學概念上的認知沖突，促進學生對科學概念的認知順應；另一方面，教師要運用各種教學方式，強化鞏固科學的數學概念在學生頭腦中的印象，廣泛運用數學概念來解決實際問題，這才是讓學生真正理解和掌握數學概念的必由之路。

［1］李善良.數學概念學習中的錯誤分析［J］.數學教育學報，2002（03）.

G633.6

A

1005-6009（2017）43-0015-03

章曉東，江蘇省蘇州市吳江區存志外國語學校（江蘇蘇州，215200）副校長，高級教師，江蘇省數學特級教師，常熟理工學院繼續教育學院兼職教授。