注重基本圖形教學 提升學生解題能力
——以“‘一線三等角’基本圖形及其應用”教學為例

李廣偉

注重基本圖形教學 提升學生解題能力
——以“‘一線三等角’基本圖形及其應用”教學為例

李廣偉

在幾何教學中，將同種類型的問題進行合理歸納、梳理，進而形成一個基本的圖形，對提高課堂效率和學生的數學解題能力有很重要的作用。以“‘一線三等角’基本圖形及其應用”教學為例，對基本幾何圖形的抽取過程進行提煉和總結，對學生認識基本圖形、運用基本圖形、探究基本圖形給予幫助。

基本圖形；一線三等角；教學效率；解題能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索問題解決的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。要想提高學生的幾何直觀能力，教師需要有意識地加強基本圖形的教學。有論者認為，平面幾何中的基本圖形分為兩類，現行教材中概念、公理、定理所對應的圖形稱為理論性基本圖形，課本中具有一定典型性的例題、習題所對應的圖形稱為經驗型基本圖形。“一線三等角”就屬于第二種基本圖形。

一、活動探究，歸納基本圖形

活動一：將三角板的直角（∠C）頂點放在直線l上 （直角邊不與直線l重合），在兩條直角邊所在的射線上任取兩點A、B，分別過點A、B作 AM⊥l于 M，BN⊥l于N。觀察你畫出的圖形，你有什么發現？若CM=CN，連接AB，你有什么新發現？

設計意圖：從學生熟悉的圖形開始，努力讓所有學生積極參與到課堂中來，鼓勵學生打破固定的思維方式，盡可能想到不同的構圖方式；雖然構圖不同，但是證明思路一致，通過觀察，描述這類相似模型的共同特征。在兩種不同圖形的基礎上構造CM=CN，學生會很快發現，當直線l在直角內部時，此時的圖形會是射影定理的基本圖形，而新的發現就是三個直角三角形都相似。

活動二：將60°角（∠XCY）的頂點放在等邊三角形PMN的一邊MN上 （角的兩邊不與直線MN重合），直線XC、YC分別與直線PM、PN交于A、B兩點。觀察你畫出的圖形，你有什么發現？若CM=CN，連接AB，你有什么新發現？

活動三：將45°角（∠XCY）的頂點放在等腰三角形PMN的底邊MN上（角的兩邊不與直線MN重合），∠XCY=∠M，直線XC、YC分別與直線PM、PN交于A、B兩點。觀察你畫出的圖形，你有什么發現？若CM=CN，連接AB，你有什么新發現？

設計意圖：在活動一的基礎上做出變化，讓學生組內互助合作，構造出不同的圖形，說明其解決問題的方法。引導學生找出3種情況下構造出的圖形的共同點，體會直角、60°角、45°角所起的作用。鼓勵學生自己獨立解決問題，大膽假設，類比驗證，在活動中體驗從特殊到一般的數學思想。教師在學生充分討論的基礎上，小結出一類相似模型的共同特征：頂點在一條直線上的三等角可推出△ABP∽△PDC；三等角加上一組對應邊相等可推出△ABP≌△PDC。如圖1所示。

二、由淺入深，提升學生運用基本圖形解題的能力

通過以上的對比歸納，學生對“一線三等角”這個基本圖形有了初步的認識。下面通過有梯度的題組練習讓學生感受基本圖形在解題中的作用，實現學生對基本圖形的內化，逐步達到能夠將基本圖形作為一個思維單元運用到解題過程中去。

1.如圖2，在矩形ABCD中，點F為邊CD上一點，沿AF折疊，點D恰好落在BC邊上的E點處，若 AB=3，BC=5，CF=_______。

2.如圖 3，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線 l1∥l2∥l3，l1與 l2之間距離是 l，l2與 l3之間距離是 2，且 l1，l2，l3分別經過點 A，B，C， 則邊AC的長為________。

圖2

圖3

設計意圖：練習1含有顯性基本圖形，這樣既便于學生從復雜背景中迅速抓住基本圖形，又能夠有助于學生理解復雜的題目是由基本圖形、基本問題構成的；同時還能夠使學生體會到將基本圖形作為一個思維單元給解題帶來的便捷，獲得成功體驗。通過解決這個問題，學生獲得了初步的解題經驗，即抓住基本圖形，能夠促進有效解題。練習2不含顯性基本圖形，但問題中隱藏著基本圖形，在解題時要引導學生發現這些基本圖形的“影子”，并把這些基本圖形挖掘出來，適當補充完整，再應用相應的結論來解決問題。通過這組練習，學生對利用基本圖形解題有了更加深刻的認識。將復雜問題的圖形轉化為基本圖形就變成了我們所熟悉的簡單問題，由此激發學生更深層次的探究，即挖掘數學知識、圖形間的內在聯系，透過變化的現象看到不變的本質，更加提高了學生的解題能力。

三、化繁為簡，構造基本圖形解決問題

教學進行到第三個環節，需要進一步引導學生體會利用掌握的基本圖形進行解題的優越性。可以呈現如下例題：

圖4

如圖4，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點 B，拋物線y=-x2+bx+c經過 A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D。 （1）寫出 A、B、C、D 的坐標；（2）點 P 從點 D 出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值。

對于本題的第2問，一般的解題思路是利用勾股定理， 分∠PBC=90°、∠BCP=90°和∠BPC=90°三種情況討論，運算較為煩瑣。而通過構造“一線三等角”的基本圖形，則可以利用相似三角形的性質，很容易得出答案。在教學中讓學生對運用基本圖形的解題方法與運用勾股定理列方程的方法進行比較，讓學生體會運用基本圖形解決問題所帶來的優越性。

綜上，在幾何教學中，教師應當有意識地培養學生對幾何圖形的識別、構造、組合與分解的能力。教師應當注意基本圖形教學的直觀性、形象性，從最簡單、基礎的基本圖形入手，讓學生在腦海中形成各種基礎的直觀圖形，在實際運用中利用或構造基本圖形解決問題，這是提高學生解決與圖形有關問題的能力的重要途徑。

［1］張俊.基于案例分析的初中數學幾何基本圖形教學探索［J］.兵團教育學院學報，2015（02）.

［2］殷憲剛.淺議中學數學基本圖形教學［J］.課程教育研究，2015（04）.

G633.6

A

1005-6009（2017）43-0036-02

李廣偉，江蘇省蘇州市高新區第二中學（江蘇蘇州，215219）教師，高級教師，蘇州市學科帶頭人。