如何在幾何復習課中提高學生的數學能力

孔祥泉

人們把數學看成是思維的體操。幾何數學能力是指通過數學思維鍛煉具有的探索和創新能力、抽象邏輯思維能力、發散思維能力、直覺思維能力、應用能力等。復習課是學生在已初步掌握了相應知識后的再學習，因此在復習教學中，除應對所學知識的重點知識進行必要的講解形成知識鏈外，更重要的是做到以下兩個方面：第一方面總結歸納，即對所學知識作總結、引申和拓展，以使學生加深了解它的內在聯系和內部規律，理解、領悟到更深層次的數學思想方法；第二方面能力運用，用所學知識解答各種相關的幾何問題，以不斷增強學生的思維能力和綜合素質的培養。下面我們給出“梯形面積公式”復習課的一個設計方案，

一、熟能生巧——拼補法

首先，向學生提出如下兩個問題；

1.三角形和梯形的面積公式是怎樣推導出來的？（學生回答后出示圖一、圖二）

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圖一 圖二

2.上述兩個推導方法有何共同特點？

它們都是將其拼補成平行四邊形（此時面積擴大了一倍），而平行四邊形面積的求法是已知的，于是原圖形的面積也就求出來，我們這種方法叫做“拼補法”。

二、逆向思考——分割法

1.在運用拼補法求圖形的面積時，如果把拼補后的圖形（平行四邊形），視作整體拼補前的圖形（如梯形）便是“局部”因此拼補法的思路是：局部→整體→局部。

2.現在換個角度思考：我們能否運用分割的方法，把梯形轉化成三角形或平行四邊形。從而求得它的面積呢？在教師的啟發下，學生不難得出如圖三、圖四、圖五所示的三種方法。

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圖三 圖四 圖五

這些方法統稱為“分割法”

分割法與拼補法的思路正好相反，這里我們把梯形視作“整體”，則三角形或平行四邊形就是“局部”，可見分割法的思路是：整體→局部→整體。

三、拓展思維——圖形轉化法的應用

學生掌握了上述基本思想方法后，給出如下一道例題，讓師生共同討論當堂解答。

例1.如圖六，在梯形EFGH中，EF∥GH，GP是∠FGH的角平分線，且GP⊥EH，HP=2PE，又設GP把梯形分成面積為S1和S2的兩部分，求S1∶S2的值

分析：欲求S1∶S2的值，相當于已知△GHP的面積為S1時，求四邊形EFGP的面積S2，而四邊形EFGH不是我們所熟知的特殊四邊形，因此可用圖形轉化法將其轉化為易計算面積的圖形，這就有了如下解法。

解：延長GF、HE，交于點Q，并設S△QFE的面積為S3因為GP平分∠FGH，GP⊥HE，所以△GHQ為等腰三角形，由此易知S1=S2+S3，QH∶QE=4又∵EF∥GH∴△QEF∽△QGH∴S△QGH：S△QEF=QH2即2S1∶（S1-S2）=16，8S2=7S1，S2∶S1=7∶8

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圖六 圖七

說明：在作出△QGH后，運用左平行線的方法，將△GPQ分成8個等積的小三角形，也可求得值。

四、能力提升——發展智力空間

完成上述教學過程后，要結合本節課的教學內容與過程，給學生布置一些課后練習題；還可以為部分成績較好的學生布置少量難度較大的思考題，以通過他們來帶動全班學生積極思考，共同提高學生創造性思維的能力。下面便是一道不錯的思考題。

例2.如下圖，正方形EFGH的面積為1，M是邊AD上的中點，求圖中陰影部分的面積。

分析易見，兩個陰影部分的面積△EPH和△MPG的面積是相等的，故只要求出S△EHP即可。為此，可將△GFM割下，拼在四邊形GMGH的下方（如圖，FM與EM重合，點G的新位置P1），易知H、E、P1和G、M、P1分別在一直線上，連接PP1。

（1）■易求；

（2）S△EPH=■=■

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于是S△EPH可求，步驟略。