三次B樣條曲線的四桿機構形狀優化與仿真

祖文明,李 華

(1.云南機電職業技術學院 機械工程系,昆明 650203; 2.昆明理工大學 機電工程學院,昆明 650051)

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三次B樣條曲線的四桿機構形狀優化與仿真

祖文明1,李 華2

(1.云南機電職業技術學院 機械工程系,昆明 650203; 2.昆明理工大學 機電工程學院,昆明 650051)

四桿機構運動過程中輸出的擺動力和擺動矩較大,導致機構產生很大的噪音,不能很好地滿足工作環境的要求.對此,針對四桿機構形狀問題進行了優化,實現輸出的擺動力和擺動矩最小化.構造四桿機構的運動簡圖,對四桿機構運動進行受力分析,給出了輸出擺動力和擺動矩的計算公式,引入了B樣條曲線構造四桿機構的形狀.B樣條曲線的控制點作為設計變量,結合具體實例確定四桿機構中需要優化的目標對象,采取遺傳算法搜索出最優解,對相關參數進行仿真.仿真結果顯示,優化前輸出的擺動力和擺動矩最大值大約分別為19 N和30 N·m,優化后輸出的擺動力和擺動矩最大值大約分別為6 N和12 N·m.優化后的四桿機構輸出的擺動力和擺動矩相對較小,運動比較平穩,噪音較低,效果較好.

B樣條曲線; 四桿機構; 擺動力; 擺動矩; 遺傳算法; 優化; 仿真

當前國內機械自動化設備層出不窮,這些機械自動化設備通常需要運動機構來完成快速進給、停歇或者后退.常見的機構主要有凸輪機構、連桿機構、齒輪機構等.連桿機構由于構造簡單,加工容易,成本較低,容易維護，因此,在社會發展中得到了廣泛的應用.連桿機構主要應用在工程機械、折疊傘、機械手、太陽能板、農業機械及人體假肢等.連桿機構主要分為四桿機構、五桿機構、六桿機構以及八桿機構等.多桿機構通常由簡單的四桿桿機組成,設計者要想設計出復雜的多桿機構,必須能夠設計出平穩運動的四桿機構.因此,對四桿機構運動輸出擺動力和擺動矩的研究具有重要意義.

隨著國內連桿機構技術的快速發展以及自動化控制設備的改進,四桿機構的優化方法也在不斷改進和完善,以往研究人員從不同角度對四桿機構的平穩性展開了研究.例如:文獻[1-3]研究了平面四桿機構運動的精度,分析了四桿機構運動的基本特性,選擇行程速比系數和角位移誤差為優化目標函數,以Matlab 軟件優化程序為基礎,構造四桿機構優化設計模型,采用遺傳算法提高了四桿機構的運動精度.文獻[4-6]研究了平面四桿機構軌跡綜合的優化方法是以速度誤差和位置誤差為雙目標函數的多目標優化模型.采取改進的差分進化算法對不同速度、不同軌跡進行計算.優化結果顯示,改進的差分進化算法全局尋優能力很好,搜索精度很高.文獻[7]研究了等效靜態載荷法的平面四桿機構的結構動態優化設計方法.采用等效靜態載荷方法,將動態載荷轉化為等效的靜態載荷.通過邊界條件添優化目標,對四桿機構結構進行優化設計.

采取HyperWorks 軟件得出四桿機構的最大動應力曲線圖形.四桿機構在滿足應力條件下,從而達到質量最輕的目的.文獻[8-9]研究了軌跡生成四桿機構的誤差優化方法.采用一個修正距離誤差函數對軌跡產生四桿機構進行優化,推導出了優化目標函數的表達式子.將優化變量參數值輸入到Matlab軟件中進行仿真,并且與其他方法進行了對比.曲線仿真結果表明,修正距離誤差函數方法在軌跡生成四桿機構所產生的橫向和縱向誤差都很小.以往研究的四桿機構沒有考慮機構的動態平衡,導致運動過程中擺動力和擺動矩較大,直接影響到四桿機構的使用壽命.對此,本文構建了四桿機構運動簡圖,對四桿機構進行受力分析,給出了擺動力和擺動矩的計算方程式.引入了三次B樣條曲線優化四桿機構連桿形狀,使用等力矩質點系統概念,構建了最小化擺動力和擺動矩的優化問題,通過遺傳算法搜索出目標函數中最佳連桿尺寸參數,對四桿機構輸出的擺動力和擺動矩進行仿真驗證.結果表明,優化后輸出的擺動力和擺動矩最大值相對優化前有所下降,整體波動較小,運動比較平穩.

1 擺動力和擺動矩

平面四桿機構的受力分析及尺寸定義如圖1所示,固定連桿和可動連桿已經分開.擺動力為所有慣性力矢量和的作用,擺動矩則為慣性矩以及慣性力對固定點之矩合量的作用.一旦所有的關節作用都被定義好,就可以得到關節1上的擺動力和擺動矩計算公式[10]:

式中:F1為機架對連桿1的反作用力;F3為機架對連桿3的反作用力;l0為點O1到點O4的向量.

圖1 四桿機構分離簡圖

2 構造連桿形狀

采用插值或逼近包含P0,P1,…,Pn等n+1個控制點集合[11]的參數封閉B樣條曲線合成連桿形狀,連桿形狀采用的曲線公式定義如下:

(3)

式中:K為曲率;Ni,k(u)代表B樣條混合函數;u為變化參數;um參數上限.

第i段上任一點的坐標方程式如下:

(4)

(5)

式中:(xi-1,yi-1),(xi,yi),(xi+1,yi+1)分別為Pi-1,Pi,Pi+1的坐標;α1=-u3+3u2i-3ui2+i3,α2=3u3+u2(3-9i)+u(9i2-6i-3)-3i3+3i2+3i+1,α3=-3u3+u2(9i-6)+u(-9i2+12i)+3i3-6i2+4,α4=u3+u2(-3i+3)+u(3i2-6i+3)-i3+3i2-3i+4.

xi(u)和yi(u)分別對u進行求導,得到一階導數如下:

(9)

(10)

式中:β1=-3u2+6ui-3i2;β2=9u2+2u(3-9i)+9i2-6i-3;β3=-9u2+2u(-6+9i)-9i2+12i;β4=3u2+2u(3-9i)+3i2-6i+3.

幾何性質由式(6)～(8)定義,形狀由封閉曲線代表的連桿,其質量、質量慣性矩的計算公式為

(11)

(12)

式中:t,ρ分別為連桿厚度和連桿材料密度.

3 優化目標函數

3.1 動態平衡

為了對平面四桿機構進行動態平衡,使用等力矩質點系統概念構建了最小化擺動力和擺動矩的優化問題.將連桿系統轉換為包含3個等力矩質點的系統,并將質點參數作為設計變量.1個質點由3個參數定義.所以,對任一連桿,包含9個向量的設計變量Xi被定義為如下:

(13)

式中:mij為第i根連桿上第j個點的質量;lij和θij為該點在固定機架上的極坐標.因此,機構的設計矢量X為

(14)

考慮式(1)中定義的擺動力值F和式(2)中定義的擺動矩值N的均方根值,優化問題可以當成是力和矩的加權和,求解Z的最小化:

(15)

式中:ω1為擺動力比例的加權因子;ω2為擺動矩比例的加權因子.

對i=1,2,3和j=1,2,3質量與慣性矩服從下式:

(16)

3.2 連桿機構形狀優化

得到優化的連桿機構慣性參數以后,尋找對應連桿形狀的優化問題進行了建模,連桿形狀的封閉三次B樣條曲線及其控制點如圖2所示.三次B樣條曲線控制點的笛卡爾坐標被作為設計變量.從關節起點Oi到點Oi+1之間的連桿長度被分成等長部分.為了保持對稱形狀以使慣量為零,y坐標被當成設計變量.在關節起點Oi和Oi+1之外的連桿延伸部分右端由點P0,P1,Pn-1控制,左端由點Pn/2-1,Pn/2,Pn/2+1控制.在右端,P0的x坐標、P1和Pn-1的y坐標被選為設計變量,在左端也是如此.最后,在本文中,設計向量被定義為

X=[x0y1…yn/2-1xn/2yn/2+1…yn-1]T

(17)

用于對所得連桿慣性值的誤差百分比進行最小化的目標函數被構建為

(18)

圖2 連桿機構形狀優化

質量、形心坐標服從如下:

(19)

式中:上標*的參數為在之前3.1節中得到的優化參數;下標i為機構的第i根連桿.

3.3 遺傳算法

四桿機構形狀優化,需要搜索出全局的最優解,本文選擇遺傳算法作為最優化搜索方法.遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)一般是模擬達爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學機理的生物進化過程的計算模型,是一種通過模擬自然進化過程搜索最優解的方法[13].四桿機構形狀優化問題的求解是從產生初始種群開始的,計算出每個個體的控制參數值,通過比較選擇出最優解.四桿機構形狀遺傳算法的優化流程如圖3所示.

圖3 遺傳算法流程圖

采用Matlab軟件編寫四桿機構形狀優化程序,優化程序流程如圖4所示.設計者根據四桿機構動態平衡的設計要求,設置約束條件及目標函數,在Matlab 軟件的最優化工具箱中調用遺傳算法最優化函數(ga),對四桿機構形狀進行優化設計,通過程序搜索出的平面四桿機構各桿形狀最佳尺寸.

圖4 四桿機構形狀尺寸程序優化

4 設計實例

對圖1所示的平面四桿機構的數值問題進行了求解,得出四桿機構連桿的尺寸參數(見表1).

表1 四桿機構仿真參數

由于擺動力和擺動矩的單位不同,需要通過將這些量添加到單目標函數中使其變為無量綱量.因此,機構參數被變為與驅動連桿1相關的無量綱值.為了縮小研究問題變量,從9個參數中選擇出5個參數值,即mij,lij,θij,j=1,2,3.第i根連桿尺寸參數定義如圖5所示,5個參數尺寸定義如下：θi1=0,θi2=2π/3,θi3=4π/3,li2=li3=li1.通過3次B樣條曲線優化后得到的四桿機構形狀如圖6所示,四桿機構的原始形狀如圖7.將仿真參數輸入到Matlab軟件中進行仿真,四桿機構擺動力和擺動矩仿真結果如圖8和圖9所示.

圖5 剛性連桿到質點等力矩系統的轉化

圖6 優化后四桿機構 圖7 優化前四桿機構Fig.6 Optimized four bar mechanism Fig.7 Four bar mechanism before optimization

從圖8擺動力的仿真結果可知:3次B樣條曲線優化后的四桿機構,擺動力的最大值大約為6 N,最小值大約為1 N;優化前四桿機構,擺動力的最大值大約為19 N,最小值大約為5 N.從圖9擺動矩的仿真結果可知:3次B樣條曲線優化后的四桿機構,擺動矩的最大值大約為12 N·m,最小值大約為0 N·m;優化前四桿機構,擺動力的最大值大約為30 N·m,最小值大約為0 N·m.因此,優化后四桿機構擺動力和擺動矩變化較小,運動相對平穩,產生的噪音較低,從而延長了四桿機構的使用壽命.

圖8 擺動力仿真結果

圖9 擺動矩仿真結果

5 結語

針對四桿機構連桿形狀的多樣性與復雜性,本文采用三次B樣條曲線優化了四桿機構連桿形狀.給出了四桿機構的擺動力和擺動矩的數學計算公式,構造了連桿的形狀,分析了四桿機構的動態平衡.優化了目標函數,通過遺傳算法搜索出連桿最佳尺寸參數,借助于Matlab軟件對優化四桿機構形狀進行了仿真.研究結果表明,優化后的擺動力和擺動矩最大值明顯降低,波動程度下降,運動相對平穩,為四桿機構動態平穩的研究提供了參考.

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The study of shape optimization and simulation of four-bar mechanism based on three B-spline curve

ZU Wenming1,LI Hua2

(1.Department of Mechanical Engineering,Yunan Vocational College of Mechanical and Electrical Technology,Kunming 650203,China;2.Faculty of Mechanical and Electrical Engineering,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650051,China)

At present,the output of four-bar mechanism shaking power and shaking torque is relatively large in the process of movement,leading institutions have a lot of noise,can not meet the requirements of the work environment.In this regard,the shape of the four-bar mechanism was optimized,minimizing the output placed shaking power and shaking torque.Structure four-bar mechanism kinematic sketch,of four bar mechanism for force analysis and gives the output shaking power and shaking torque calculation formula.The B spline curves are introduced to construct the shape of the four bar mechanism,and the control points of the B-spline curves are used as the design variables.Combined with specific examples to determine the need to optimize the target object in the four bar,the genetic algorithm to search for the optimal solution,the relevant parameters of the simulation.Simulation results show that the optimization before the output shaking power and shaking torque of maximum values were approximately 19 N and 30 N·m,the optimized output shaking power and shaking torque of maximum value is around 6 N and 12 N·m respectively.After the optimization of four bar mechanism output shaking power and shaking torque is relatively small,stable motion,low noise,the effect is better.

B-spline curve; four bodies; shaking force; swing moment; genetic algorithms; optimization; simulation

云南省自然科學基金資助項目(2012ZC030)

祖文明(1966—)，男，副教授.E-mail:zuwm201605@sina.com

TH 112

A

1672-5581(2017)02-0125-05