相位型三頭薛定諤貓態的量子統計屬性?

林惇慶 朱澤群 王祖儉 徐學翔2)?

1)(江西師范大學物理與通信電子學院,南昌 330022)

2)(江西師范大學,量子科學與技術中心,南昌 330022)

相位型三頭薛定諤貓態的量子統計屬性?

林惇慶1)朱澤群1)王祖儉1)徐學翔1)2)?

1)(江西師范大學物理與通信電子學院,南昌 330022)

2)(江西師范大學,量子科學與技術中心,南昌 330022)

(2016年12月25日收到;2017年3月8日收到修改稿)

本文詳細研究了一種相位型三頭薛定諤貓態的一些量子統計屬性,包括光子數分布、平均光子數、亞泊松分布、壓縮效應以及Wigner函數等.我們發現,三頭貓態的Wigner函數都可以出現負值,與二、四頭貓態一樣,說明它們都可以體現出非經典特性.與二頭貓態不同,三頭貓態在一定參數范圍內可以呈現亞泊松分布,這點與四頭貓態相類似,但弱于四頭貓態.另外,三頭貓態和四頭貓態都沒有壓縮屬性,但二頭貓態具有壓縮屬性.

∶薛定諤貓態,三頭貓態,非經典性,Wigner函數

PACS∶42.50.Dv,03.65.—wDOI∶10.7498/aps.66.104201

1 引 言

在量子力學中,態疊加原理是一個最基本的原理,也是量子態的不同表象的理論基礎[1,2].理論上可以將一些已有的或成熟的量子態通過疊加,構造出不同類型的新量子態,以滿足工程和技術的需要[3?5].國內外科研人員對量子態疊加開展了大量的理論和實驗的研究,特別是近幾十年來,薛定諤貓態引起了人們的廣泛關注和極大興趣.因為薛定諤貓態光場,就是指由若干個截然不同的、并且在宏觀上完全可以分辨的量子光場態的線性疊加所組成的新的疊加態光場[6].

根據所參與疊加的量子態的幅度和相位的不同,可將薛定諤貓態分為幅度型薛定諤貓態(光場)、相位型薛定諤貓態(光場)以及幅度-相位混合型薛定諤貓態(光場).同時,根據所參與疊加的量子態的數目多少,可將薛定諤貓態區分為多少頭貓態.眾所周知,相干態是量子光學領域中的一種典型量子態[7].疊加不同相干態,已經成為研究大量基本問題(如宏觀疊加態的退相干)的重要工具.比如,最早“貓態”(2HCS)的概念,來自量子力學的奠基人之一薛定諤在1935年提出的一個著名的“佯謬”,即箱子里面的一只貓不是死的也不是活的,而是同時處于死和活的狀態.這種薛定諤貓態可由兩個相位相差π的相干態疊加而成,即我們可以稱之為相位型的二頭貓態,這種量子態在量子信息技術中得到了廣泛應用[8].

近幾年,有些研究已將這種量子疊加延伸到包含更多數目的相干態疊加.實際上,“薛定諤貓態”在宏觀世界是不存在的,然而在微觀世界科學家們可以用光子或者原子來制備這些“貓態”.Yukawa等[9]提出了一種實驗方案,成功地產生了三種光子數態的疊加,同時也考慮了兩種和三種不同相位的相干態的疊加情況.Vlastakis等[10]利用腔腸電動力學成功實現了由高達四種不同相位的相干態的疊加而成的量子態.再比如,Raimonnd等[11]制備了形如的量子態.

實際上,不同的疊加量子態表現出不同的干涉性和非經典性.最近,Lee等[12]研究了由四種不同相干態疊加而成的四頭貓態并應用于進行量子相位估計.他們展示了該量子態的非經典性特點,可以提高相位估計的分辨率.然而,對于三頭貓態的研究,盡管有文獻提及甚至實驗實現,但都沒給出詳細的理論研究.基于這些原因,我們擬對一種相位型三頭貓態的量子統計屬性進行詳細的理論研究,并與相干態、二頭貓態和四頭貓態進行對比分析.

本文首先定義描述三頭貓態光場的量子態矢,給出其密度算符和歸一化系數;接著研究其量子統計屬性,包括光子數分布、平均光子數和亞泊松分布以及壓縮特點等;特別研究了該量子態的Wigner函數及其負部體積;最后進行簡單的總結.

2 三頭貓態

其密度算符為

其中

由于Tr(ρ3HCS)=1,根據相干態的內積關系

可得歸一化系數為

接下來,我們對照相干態、二頭貓態和四頭貓態,分析研究三頭貓態的量子統計屬性.附錄中給出了二頭貓態和四頭貓態的一些量子屬性的解析表達式.

3 量子統計屬性

3.1 光子數分布

3.2 平均光子數

另外,二頭貓態和四頭貓態的平均光子數的表達式見附錄.

圖1給出了相干態、二頭貓態、三頭貓態和四頭貓態的平均光子數的變化情形.結果發現,當幅度|α|∈[0,1.5]的情況下,相干態、二頭貓態、三頭貓態和四頭貓態的平均光子數依次減小;而當|α|∈[1.5,2.2]的情況下,相干態、二頭貓態、三頭貓態和四頭貓態的平均光子數依次增大.對于大幅度|α|的情況下,這幾種量子態的平均光子數幾乎是相等的.

圖1 相干態(點線)、二頭貓態(劃線)、三頭貓態(實線)和四頭貓態(點劃線)的平均光子數隨|α|的變化Fig.1.Average photon numbers as the function of the amplitude|α|for CS(dotted line),2HCS(dashed line),3HCS(solid line)and 4HCS(dotdashed line).

3.3 亞泊松統計

光場的非經典性可以通過觀察其是否具有亞泊松分布的特點來判斷.亞泊松分布的特點可以借助Mandel提出的QM參數[13]來表征,其定義為

該參數反映了所考慮的光場與具有泊松分布特征的相干態光場光子數分布偏離情況.當QM=0時,光場為泊松分布,而當QM＞0(或QM＜0)時,則稱光場具有超(或亞)泊松分布.對于相干態,易知QM=0,這也表明相干態具有泊松統計分布的特點.

在圖2給出了二頭貓態、三頭貓態以及四頭貓態的QM參數隨|α|變化的圖形.從圖2(a)可見三頭貓態QM參數的負值部分出現在一個特殊的區域范圍,即|α|∈[1.77,2.55],也就是說,當在該范圍取參數,三頭貓態呈現亞泊松統計的非經典特點.而且,最小的QM值大約為?0.05,當|α|大約取1.95時.二頭貓態則不同,因為二頭貓態對于任何的|α|,都不能出現亞泊松分布的特點,見圖2(b).但與四頭貓態相對比,似乎具有類似的結論,但四頭貓態最小的QM值大約為?0.225,當|α|大約取2時,見圖2(c).

圖2 QM參數隨|α|的變化 (a)三頭貓態;(b)二頭貓態;(c)四頭貓態Fig.2.Mandel Q parameter as a function of|α|for(a)3HCS,(b)2HCS,(c)4HCS.

3.4 正交壓縮效應

接下來,我們研究另一種非經典效應,即某正交分量的壓縮[14].定義正交算符和它們所對應的方差可以分別表達為

和

且滿足不確定性關系?X2?P2≥1/4.對于真空態(或相干態),如果某個量子態的?X2和?P2二者之一小于1/2,那么該量子態就是壓縮態.另外,我們可以通過dB[X]=和dB[P]=用分貝(dB)的形式來描述量子壓縮特點.也就是說,如果dB[X]和dB[P]二者之一小于0,那么該量子態就是壓縮態.

經過計算,我們發現所考慮的三頭貓態的

圖3 壓縮dB參數隨|α|的變化 (a)三頭貓態;(b)二頭貓態;(c)四頭貓態.Fig.3.Squeezed dB parameters as a function of|α|for(a)3HCS,(b)2HCS,(c)4HCS.

4 Wigner函數

Wigner函數是量子相空間理論的重要組成部分[15].由于其非正定性特點,故不能成為一個真正意義上的概率分布函數.通常,我們可以根據量子態的Wigner負值來判斷其非經典性特點[16,17].

4.1 Wigner函數的推導

我們首先推導出其Wigner函數的解析表達式.根據公式[18]

這里需要說明的是,(?1)a?a為奇偶宇稱算符,為平移算符,且

這里平移算符可以直接進入正規排序.這樣,我們很容易得到三頭貓態的Wigner函數為

其中

利用(15)式,圖4給出了幾種情形下三頭貓態的Wigner函數.從圖中可以發現,對于較小幅度的三頭貓態,其負部區域不明顯(如圖4(a));隨著幅度|α|的增大,發現負部區域數量增多了.另外,我們通過數值分析發現,對于|α|相同的三頭貓態,其分布圖形會隨著θ的變化而發生旋轉,但總體形狀沒有改變.

為了更清楚地展示三頭貓態與相干態、二頭貓態及四頭貓態Wigner函數的區別,我們繪制了相同情形下(|α|=1,θ=0)這幾種量子態的Wigner函數圖形.圖5(a)說明相干態的Wigner函數無負部區域,其分布中心與α有關;圖5(b)表明二頭貓態出現負部區域,且具有π旋轉對稱特點,圖5(c)對應三頭貓態,出現了負部區域,具有2π/3旋轉對稱的特點;圖5(d)對應四頭頭貓態,出現負部區域,且具有π/2旋轉對稱特點.

圖4 三頭貓態的 Wigner函數圖(θ=0) (a)|α|=0.2;(b)|α|=1;(c)|α|=2;(d)|α|=3Fig.4.Wigner functions of 3HCS with(θ=0),and(a)|α|=0.2,(b)|α|=1,(c)|α|=2,(d)|α|=3.

圖5 幾種量子態的Wigner函數圖(|α|=1,θ=0) (a)相干態;(b)二頭貓態;(c)三頭貓態;(d)四頭貓態Fig.5.Wigner functions with|α|=1,θ=0 for(a)CS,(b)2HCS,(c)3HCS,(d)4HCS.

4.2 Wigner函數的負部體積

通過前面的研究發現,相干態沒有出現負值,但二頭、三頭和四頭貓態都會出現了負值,而且隨著|α|的增大,分布更復雜,波包形狀發生振蕩,負部體積更明顯.Wigner函數的負部體積δ是反映光場非經典性的一個重要標志[19],其定義如下∶

只要量子態的Wigner函數已知,通過數值積分就可以得到負部區域體積.根據定義,相干態的δ都為零.

圖6給出了二頭、三頭和四頭貓態的Wigner函數的負部體積δ在一定范圍內隨|α|的變化圖形,這里需要說明的是,δ的大小與θ的選取是無關的.我們發現,在小幅度范圍,這三種量子態的δ幾乎為零;但隨著|α|的增大,負部體積δ逐漸增大,直至趨于相應的上限值(δ(2)～0.3,δ(3)～0.6,δ(4)～ 0.8).

圖6 二頭貓態、三頭貓態和四頭貓態的負部體積δ隨|α|的變化Fig.6.Negative volume of the Wigner functions for 2HCS,3HCS and 4HCS as a function of|α|.

5 討論和結論

我們研究了一種相位型三頭薛定諤貓態的量子統計屬性.從三頭貓態的態矢出發,給出其密度算符并進行了歸一化,然后詳細研究了其一些量子統計屬性,這些屬性包括光子數分布、平均光子數、亞泊松分布、壓縮效應以及Wigner函數的負部體積特點.為反映出其非經典性質,重要結論總結如下∶1)三頭貓態不是壓縮態,沒有展現出壓縮效應;2)在適當選取參數的情況下,可以表現出亞泊松分布的特點;3)三頭貓態的Wigner函數會出現負值特點.

另外,我們還分析了三頭貓態與相干態、二頭貓態以及四頭貓態的量子統計屬性的異同.相比二頭貓態,三頭貓態無壓縮但呈現泊松分布特點;相比四頭貓態,三頭貓態具有類似的非經典性特點,但相對更弱些.前面已經提到,二頭貓態和四頭貓態在量子精密測量和量子信息處理中都得到了相應的應用.作為介于二者之間的三頭貓態,也將發揮其作用.例如,利用三頭貓態作為信號源,通過分束器或非線性介質,可以產生相應的糾纏源,應用于量子信息技術[20?22].

附錄A 三頭貓態的統計期望值

這樣,我們可以通過取不同的k和l,得到正文中所需的各種期望值.

附錄B 相位型二頭貓態的定義及其屬性

另外,二頭貓態的Wigner函數為

其中

附錄C 相位型四頭貓態的定義及其屬性

定義一種相位型四頭貓態

由此可得

QM參數

以及正交分量方差

其中

[1]Dirac P A M 1958 The Principles of Quantum Mechanics(4th Ed.)(Oxford:Oxford University Press)pp1–22

[2]Zeng J Y 2007 Quantum Mechanics(4th Ed.)(Beijing:Science Press)pp52–54[曾謹言 2007量子力學(第四版)(北京:科學出版社)]pp52–54

[3]Dell’Anno F,de Siena S,Illuminatif2006 Phys.Rep.428 53

[4]Kok P,Lovett B W 2010 Introduction to Optical Quantum Information Processing(Cambridge:Cambridge University Press)pp183–187

[5]Polkinghorne J C 1985 The Quantum World(Princeton:Princeton University Press)p67

[6]John G 2011 In Search of Schrodinger’s Cat:Quantum Physics and Reality(Berlin:Random House Publishing Group)pp234

[7]Glauber R J 1963 Phys.Rev.131 2766

[8]Gerry C C,Knight P 2005 Introductory Quantum Optics(Cambridge:Cambridge University Press)pp174–181

[9]Yukawa M,Miyata K,Mizuta T,Yonezawa H,Marek P,Filip R,Furusawa A 2013 Opt.Express 21 5529

[10]Vlastakis B,Kirchmair G,Leghtas Z,Nigg S E,Frunzio L,Girvin S M,Mirrahimi M,Devoret M H,Schoelkopf R J 2013 Science 342 607

[11]Raimond J M,Facchi P,Peaudecerf B,Pascazio S,Sayrin C,Dotsenko I,Gleyzes S,Brune M,Haroche S 2012 Phys.Rev.A 86 032120

[12]Lee S Y,Lee C W,Nha H,Kaszlikowski D 2015 J.Opt.Soc.Am.B 32 1186

[13]Mandel L 1979 Opt.Lett.4 205

[14]Walls D F,Milburn G J 1994 Quantum Optics(Berlin:Springer-Verlag)pp81–82

[15]Wigner E P 1932 Phys.Rev.40 749

[16]Xu X X,Yuan H C,Hu L Y 2010 Acta Phys.Sin.59 4661

[17]Xu X X,Yuan H C 2016 Phys.Lett.A 380 2342

[18]Lutterbach L,Davidovich L 1997 Phys.Rev.Lett.78 2547

[19]Kenfack A,Zyczkowski K 2004 J.Opt.B:Quantum Semi-Class.Opt.6 396

[20]Gerry C C,Mimih J 2010 Contemp.Phys.51 497

[21]Leghtas Z,Kirchmair G,Vlastakis B,Schoelkopf R J,Devorett M H,Mirrahimi M 2013 Phys.Rev.Lett.111 120501

[22]Ralph T C,Gilchrist A,Milburn G J,Munro W J,Glancy S 2003 Phys.Rev.A 68 042319

PACS∶42.50.Dv,03.65.—wDOI∶10.7498/aps.66.104201

*Project supported by National Natural Science Foundation of China(Grant No.11665013),Research on Teaching Reform of Jiangxi Higher Education,China(Grant No.JXJG-16-2-2)and the Gaoyuan Plan Project of Jiangxi Normal University,China.

?Corresponding author.E-mail:xuxuexiang@jxnu.edu.cn

Quantum statistical properties of phase-type three-headed Schrodinger cat state?

Lin Dun-Qing1)Zhu Ze-Qun1)Wang Zu-Jian1)Xu Xue-Xiang1)2)?
1)(College of Physics and Communication Electronics,Jiangxi Normal University,Nanchang 330022,China)
2)(Center for Quantum Science and Technology,Jiangxi Normal University,Nanchang 330022,China)

25 December 2016;revised manuscript

8 March 2017)

Quantum superposition is a fundamental principle of quantum mechanics,which provides a crucial basis to observe phenomena beyond the predictions of classical physics.For example,a quantum entangled state can exhibit stronger correlation than classically possible one.In quantum state engineering,many new quantum states can be obtained from the superposition of many known states.

In recent decades,the superposition of coherent states(CSs)with the same amplitude but two different phases has been a subject of great interest.This superposition state was often called Schrodinger cat state(here,we also name it 2-headed cat state(2HCS)),which becomes an important tool to study a lot of fundamental issues.Surprisingly,some studies have extended the quantum superposition to involving more than two component coherent states.In order to produce the superposition of three photons,people have considered the superposition of coherent states with three different phases(here,we also name it 3-headed cat state(3HCS)).Furthermore,in microwave cavity quantum electrodynamics of bang-bang quantum Zeno dynamics control,people have proposed the superposition of coherent states with four different phases(here,we also name it 4-headed cat state(4HCS)).

In this paper,we make a detailed investigation on the quantum statistical properties of a phase-type 3HCS.These properties include photon number distribution,average photon number,sub-Poissionian distribution,squeezing effect,and Wigner function,etc.We derive their analytical expressions and make numerical simulations for these properties.The results are compared with the counterparts of the CS,the 2HCS and the 4HCS.

The conclusions are obtained as follows.1)The CS,the 2HCS,the 3HCS and the 4HCS have k,2k,3k and 4k photon number components,respectively(k is an integer);2)small difference in average photon number among these quantum states in small-amplitude range can be observed,while their average photon numbers become almost equal in large-amplitude range;3)the CS exhibits Poisson distribution,and the 2HCS,the 3HCS and the 4HCS exhibit super-Poisson distributions in most amplitude ranges,however,sub-Poisson distribution can be seen for the 3HCS and the 4HCS in some specific amplitude ranges;4)except for the 2HCS that may have the squeezing property,no squeezing properties can be found in the CS,the 3HCS and the 4HCS;5)negative values can exist in the Wigner functions for the 2HCS,the 3HCS and the 4HCS,while it is not found in the CS.

Similar to the 2HCS and 4HCS,the Wigner function of the 3HCS has negative component,which implies its nonclassicality.Different from the 2HCS,the 3HCS exhibits sub-Poisson photon number distribution in a certain amplitude range,it is weaker than that of the 4HCS.At the same time,no squeezing is found in the 3 or 4HCS,which is another difference from the 2HCS.

∶Schrodinger cat state,three-headed cat state,nonclassicality,Wigner function

?國家自然科學基金(批準號:11665013)、江西省高等學校教學改革研究課題(批準號:JXJG-16-2-2)和江西師范大學團隊高原計劃項目資助的課題.

?通信作者.E-mail:xuxuexiang@jxnu.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society