基于變換熱力學的三維任意形狀熱斗篷設計?

夏舸 楊立 寇蔚 杜永成

(海軍工程大學動力工程學院,武漢 430033)

基于變換熱力學的三維任意形狀熱斗篷設計?

夏舸 楊立?寇蔚 杜永成

(海軍工程大學動力工程學院,武漢 430033)

(2016年11月22日收到;2017年3月9日收到修改稿)

在變換熱力學的基礎上,通過坐標變換的方法,推導出三維任意形狀熱斗篷導熱系數的通解表達式,并進行了全波仿真驗證.結果表明∶熱流均能繞過保護區域流出,保護區域的溫度保持不變,而且熱斗篷外的溫度場并沒有破壞,具有很好的熱保護和熱隱身的效果.這一方法把變換熱力學從二維拓展到三維,具有普遍的適用性.同時,這種技術為熱流流動路徑和目標溫度場的控制奠定了理論基礎,在微芯片、電動機的保護以及目標熱隱身上有潛在應用.

∶變換熱力學,熱斗篷,三維任意形狀,溫度場

PACS∶44.10.+I,05.70.—a,81.05.Xj,07.05.TpDOI∶10.7498/aps.66.104401

1 引 言

2006年,Pendry等[1]和Leonhardt[2]從麥克斯韋方程的形式不變性出發,通過坐標變換的數學方法推導出具有各向異性特性的人工超材料的參數,使得電磁波按照預先設定的路徑傳播,從而達到電磁隱形的目的.從此,這種控制電磁波傳播的理論方法引起了廣大學者極大的關注,并逐漸發展成為變換光學的一般理論[3?5].變換光學理論不但可以應用于制作隱形器件[6,7],還能用來設計波束集中器[8,9]、完美透鏡[10]、波束旋轉器[11]以及指向性天線等[12].后來,人們又把光學變換理論的思想應用到聲波[13,14]、物質波[15]、彈性波[16]和熱流[17]的傳播路徑設計上.

與電磁波、聲波以及彈性波等不同,熱流并不是一種波,僅僅是從熱端到冷端的流動[18].基于導熱方程的不變性,通過構造出特定的熱物性參數,可以實現對熱流傳遞方向的控制與利用,滿足工程實際應用.2008年,Fan等[19]通過利用分級材料,設計出球形和橢球型熱隱身衣,并對其進行了仿真驗證,這是變換熱力學理論第一次被提出并驗證.后來,Guenneau等[20]提出一種通過20層同心的各向同性材料構建出二維非穩態熱斗篷和熱聚集器的方法.在此基礎上,Schittny等[21]利用銅片和聚二甲基硅氧烷兩種材料交替排列構建10個等厚度的環,從實驗上驗證了二維熱斗篷的隱身效果.2014年,毛福春等[22]在變換熱力學的基礎上,設計出具有非共形任意橫截面的柱形熱斗篷熱導率的表達式,并通過COMSOL Multiphysics仿真驗證了熱斗篷對隱身區域具有熱保護的功能.同時,秦春雷等[23]將連續介質力學的方法引入熱力學中,數值求解連續介質位移的拉普拉斯方程獲得封閉曲線內場的形變信息,進而可以計算任意形狀的熱斗篷的材料參數.

熱斗篷由于其特殊的導熱系數分布使得熱流繞過保護區域,這一特質使其能夠應用于計算機芯片、高速電動機的熱保護以及軍事目標的偽裝中.然而,目前對熱斗篷導熱系數研究大多數局限在二維空間里,而對于三維形狀熱斗篷也基本局限于球體、橢球體以及柱體等規則共形熱斗篷的研究.而在實際應用過程中,這些簡單規則的三維模型往往不能滿足要求.而對基于拉普拉斯方程的熱斗篷研究方法由于其介質參數全部是數值結果,在精確提取參數進行材料實現時困難較大,不利于在工程上實現.因此,本文基于變換熱力學的方法,推導出三維任意形狀熱斗篷的導熱系數的通用表達式,并通過全波仿真分析球體、橢球體、共形任意形狀熱斗篷和非共形任意形狀熱斗篷,驗證了表達式的正確性以及熱斗篷的隱身和保護雙重功能,這些結果為三維熱斗篷熱物性參數的隱身設計和改進奠定了理論基礎.

2 理論和方法

熱傳導是物體只依靠微觀粒子(分子、原子或者自由電子)的熱運動產生的熱量傳遞的現象.在無內熱源情況下,穩態熱傳導方程的一般形式可以寫成[24]

式中,T表示區域溫度,λ表示導熱系數,?表示梯度算符.

與基于麥克斯韋方程的變換光學類似,根據變換熱力學理論[20],由于方程(1)具有形式不變性,導熱方程在變換空間可表示為

式中,T′和λ′分別表示物體在變換空間中的溫度和導熱系數,?′表示變換空間中的梯度算符.變換空間與原空間介質的導熱系數的關系為[25]

式中,A為變換空間與原空間之間的雅克比矩陣,ATAT是A的轉置矩陣,det(A)為矩陣的行列式的值.不同坐標系下的雅克比矩陣是不同的,在球坐標系下的雅克比矩陣∶

對于三維熱斗篷,假設內外邊界分別為r=R1(θ,φ)和r=R2(θ,φ), 為了實現對保護區域的完美隱形,把0＜ r＜ R2(θ,φ)區域壓縮到R1(θ′,φ′) ＜ r ＜ R2(θ′,φ′)區域, 得到保護區域r ＜ R1(θ′,φ′). 區域r ＞ R2(θ,φ) 保持不變. 因此變換方程如下[22]∶

把(5)式代入(4)和(3)式,經過推導可以得到所需變換空間的導熱系數為

式中

將球坐標系下的材料導熱系數轉換為材料在笛卡爾坐標系下的導熱系數,具體轉換關系如下∶

化簡得到

根據(6)和(8)式即可得到內外邊界為r=R1(θ′,φ′)和r=R2(θ′,φ′)的三維任意形狀熱斗篷導熱系數的一般表達式.當消去θ′,簡化為二維任意形狀熱斗篷時,與參考文獻[22]一致.

3 仿真驗證與分析

為了驗證熱斗篷導熱系數表達式的正確性,本文采用有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics進行全波仿真.假設整個區域為一個1 m×1 m×1 m的空間,前后左右四個面保持絕熱,上下兩個面分別保持恒溫,上面為高溫保持在400 K,下面為低溫保持在300 K;在被保護的隱形區域和熱斗篷外的區域的材料為銅.在常溫下銅的各項基本參數如下∶密度ρ=8960 kg/m3,導熱系數λ=400 W/(m·K),常壓熱容Cp=385 J/(kg·K).在熱斗篷區域,材料的導熱系數λ′由(6)式和(8)式計算得出.

3.1 共形熱斗篷

熱斗篷區域的形狀主要取決于內外邊界函數的選取, 當外邊界函數R2(θ′,φ′)與內邊界R1(θ′,φ′)的比值為常數, 且r=R1(θ′,φ′)全部區域都在r=R2(θ′,φ′) 內部時, 則此為共形熱斗篷.先取典型案例球體熱斗篷作為分析對象,假設內球半徑R1(θ′,φ′)=0.2 m, 外球半徑為R2(θ′,φ′)=2R1(θ′,φ′)=0.4 m.

圖1(a)—(c)為穩態球體熱斗篷的模擬結果.從圖1(a)和圖1(b)可以看出,未加熱斗篷時,所有等溫面保持平行,與熱流方向垂直.在加入熱斗篷后,進入熱斗篷之前所有的等溫面保持平行,與未加入斗篷的情況一樣.在進入熱斗篷區域后,等溫面開始發生變化從而影響整個溫度場的分布,當等溫面進入上半球殼熱斗篷時,由于球殼內不同位置導熱系數不同,越接近內球,徑向導熱系數越小,所以等溫面像一頂帽子扣在內球之上,而下半球殼熱斗篷情況與上半球殼正好對稱.內球并沒有任何熱流穿過,說明內球保護區域的溫度保持一致.當等溫面出了熱斗篷后,又恢復了平行狀態.圖1(c)為yoz平面上的熱流與等溫線分布圖.熱流從上到下均勻流動,在斗篷外側,等溫線間距大小一致,熱流密度處處相等.熱流能夠平滑地繞過內部的保護區域而對斗篷外部區域不產生任何影響,這與文獻[26]結論一致.由于內球保護區域目標的存在不會破壞斗篷外部的溫度場,同時外部熱流無法進入目標的區域,從上表面方向上無法發現目標的存在.因此,此球體熱斗篷具有較好的熱保護和熱隱身效果.

圖1 (網刊彩色)球體熱斗篷(a),(b)等溫面分布圖;(c)yoz平面的等溫線和熱通量分布Fig.1.(color online)Spherical thermal cloak:(a),(b)Distribution of isothermal surface;(c)isotherms and heatflux profile in the yoz plane.

圖2和圖3為三維橢球和共形三維任意形狀熱斗篷的仿真結果.橢球的球坐標方程為

共形三維任意形狀熱斗篷的仿真參數方程為

仿真時,R1(θ′,φ′)= R(θ′,φ′),R2(θ′,φ′)=1.5R1(θ′,φ′), 由圖3 的仿真結果可以看出, 該熱斗篷同樣具有熱保護和熱隱身雙重功能.

圖2 (網刊彩色)橢球熱斗篷 (a)三維空間溫度分布;(b)yoz平面的等溫線和熱通量分布Fig.2. (color online)Ellipsoidal thermal cloak:(a)Three-dimensional temperature distribution;(b)isotherms and heatflux profile in the yoz plane.

圖3 (網刊彩色)共形三維任意形狀熱斗篷 (a)三維空間溫度分布;(b)yoz平面的等溫線和熱通量分布Fig.3. (color online)Three-dimensional conformal thermal cloak with arbitrary shapes:(a)Threedimensional temperature distribution;(b)isotherms and heatflux profile in the yoz plane.

3.2 非共形熱斗篷

為了驗證方便,本文首先選取外邊界函數為球體,內邊界保護區域為橢球體.仿真時,球體半徑R2(θ′,φ′)=0.3 m, 橢圓的具體參數a=0.15 m,b=0.1 m,c=0.05 m.具體仿真結果如圖4所示.

圖4(a)和圖4(b)是球加橢球非共形熱斗篷的整個三維空間溫度分布以及yoz平面的熱擴散圖.球與橢球是實際工程中常見的幾何體,由圖可以看出,當熱流經過斗篷時發生彎曲,從而繞過了內橢球,在斗篷外恢復原傳遞方向.因此,該斗篷也同樣具有熱保護和熱隱身雙重功能.

圖5給出了非共形任意三維形狀熱斗篷的仿真結果. 當外邊界函數R2(θ′,φ′)與內邊界函數R1(θ′,φ′)比值不為常數,且內邊界所圍成的區域全部位于外邊界之內時,則此熱斗篷為非共形熱斗篷.仿真時將內外邊界參數設置如下∶

由圖5可以看出,內部保護區域沒有熱流流入,溫度保持不變,與外部熱流強度大小無關.

圖4 (網刊彩色)球加橢球非共形熱斗篷 (a)三維空間溫度分布;(b)yoz平面的等溫線和熱通量分布Fig.4. (color online)Non-conformal thermal cloak with the sphere outside the ellipsoid:(a)Threedimensional temperature distribution;(b)isotherms and heatflux profile in the yoz plane.

圖5 (網刊彩色)非共形三維任意形狀熱斗篷 (a)三維空間溫度分布;(b)yoz平面的等溫線和熱通量分布Fig.5.(color online)Three-dimensional non-conformal thermal cloak with arbitrary shapes:(a)Threedimensional temperature distribution;(b)isotherms and heatflux profile in the yoz plane.

4 結 論

根據變換熱力學的基礎理論,推導出了三維任意形狀熱斗篷的導熱系數通用表達式,在此基礎上設計了球體、橢球體、共形三維任意形狀熱斗篷、球加橢球以及非共形三維任意形狀熱斗篷,并通過有限元軟件Comsol Multiphysics進行全波仿真,結果驗證了本文所推導的三維任意形狀熱斗篷導熱系數的正確性.在這五個算例中,熱流均能在熱斗篷的引導下平滑地繞過保護區域,使得保護區域不受外部熱流的影響,從而起到了保護作用;同時,在熱斗篷之外的區域與原先的溫度場一樣,并沒有被保護區域的目標破壞,保持“隱形”的狀態.

相比于先前對二維任意形狀熱斗篷以及球體、橢球體等規則三維熱斗篷的研究,本文將變換熱力學應用到了三維任意形狀的熱斗篷中去,具有更好的普適性,更加貼近工程實際應用,同時也為目標的熱隱身和熱保護提供了一種有效途徑.

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PACS∶44.10.+I,05.70.—a,81.05.Xj,07.05.TpDOI∶10.7498/aps.66.104401

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11504426)and the National Defense Foundation of China(Grant No.1010502020202).

?Corresponding author.E-mail:yangli123123@126.com

Design and research of three-dimensional thermal cloak with arbitrary shape based on the transformation thermodynamics?

Xia GeYang Li?Kou WeiDu Yong-Cheng
(College of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

22 November 2016;revised manuscript

9 March 2017)

Based on the form-invariance of the thermal conduction equation different from wave equation,transformation thermodynamics has opened up a new area for the arbitrarily manipulating of heatfluxes at discretion by using thermal metamaterials.Moreover,it can help researchers to design different kinds of thermal devices with many unique properties that cannot be simply realized by natural materials,such as thermal cloaking,thermal concentrating,thermal rotating and thermal illusion.Among these devices,the conventional thermal cloak enabling heatfluxes to travel around the inner region,has attracted the most significant attention so far.At the present time,the studies of the thermal cloak mainly focus on two-dimensional space with arbitrary shape and three-dimensional space with regular shape,which appear to be far from enough to meet the engineering requirements.In this paper,we derive the general expression of the thermal conductivity for three-dimensional thermal cloak with arbitrary shape according to the transformation thermodynamics.In this paper,the thermal conductivity in the polar coordinate system is transformed into that in the Cartesian coordinate system by means of coordinate transformation.On the basis of the expression of the thermal conductivity,we adopt full-wave simulation by using the software COMSOL Multiphysics to analyze the cloaking performances offive designed thermal cloaks,i.e.,spherical thermal cloak,ellipsoidal thermal cloak,three-dimensional conformal thermal cloak with arbitrary shapes,non-conformal thermal cloak with the sphere outside the ellipsoid,and three-dimensional non-conformal thermal cloak with arbitrary shapes.The results show that the heatfluxes travel around the protection area,and eventually return to their original paths.The temperature profile inside the thermal cloak keeps unchanged,and the temperature field outside the thermal cloak is not distorted,which proves that the cloak has a perfect thermal invisible effect.Both the conformal and non-conformal thermal cloak have perfect thermal protection and invisible function.In this paper,the transformation thermodynamics is extended from two-dimensional thermal cloak to three-dimensional thermal cloak with better universality.At the same time,this technology provides morefl exibility in controlling heat flow and target temperature field,which will have potential applications in designing microchip,motor protection and target thermal stealth.It is believed that the method presented here can be applied to other branches of physics,such as acoustics,matter waves and elastic waves.

∶transformation thermodynamics,thermal cloak,three-dimensional arbitrary shape,temperature field

?國家自然科學基金(批準號:11504426)和國防預研基金(批準號:1010502020202)資助的課題.

?通信作者.E-mail:yangli123123@126.com

?2017中國物理學會Chinese Physical Society