摻雜硅納米梁諧振頻率的理論模型及分子動力學模擬?

馬霞 王靜

(新疆大學物理科學與技術學院,烏魯木齊 830046)

摻雜硅納米梁諧振頻率的理論模型及分子動力學模擬?

馬霞 王靜?

(新疆大學物理科學與技術學院,烏魯木齊 830046)

(2016年12月23日收到;2017年2月28日收到修改稿)

通過理論計算與模擬,研究分析了P元素替代摻雜單晶硅納米梁的諧振頻率.計算模擬了兩端固支單晶硅納米梁的諧振頻率隨尺寸、摻雜濃度與溫度的變化.通過對計算結果與模擬結果的分析得到∶單晶硅納米梁的諧振頻率隨著硅納米梁長度尺寸的增大而減小;硅納米梁的諧振頻率隨著摻雜濃度的增大而增大,但變化趨勢并不明顯;最后考慮了溫度效應,發現摻雜硅納米梁的諧振頻率隨著溫度的增大而減小,但從諧振頻率的數值來看,硅梁的諧振頻率隨溫度的變化趨勢并不明顯,即溫度對硅梁諧振頻率基本無影響.由此得出結論∶摻雜濃度與溫度對硅納米梁諧振頻率的影響很小,影響單晶硅納米梁諧振頻率的主要因素是尺寸大小,摻雜單晶硅納米梁的諧振頻率具有尺寸效應.

∶單晶硅納米梁,諧振頻率,摻雜,溫度

PACS∶61.72.uf,62.25.—g,81.40.JjDOI∶10.7498/aps.66.106103

1 引 言

隨著納機電系統(NEMS)的研究和發展,其在很多領域有了越來越多的應用,如超高精度傳感器[1]、超大規模傳感器[2?4]、開關[5]、高頻諧振器等[6].作為基礎結構的單晶硅納米梁,其力學性能如楊氏模量和諧振頻率的研究是非常重要的,受到了眾多研究人員的重視.

文獻[7]在2003年就已在實驗上測量得到了超薄硅懸臂梁的楊氏模量及諧振頻率的尺寸效應;基于Sun和Zhang[8]提出的計算簡單立方晶格楊氏模量的半連續模型,Bao等[9,10]研究了硅納米的載荷撓度與諧振頻率;2008年,Wang等[11]用半連續模型計算研究了溫度以及厚度對單晶硅納米薄膜楊氏模量的影響;2015年,呂煥玲和王靜[12]用基于Keating形變勢的半連續體模型研究了摻雜濃度與厚度對單晶硅納米薄膜的楊氏模量的影響.此外,一些研究人員用分子動力學方法研究了硅納米結構的力學特性,如Gong等[13]用分子動力學模擬研究了硅納米片的楊氏模量;Cao等[14]與Pishkenari小組[15]均用分子動力學方法模擬計算了硅納米線的諧振頻率,得到了諧振頻率的尺寸效應.2016年,呂煥玲和王靜[16]通過分子動力學模擬研究了300 K下摻雜濃度以及長度尺寸對摻雜硅納米梁諧振頻率的影響,發現摻雜濃度對硅納米梁諧振頻率的影響很小,而影響硅納米梁諧振頻率的主要因素是梁的尺寸.

無論是從基礎研究的角度,還是著眼于未來的器件應用,研究摻雜單晶硅納米結構的力學特性具有重要的意義.本文分別采用半連續模型與分子動力學方法計算模擬了摻雜濃度、尺寸以及溫度對[100]方向雙端固支單晶硅納米梁諧振頻率的影響.

2 基于半連續模型的摻雜硅納米梁諧振頻率的計算與分析

本文研究的是磷原子替代摻雜硅晶胞體對角線四分之一處的硅納米梁結構,摻雜磷原子的硅晶胞如圖1所示.

本文討論摻雜濃度分別為30×1020,15×1020,7.5×1020,3.75×1020cm?3,橫截面積S為16A×16A,長度尺寸L從40A到60A(長度尺寸變化間隔?L=4A,其中A為硅晶胞的晶格常數,A=5.432)的硅納米梁在不同溫度時的諧振頻率.

圖1 (網刊彩色)體對角線四分之一處摻雜磷元素硅晶胞示意圖Fig.1.(color online)Doping P atom at a quarter of body diagonalof the Silicon crystal cell.

2.1 諧振頻率的計算

微米及以上尺寸的材料主要采用基于長波假設的連續介質模型研究材料的物理性能,當材料的尺寸進入納米級時,納米尺度材料與宏觀尺度材料的結構相比,納米結構展現出了一些優異的力學效應.同時,連續介質模型已無法直接應用于納米結構中,需要建立一種連續介質模型與原子模型相結合的模型來研究納米尺度材料的物理性能.2003年,Sun和Zhang[8]從原子之間的相互作用力出發,建立了對簡單立方晶格的楊氏模量進行研究的一種理論方法——半連續模型.半連續模型在符合長波假設的方向仍然使用連續介質模型來研究,在納米尺寸方向從原子出發來研究.若研究對象為硅納米梁時,半連續模型考慮的厚度與寬度方向從原子出發研究,由于長度方向連續,所以仍用連續介質模型進行研究.

由半連續模型出發,文獻[12]得到在體對角線四分之一處替代摻雜P原子的硅晶胞的形變能UP與純硅晶胞的形變能USi,即

當溫度升高時,物體的熱運動就會加劇,隨之原子在平衡位置的振動幅度就會增大.由于原子在平衡位置兩側的受力本來就不對稱,且受力不對稱的這種情況隨著溫度的升高變得越來越顯著,從而導致相鄰原子之間的距離增加,晶體膨脹晶格常數增加.因此體系內原子與原子之間的鍵長發生變化,原子與原子之間的鍵長rij隨著溫度的增大而增大.由非諧Keating形變勢模型[17]可知kb為鍵長的冪函數,kθ為鍵長與鍵夾角的冪函數,即冪函數形式如下∶

假設硅納米梁的厚度方向與寬度方向均有N層硅晶胞,由于這兩個方向的不連續性,需要從晶胞中原子的厚度出發[19],那么硅納米梁的厚度與寬度均可表示為h=(4N+1)a.由于硅納米梁長度方向是連續的,利用長度方向的對稱性與周期性,可選擇長為一個晶胞,厚度與寬度與硅梁相同的結構作為一個計算單元,則硅納米梁計算單元的體積可表示為V=4(4N+1)2a3.當硅納米梁的摻雜濃度為α時,硅納米梁計算單元的形變能U可表示為

將(1)式與(2)式代入(4)式可得

那么硅納米梁計算單元的形變能密度u表示為

長度為L的單晶硅納米梁在振型w(x)和頻率為ω的條件下進行自由振動時,具有一定的瞬時撓度,梁的瞬時撓度公式可表示為下式[10]

其中w(x)為梁的撓度函數,且

其中w0為硅納米梁中點的最大撓度值.硅納米梁在振動過程中,不考慮其他能量耗散遵循機械能守恒,最大的動能Kmax表示為

將(6)式代入(10)式得到摻雜硅納米梁的應變勢能

根據機械能守恒可知WS=Kmax,即可得到下式∶

由諧振頻率f=ω/2π,可得到摻雜硅納米梁諧振頻率的解析式∶

由諧振頻率的解析式可以看出,硅梁的諧振頻率隨著長度尺寸的增大而減小,隨著鍵長的增大而減小,由于鍵長隨著溫度的增大而增大,即硅梁的諧振頻率隨著溫度的增大而減小.

2.2 計算結果與討論

當摻雜濃度為7.5×1020cm?3,橫截面積S=16A×16A時,不同長度硅梁的諧振頻率隨溫度的變化曲線如圖2所示,其中鍵長隨溫度的變化采用文獻[21]的結果.由圖可以看出,隨著溫度的增大,硅納米梁的諧振頻率逐漸減小,但是減小的趨勢不明顯,幾乎呈現的是一條平線,即溫度對硅納米梁的諧振頻率幾乎不影響.其次,從圖中還可以看出,隨著硅納米梁長度的增加,硅納米梁的諧振頻率減小,并且每個長度之間的諧振頻率的數值的間隔是逐漸減小的,也就是說,硅納米梁的諧振頻率隨著長度的增大而減小的趨勢并不是呈現線性減小,而是隨著長度的增大,硅納米梁的諧振頻率減小的趨勢逐漸減小,此結果與文獻[22]基于共振頻率表達式擬合的理論曲線趨勢是一致的.由振動頻率的求解式f=1/T(T為振動周期)可知,振動頻率與振動周期成反比關系,由于梁的長度越長,振動越慢,則振動的周期越大,周期越大時頻率越小,所以硅梁的諧振頻率隨著長度的增大而減小.

當長度L=60A,橫截面積S=16A×16A時,不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化曲線如圖3所示.

圖2 (網刊彩色)不同長度硅梁的諧振頻率隨溫度的變化Fig.2.(color online)The resonance frequency of the silicon nano-beam as a function of the temperature and the length.

圖3 (網刊彩色)不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化Fig.3.(color online)The resonance frequency of the silicon nano-beam as a function of the temperature and the doping concentration.

由圖3可知,當硅納米梁的長度以及橫截面積一定時,硅納米梁的諧振頻率隨著溫度的升高逐漸減小,但是從諧振頻率的數值來看,諧振頻率隨著溫度的增大減小的值非常小,減小的趨勢基本呈線性,此結果與文獻[23]所得結果的趨勢相同.當溫度與尺寸一定時,硅梁的諧振頻率隨著摻雜濃度的增大而增大,從圖3中可以看到,隨著摻雜濃度之間間隔的逐漸增大,不同摻雜濃度的諧振頻率之間的間隔也在逐漸增大.但從(0—7.5×1020— 15×1020cm?3)以及(0—15×1020—30×1020cm?3)這兩個等摻雜濃度間隔的序列,可以看出同一溫度且摻雜濃度間隔相同時諧振頻率的增量在減小.因此,諧振頻率與摻雜濃度并不是簡單的線性關系,這也與諧振頻率的解析(13)式所呈現的關系是一致的.

3 摻雜硅納米梁諧振頻率的分子動力學模擬

3.1 建立模型

分子動力學方法是一種計算機模擬實驗方法,是研究凝聚態系統的有力工具.該方法不僅可以得到原子的運動軌跡,還可以觀察到原子運動過程中的各種微觀細節,它是對理論計算和實驗的有力補充.本文應用計算機軟件Material Studio(MS)中的Forcite模塊通過分子動力學方法模擬分析了摻雜濃度、長度尺寸與溫度對單晶硅納米梁諧振頻率的影響.

圖4 (網刊彩色)(a)雙端固支硅納米梁;(b)結構優化后的硅探針結構與硅納米梁Fig.4.(color online)(a)A double-clamped Sinanobeam;(b)a silicon probe and a silicon nano beam after optimization.

分子動力學模擬的雙端固支單晶硅納米梁如圖4(a)所示.按照不同的濃度與不同長度尺寸對單晶硅納米梁進行摻雜建模,將建好的模型進行切割建立真空層,之后將一個由硅原子構建的探針形狀的結構放置在納米梁正上方并將其固定(硅探針結構也在真空層內),之后對硅納米梁進行結構優化,由于硅探針結構與納米梁之間存在范德瓦耳斯力,所以結構優化后硅納米梁發生彎曲如圖4(b)所示.由于優化后的硅納米梁是彎曲的,所以將硅探針結構去掉之后分子動力學模擬的硅納米梁做自由振動運動.在NVE系綜下用模擬軟件MS中的Forcite模塊對不同尺寸、不同溫度以及不同摻雜濃度的硅納米梁進行分子動力學模擬,模擬時間步長設為1 fs,模擬時間為50 ps.

3.2 模擬結果

本文采用分子動力學方法模擬研究了摻雜濃度分別為30×1020cm?3和7.5×1020cm?3,橫截面積S為16A×16A,長度尺寸L從40A到60A(長度尺寸變化間隔?L=4A)的硅納米梁在不同溫度下的諧振頻率.當硅納米梁的橫截面積S為16A×16A,通過對不同長度尺寸的單晶硅納米梁在不同溫度下進行分子動力學模擬,得到單晶硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化曲線,如圖5所示.

圖5 (網刊彩色)不同長度硅梁的諧振頻率隨溫度的變化Fig.5.(color online)The resonance frequency of the silicon nano-beam as a function of the temperature and the length.

由圖5可知,當摻雜濃度一定時,橫截面積為16A×16A的硅納米梁的諧振頻率隨著溫度的增大而減小,但減小的趨勢并不明顯,諧振頻率的值十分接近,說明溫度對單晶硅納米梁的諧振頻率的影響很小;當溫度一定時,硅納米梁的諧振頻率會隨著長度尺寸的增加而逐漸較小,并且減小的趨勢逐漸變緩,這個結果與文獻[15,24]使用分子動力學模擬的硅梁的諧振頻率隨長度尺寸的變化趨勢是一致的.文獻[16]通過分子動力學模擬研究了在溫度300 K,橫截面積為8A×8A,長度尺寸由12A到32A的硅納米梁的諧振頻率,也得到了相同的變化趨勢.通過分析長度尺寸與溫度對硅納米梁諧振頻率的影響可知∶長度尺寸對硅納米梁具有較大的影響,即摻雜單晶硅納米梁的諧振頻率與純單晶硅納米梁的諧振頻率一樣具有尺寸效應,溫度對硅納米梁的諧振頻率基本無影響.由于硅納米梁的表面存在許多懸掛鍵,但隨著梁尺寸的增大,梁的體表比不斷增大,表面的原子相對于內部原子所占比率不斷減小,內部原子的相互作用越來越明顯,即硅納米梁的諧振頻率會隨著尺寸的變化而變化.其次,硅納米梁的晶格常數隨著溫度的增大而增大[25],即硅納米梁的尺寸隨著溫度的增大而增大,所以諧振頻率隨著溫度的增大而減小.由此可知,溫度并不是影響諧振頻率的主要因素,而影響諧振頻率的主要因素是單晶硅納米梁的長度尺寸.

關于摻雜濃度對硅納米梁諧振頻率的影響,以摻雜濃度為7.5×1020cm?3和30×1020cm?3為例,對長度為60A,橫截面積為16A×16A的硅納米梁的諧振頻率隨溫度變化的模擬結果進行分析.

圖6 (網刊彩色)不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化Fig.6.(color online)The resonance frequency of the silicon nano-beam as a function of the temperature and the doping concentration.

圖6所示為不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化.當硅納米梁的尺寸一定時,不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的增大而減小,但從諧振頻率的數值看,減小的趨勢并不明顯;當溫度與尺寸一定時,硅納米梁的諧振頻率隨著摻雜濃度的增大而增大,同樣從諧振頻率的數值看,增大的趨勢并不明顯.由于磷原子替代摻雜在硅晶胞的體對角線四分之一處,而磷原子半徑與硅原子半徑相差十分微小,所以當硅晶胞中一個硅原子被磷原子替換后,硅晶胞的結構發生微小的變化,并且磷-硅相互作用與其尺寸有關,這都會對分子動力學模擬的硅納米梁的振動周期有影響,進而影響其諧振頻率.當摻雜濃度增大時,磷-硅相互作用數量增加,甚至還存在磷-磷相互作用,所以摻雜濃度會影響諧振頻率.

3.3 理論計算模型與分子動力模擬結果的比較

通過對硅納米梁諧振頻率的理論計算與模擬結果的分析,發現半連續模型的計算結果比分子動力學模擬結果稍大,如圖7所示,理論計算與模擬的硅納米梁諧振頻率的趨勢是一致的.

圖7 (網刊彩色)半連續模型與分子動力學模擬結果的比較Fig.7.(color online)Comparison of the results of the semi-continuous model and molecular dynamics simulation.

由圖7可知,隨著硅納米梁長度尺寸的增大,理論計算結果與模擬結果的差值逐漸減小,當長度為40A,摻雜濃度與溫度一定時,硅納米梁諧振頻率的理論計算值與模擬值相差0.22602×1012Hz,當長度為60A時,諧振頻率的計算與模擬的差值減小到0.06325×1012Hz.對硅納米梁諧振頻率進行理論計算時比較理想化,只考慮了晶胞內原子之間的相互作用.由于表面效應對硅納米梁諧振頻率具有影響,所以分子動力學模擬相對于理論計算并不是理想化的.當硅梁的尺寸較小時,體表比較小,表面效應相對于內部原子相互作用對硅梁諧振頻率的影響更大,當尺寸較大時,體表比相對較大,內部原子相互作用大于表面效應,所以隨著梁尺寸的增大,硅納米梁的計算值與模擬值的差越來越小.從圖7可以看出,溫度對硅納米梁的諧振頻率基本無影響,而主要影響硅納米梁諧振頻率的是尺寸因素.

4 結 論

本文主要通過半連續模型與分子動力學模擬方法,研究分析了P元素在硅晶胞體對角線四分之一處替代摻雜的硅納米梁的諧振頻率,計算模擬了兩端固支硅納米梁的諧振頻率隨摻雜濃度、尺寸與溫度的變化.結果表明∶當摻雜濃度與溫度一定時,硅納米梁的諧振頻率隨著長度尺寸的增大而減小,且隨著長度尺寸的增大,諧振頻率減小的趨勢逐漸減小;當硅納米梁的尺寸一定時,硅納米梁的諧振頻率隨著摻雜濃度的增大而增大,但變化趨勢并不明顯,基本不影響硅納米梁的諧振頻率;當硅納米梁的尺寸與摻雜濃度一定時,發現摻雜硅納米梁的諧振頻率隨著溫度的增大而減小,但變化趨勢并不明顯,溫度對硅梁諧振頻率基本無影響.由此得出摻雜濃度與溫度對硅納米梁諧振頻率的影響很小,而影響單晶硅納米梁諧振頻率的主要因素是尺寸大小,即摻雜硅納米梁的諧振頻率與純硅納米梁的諧振頻率一樣,具有尺寸效應.本文研究結果對未來納米材料的研究與應用具有一定的參考價值.

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PACS∶61.72.uf,62.25.—g,81.40.JjDOI∶10.7498/aps.66.106103

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11064014).

?Corresponding author.E-mail:wjxju@163.com

Study on resonance frequency of doping silicon nano-beam by theoretical model and molecular dynamics simulation?

Ma Xia Wang Jing?
(College of Physical Science and Technology,Xinjiang University,Urumqi 830046,China)

23 December 2016;revised manuscript

28 February 2017)

With the rapid development of nanoelectromechanical system technologies,silicon nanostructures have attracted considerable attention for the remarkable mechanical properties.A number of studies have been made on the mechanical properties through theoretical analysis,atomistic or molecular dynamics and experiments.In this paper,the resonance frequency of the doping silicon nano-beam is investigated by a theoretical model based the semi-continuum approach to achieve the goalof accurately capturing the atomistic physics and retaining the efficiency of continuum model.The temperature dependence of the resonance frequency of the nanostructure is important for application design,which is considered by the Keating anharmonic modelused to describe the strain energy atfinite temperature.The resonance frequencies are also simulated by the molecular dynamics at different temperatures.The studies indicate that the resonance frequency of the P doped silicon nano-beam is influenced by the size,the doping concentration and the temperature.The results show that the resonant frequency decreases with the increase of the length of the beam,and increases with the increase of the doping concentration of the silicon nano-beam.The resonant frequency of silicon nano-beam decreases with the increase of temperature,but the changes of the resonant frequency is not obvious.The doping concentration has a little effect on the resonance frequency of the silicon nano-beam.The conclusion can be drawn that neither the effect of doping concentration nor the effect of temperature on resonant frequency of the silicon nano-beam is obvious,the size is a major factor influencing the resonance frequency of the silicon nano-beam.

∶silicon nano-beam,resonance frequency,doping,temperature

?國家自然科學基金(批準號:11064014)資助的課題.

?通信作者.E-mail:wjxju@163.com

?2017中國物理學會Chinese Physical Society