新型負(fù)模量聲學(xué)超結(jié)構(gòu)的低頻寬帶機(jī)理研究

張永燕 吳九匯 鐘宏民

1)(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)2)(四川理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,自貢 643000)

新型負(fù)模量聲學(xué)超結(jié)構(gòu)的低頻寬帶機(jī)理研究

張永燕1)2)吳九匯1)?鐘宏民2)

1)(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)2)(四川理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,自貢 643000)

(2016年12月12日收到;2017年2月13日收到修改稿)

提出了一種具有負(fù)模量特性的新型聲學(xué)超結(jié)構(gòu),并揭示了其低頻帶隙的形成及拓寬機(jī)理.通過(guò)理論推導(dǎo)給出了該新型結(jié)構(gòu)的歸一化有效模量表達(dá)式,由于有效模量的零值點(diǎn)與系統(tǒng)參數(shù)密切相關(guān),可以調(diào)節(jié)合適的參數(shù)使得零值點(diǎn)降低或帶隙下界降低,進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)低頻帶隙.理論結(jié)果表明,在一定的頻率范圍內(nèi),系統(tǒng)的彈性模量為負(fù)且負(fù)模量區(qū)域進(jìn)一步拓寬,從而通過(guò)負(fù)模量區(qū)域的放大而拓寬帶隙.這種新的實(shí)現(xiàn)低頻帶隙的方法克服了傳統(tǒng)局域共振附加質(zhì)量過(guò)大及慣性放大結(jié)構(gòu)帶隙較窄的缺點(diǎn).同時(shí),通過(guò)有限元法得到的周期結(jié)構(gòu)的傳輸率隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化趨勢(shì)與理論分析的變化趨勢(shì)基本一致,并得到了約40—180 Hz的低頻寬帶.這種實(shí)現(xiàn)低頻帶隙的新思路對(duì)低頻聲波的控制具有很重要的理論指導(dǎo)意義.

負(fù)模量,聲學(xué)超材料,低頻寬帶

1 引 言

在許多工程問題中,低頻聲波抑制一直是個(gè)難題.在這方面,已有很多研究工作［1?7],但是對(duì)低頻聲波的抑制仍然沒有較好的方法.近年來(lái),隨著聲子晶體和聲學(xué)超材料的發(fā)展,很多學(xué)者在這方面進(jìn)行了研究.最初從聲子晶體Bragg散射機(jī)理來(lái)抑制聲波傳輸,但是Bragg散射只能抑制高頻,對(duì)低頻聲波的抑制沒有較好的辦法.后來(lái),很多學(xué)者試圖找到相應(yīng)的左手聲學(xué)超材料,即同時(shí)具有負(fù)質(zhì)量密度和負(fù)彈性模量的材料.然而,并沒有天然材料具有負(fù)質(zhì)量密度或負(fù)模量特性.因此,一些學(xué)者采用人造微結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)負(fù)質(zhì)量密度的表觀效應(yīng)［8?14]或者使用機(jī)械共振器“微結(jié)構(gòu)”來(lái)形成聲學(xué)超材料,并基于此提出了局域共振聲子晶體的機(jī)理［15].為了控制低頻聲波,我們課題組基于局域共振聲學(xué)超材料也做了不少工作,如張思文和吳九匯［16]提出了螺旋局域共振梁,但是對(duì)低頻聲波抑制效果仍然不理想.盡管對(duì)局域共振聲學(xué)超材料的研究很多,并且聲學(xué)超材料可以較好地控制聲波傳輸,但是傳統(tǒng)局域共振超材料仍存在一系列問題［17,18]:一方面,低頻帶隙較窄,為了拓寬低頻帶隙,一些學(xué)者通過(guò)對(duì)聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行梯度設(shè)計(jì)［19],在低頻段實(shí)現(xiàn)了帶隙拓寬;另一方面,傳統(tǒng)局域共振結(jié)構(gòu)往往存在附加質(zhì)量過(guò)大的問題,針對(duì)這一問題,文獻(xiàn)[20—22]提出了一種質(zhì)量放大結(jié)構(gòu),并對(duì)其能帶特性進(jìn)行了分析,結(jié)果表明質(zhì)量放大結(jié)構(gòu)可以通過(guò)較小的附加質(zhì)量實(shí)現(xiàn)低頻帶隙.總之,上述研究在某種程度上對(duì)實(shí)現(xiàn)低頻帶隙有一定的效果,但是利用梯度法拓寬低頻帶隙往往結(jié)構(gòu)較大.同時(shí),質(zhì)量放大結(jié)構(gòu)盡管可以實(shí)現(xiàn)共振頻率降低,但低頻帶隙非常窄.如何很好地實(shí)現(xiàn)并進(jìn)一步拓寬低頻帶隙,這個(gè)問題在以往的研究中并沒能夠很好地解決,仍然是個(gè)難題,也是迫切需要解決的問題.故探討新的實(shí)現(xiàn)低頻寬帶的方法以及新的聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)是非常必要的.

因此,基于實(shí)現(xiàn)低頻寬帶這一難題,本文借鑒慣性放大結(jié)構(gòu)提出了一種新型聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu),通過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)計(jì)使該系統(tǒng)在一定的頻率范圍內(nèi)彈性模量為負(fù),且負(fù)模量區(qū)域隨著控制參數(shù)的變化而被拓寬,帶隙的起始位置隨著降低,這種實(shí)現(xiàn)、拓寬低頻帶隙的方法克服了通過(guò)慣性放大或者傳統(tǒng)方法增加附加質(zhì)量來(lái)降低共振頻率的不足之處.與此同時(shí),本文對(duì)低頻帶隙的形成及拓寬機(jī)理進(jìn)行了深入分析.研究?jī)?nèi)容安排如下:第2部分探討具有負(fù)模量特性的新型聲學(xué)超結(jié)構(gòu)及寬帶機(jī)理;第3部分是數(shù)值仿真及討論;第4部分是結(jié)論.

2 具有負(fù)模量特性的新型聲學(xué)超結(jié)構(gòu)及寬帶隙機(jī)理

2.1新型結(jié)構(gòu)單元負(fù)模量特性及寬帶機(jī)理分析

為了更好地解決實(shí)現(xiàn)低頻寬帶這一難題,借鑒質(zhì)量放大結(jié)構(gòu)［20?22],本文提出了如圖1所示的新型聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu),三角形三邊視為無(wú)質(zhì)量彈簧,三個(gè)端點(diǎn)為集中質(zhì)量.其中,水平方向兩端點(diǎn)質(zhì)量設(shè)為m,垂直方向上點(diǎn)質(zhì)量設(shè)為m2,水平邊彈簧剛度為k.這里假設(shè)斜邊彈簧為剛性,當(dāng)兩個(gè)水平質(zhì)點(diǎn)m產(chǎn)生相向位移u時(shí),本文只考慮位移很小的情況.

圖1 具有負(fù)模量特性的新型結(jié)構(gòu)單元Fig.1.A new type of structural element with negative modulus.

根據(jù)x方向上由諧振力F作用引起的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,則系統(tǒng)在x方向上的運(yùn)動(dòng)方程為

在上述方程中,考慮諧波激振力F=Aeiωt,其中A諧波激振力的振幅,ω是激振頻率.假設(shè)位移很小時(shí),則有

如圖1所示的橫截面積為A的一維連續(xù)彈性固體,則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系定義為

從方程(6)可以看出,該系統(tǒng)的歸一化有效模量與該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān):1)當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率等于局部諧振頻率時(shí),即η=1時(shí),有效模量的值達(dá)到無(wú)窮大,且是無(wú)界的,即當(dāng)時(shí),有效模量的值接近無(wú)窮大;2)當(dāng)有效模量的值等于零,這時(shí)其對(duì)應(yīng)頻率

由此可見,對(duì)于η＜1時(shí),在ω0和ω?之間的任意一個(gè)頻率值對(duì)應(yīng)的有效模量值都為負(fù).眾所周知,負(fù)模量區(qū)域即對(duì)應(yīng)帶隙的頻率范圍,那么帶隙的頻率范圍即在ω0和ω?之間.也就是說(shuō),等效模量零值點(diǎn)與系統(tǒng)共振點(diǎn)(Eeff/E0→ ∞或者ω/ω0=1)之間的距離即為帶隙的寬度,且等效模量的零值點(diǎn)為帶隙起始點(diǎn),即帶隙下界頻率起始點(diǎn)為ω?.從方程(7)我們可以看到帶隙下界的起始點(diǎn)ω?與這個(gè)新型聲學(xué)超結(jié)構(gòu)的剛度比δ成正比關(guān)系,與結(jié)構(gòu)參數(shù)D(μ=L/D)成反比關(guān)系.為了達(dá)到低頻效果,我們可以調(diào)節(jié)這兩個(gè)參數(shù)使得等效模量的零值點(diǎn)降低即帶隙下界降低,這樣等效模量的零值點(diǎn)與共振點(diǎn)之間的距離也增大了,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)并拓寬了低頻帶隙.

根據(jù)我們得出的結(jié)論:1)負(fù)模量區(qū)域即對(duì)應(yīng)帶隙的頻率范圍,即在ω0和ω?之間;2)等效模量的零值點(diǎn)與共振點(diǎn)(ω/ω0=1或Eeff/E0→ ∞)之間的距離即為帶隙的寬度;3)等效模量的零點(diǎn)值ω?即帶隙起始點(diǎn),其與剛度比δ成正比關(guān)系,而與結(jié)構(gòu)參數(shù)D(μ=L/D)成反比關(guān)系.圖2和圖3描述了方程(6)所示的新型結(jié)構(gòu)單元的負(fù)模量區(qū)域隨著這兩個(gè)控制參數(shù)的變化趨勢(shì).如圖2所示,當(dāng)D=6 mm時(shí),帶隙起始點(diǎn)ω?約為0.8,負(fù)模量區(qū)域?qū)?yīng)的無(wú)綱量頻率范圍為0.8—1;當(dāng)D=15 mm時(shí),帶隙起始點(diǎn)ω?約為0.6,負(fù)模量區(qū)域?qū)?yīng)的無(wú)綱量頻率范圍約為0.6—1.顯然,隨著參數(shù)D從6 mm增加到15 mm時(shí),負(fù)模量零值點(diǎn)由0.8降到了0.6,即帶隙的下界降低了,系統(tǒng)的負(fù)模量區(qū)域被放大了兩倍多.也就是說(shuō)系統(tǒng)的有效模量零值點(diǎn)(ω?)與共振點(diǎn)(ω/ω0=1)之間的距離被放大了兩倍多,即帶隙被拓寬了兩倍多.與此同時(shí),如圖3所示,當(dāng)剛度比δ=0.8時(shí),帶隙起始點(diǎn)ω?約為0.6,負(fù)模量區(qū)域?yàn)?.6—1;當(dāng)δ=3時(shí),帶隙起始點(diǎn)ω?約為0.85,負(fù)模量區(qū)域?yàn)?.85—1.很顯然,在圖2和圖3中,隨著控制參數(shù)的變化,帶隙的下界都降低了,負(fù)模量區(qū)域都被拓寬了,即系統(tǒng)有效模量的零值點(diǎn)(ω?)與共振點(diǎn)(ω/ω0=1)之間的距離都增大了,也就是低頻帶隙被拓寬了.

因此,這種新的拓寬低頻帶隙的方法,即通過(guò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的負(fù)模量區(qū)域放大及帶隙起始位置的降低,從而實(shí)現(xiàn)和拓寬低頻帶隙,其克服了傳統(tǒng)梯度法［17]擴(kuò)大帶隙及慣性放大結(jié)構(gòu)［18?20]等實(shí)現(xiàn)低頻帶隙的不足之處.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)當(dāng)剛度比δ=1時(shí),負(fù)模量區(qū)域隨控制參數(shù)D的變化Fig.2.(color online)The variation of the region of negative modulus with the control parameter D for the sti ff ness ratio δ of 1.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)當(dāng)D=12 mm時(shí),負(fù)模量區(qū)域隨系統(tǒng)剛度比的變化Fig.3.(color online)The variation of the region of negative modulus with the sti ff ness ratio δ for the control parameter D of 12 mm.

2.2新型超材料周期結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系分析

基于上述分析得出的理論思想:系統(tǒng)共振點(diǎn)(Eeff/E0→∞)與系統(tǒng)等效模量零值點(diǎn)(Eeff/E0=0)之間的距離為帶隙的寬度,且等效模量的零值點(diǎn)(Eeff/E0=0)為帶隙的起始位置,其與系統(tǒng)剛度比δ成正比關(guān)系,而與結(jié)構(gòu)參D成反比關(guān)系.針對(duì)如圖1所示的新型單元結(jié)構(gòu),構(gòu)建新型聲學(xué)超材料周期結(jié)構(gòu)如圖4所示.該一維模型中的基體由m1表示,則第j個(gè)單元的運(yùn)動(dòng)方程

圖4 新型結(jié)構(gòu)單元的周期結(jié)構(gòu)Fig.4.Periodic structure of new-type structure unit.

將諧波運(yùn)動(dòng)方程代入方程(8)和(9)中,可得該周期結(jié)構(gòu)的色散方程如下:

其中,θ=m2/m1為質(zhì)量比,ξ=qL為無(wú)量綱波數(shù).

圖5描述了方程(10)的色散曲線.從圖5(a)可以清晰地看到,D=20 mm時(shí)的帶隙下界較D=8 mm的帶隙下界下降了很多,這與我們2.1節(jié)得出的結(jié)論(帶隙下界位置與參數(shù)D成反比關(guān)系)相符合,同時(shí)帶寬被拓寬了兩倍多.與此同時(shí),從圖5(b)可以很清楚地看到剛度比為1時(shí)的帶隙下界較剛度比為3時(shí)的帶隙下界也降低了,并且?guī)捯脖煌貙捔藘杀抖?總之,隨著控制參數(shù)的變化,帶隙下界都降低了,低頻帶隙都被拓寬了,這與上述分析結(jié)果一致.

圖5 由方程(10)得到的新型周期結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系(a)色散關(guān)系隨著參數(shù)D的變化;(b)色散關(guān)系隨著剛度比δ的變化Fig.5.The dispersion relation of the novel periodic structure obtained by Eq.(10):(a)The variation of the dispersion relation with the parameter D;(b)the variation of the dispersion relation with the sti ff ness ratio with δ.

3 數(shù)值仿真與討論

我們?cè)O(shè)計(jì)了如圖6所示的具有負(fù)楊氏模量的聲學(xué)超材料,該設(shè)計(jì)采用嵌入如圖1所示的微結(jié)構(gòu)的主體材料形式,彈簧k1在此表示基體材料的剛度.定義x及y方向上均為周期性邊界,選取如表1所列的數(shù)據(jù),利用有限元法得到了如圖7所示的無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的色散曲線.很顯然,數(shù)值仿真結(jié)果和理論結(jié)果基本符合.

為了進(jìn)一步分析聲波在有限周期結(jié)構(gòu)中的傳輸率,我們構(gòu)建了如圖8所示的具有負(fù)楊氏模量的有限周期聲學(xué)超材料,針對(duì)x方向上5個(gè)新型單元超材料周期結(jié)構(gòu),在左端施加x方向諧波激勵(lì)力,x方向的位移分別在點(diǎn)A和B處測(cè)量.選取如表1所列的數(shù)據(jù),并用COMSOL 4.3b對(duì)5個(gè)新型超材料周期結(jié)構(gòu)的透射率進(jìn)行了計(jì)算.如圖9所示,當(dāng)D=8 mm時(shí),聲波在0—20 Hz的頻率范圍內(nèi)基本都形成了透射峰A,只有在約40—100 Hz頻率及100—180 Hz段各形成一條帶隙;當(dāng)D=20 mm時(shí),很顯然,低頻的透射峰A下降變?yōu)閹?形成了20—200 Hz整個(gè)頻段的寬帶隙,這說(shuō)明帶隙隨著參數(shù)D的增大,帶隙邊界逐漸下降且被拓寬了.同時(shí),圖10描述了這個(gè)新型超材料有限周期結(jié)構(gòu)的透射率隨著系統(tǒng)剛度比的變化趨勢(shì).隨著系統(tǒng)剛度比的減小,在約90—140 Hz頻段內(nèi)的透射峰都大幅度下降而形成帶隙,并在40 Hz以下及40—200 Hz的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生了低頻帶隙.很顯然,通過(guò)有限元方法計(jì)算的周期結(jié)構(gòu)的透射率變化趨勢(shì)和第2部分的理論分析結(jié)果高度符合,即帶隙的寬度隨著剛度比的減小或者隨著系統(tǒng)參數(shù)D的增大而被拓寬.

表1 材料參數(shù)Table 1.The parameters of materials.

圖6 具有負(fù)楊氏模量的新型超材料無(wú)限周期結(jié)構(gòu)Fig.6.In fi nite periodic structure of novel metamaterials with negative modulus.

圖7 理論結(jié)果和有限元結(jié)果的比較Fig.7.Comparison of theoretical results and fi nite element results.

圖8 具有負(fù)楊氏模量的新型超材料有限周期結(jié)構(gòu)Fig.8.Finite periodic structure of novel metamaterial with negative modulus.

圖9 (網(wǎng)刊彩色)5個(gè)周期結(jié)構(gòu)的透射率,其中,實(shí)心圓點(diǎn)線段為D=8 mm,空心圓點(diǎn)線段為D=20 mmFig.9.(color online)The transmittance of the fi ve periodic structures:the solid dotted line for D=8 mm and the hollow dotted line for D=20 mm.

圖10 (網(wǎng)刊彩色)5個(gè)周期結(jié)構(gòu)的透射率,其中,空心圓點(diǎn)線段對(duì)應(yīng)剛度比大于1,實(shí)心圓點(diǎn)線段對(duì)應(yīng)剛度比為1 Fig.10.(color online)The transmittance of the fi ve periodic structures:the hollow dotted line for the sti ffness ratio greater than 1 and the solid dotted line for the sti ff ness ratio of 1.

4 結(jié) 論

本文對(duì)一類新型聲學(xué)超結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入分析,該結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)并拓寬低頻帶隙,并得出了一些新結(jié)論.

1)該結(jié)構(gòu)的歸一化有效模量與結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān),通過(guò)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)可以使系統(tǒng)的彈性模量在一定的頻率范圍內(nèi)為負(fù)且負(fù)模量區(qū)域與帶隙的形成直接相關(guān)聯(lián):a)負(fù)模量區(qū)域即對(duì)應(yīng)帶隙的頻率范圍,即在ω0和ω?之間;b)等效模量的零值點(diǎn)或Eeff/E0=0)與共振點(diǎn)(ω/ω0=1或Eeff/E0→ ∞)之間的距離即為帶隙的寬度;c)等效模量的零點(diǎn)值ω?即帶隙起始點(diǎn)與剛度比δ成正比關(guān)系,而與D(μ=L/D)成反比關(guān)系.這樣,我們只要調(diào)節(jié)合適的參數(shù)使得負(fù)模量的零值點(diǎn)降低,便可以實(shí)現(xiàn)低頻帶隙的拓寬,達(dá)到低頻效果.

2)數(shù)值仿真結(jié)果表明,當(dāng)D從8 mm增大到20 mm時(shí),帶隙被拓寬兩倍且?guī)断陆缃档土嗽S多,產(chǎn)生了低頻大寬帶;當(dāng)剛度比減小時(shí),帶隙同樣被拓寬了,并且?guī)断陆缦陆盗嗽S多,實(shí)現(xiàn)了低頻帶隙.另外,通過(guò)有限元方法計(jì)算周期結(jié)構(gòu)的傳輸率與理論分析結(jié)果高度符合,并在40 Hz以下的頻率段形成了較低頻帶隙及在40—180 Hz頻率范圍內(nèi)形成了低頻大寬帶.

這種實(shí)現(xiàn)低頻寬帶的機(jī)理為低頻聲波控制奠定了一定的理論基礎(chǔ),且所提出的新型聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu),為獲得低頻、超低頻帶隙提供了一種有效的方法,在低頻減振降噪方面有潛在的應(yīng)用前景.

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PACS:43.20.+g,43.40.+s,62.25.JkDOI:10.7498/aps.66.094301

Low-frequency wide-band mechanism of a new type acoustic metamaterial with negative modulus

Zhang Yong-Yan1)2)Wu Jiu-Hui1)?Zhong Hong-Min2)

1)(School of Mechanical Engineering and State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China)2)(School of Mechanical Engineering,Sichuan University of Science and Engineering,Zigong 643000,China)

12 December 2016;revised manuscript

13 February 2017)

In this paper,a new type of acoustic metamaterial with negative modulus is proposed,and the formation and broadening mechanism of the low frequency bandgap are revealed.The expression of the normalized e ff ective modulus of the structure is derived theoretically.Since the zero value of the e ff ective modulus is closely related to the system parameters,the appropriate parameters can be adjusted to reduce the zero point,and the lower bound of the bandgap is reduced,thus the low-frequency bandgap is realized.The theoretical results show that the elastic modulus of the system is negative and the region of the negative modulus is widened in a certain frequency range,therefore,the widening of the bandgap can be realized through the enlargement of the negative modulus region.This new mechanism for achieving low-frequency bandgap overcomes the shortcomings both in the traditional local resonance with too large additional mass,and in the inertial ampli fi cation structures with narrow bandgaps.At the same time,the transmission of this periodic structure obtained by the fi nite element method is highly consistent with that by the theoretical analysis,with a low-frequency band of 40–180 Hz,from which the new mechanism presented here is veri fi ed.This new idea of achieving low-frequency bandgap is of great theoretical signi fi cance for controlling low-frequency sound waves.

negative modulus,acoustic metamaterial,low-frequency broadband

10.7498/aps.66.094301

?通信作者.E-mail:ejhwu@mail.xjtu.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:ejhwu@mail.xjtu.edu.cn