黏性流體中超細長彈性桿的動力學不穩定性?

王鵬薛紜 樓智美

1)(濟南大學土木建筑學院,濟南 250022)2)(上海應用技術大學機械工程學院,上海 201418)3)(紹興文理學院物理系,紹興 312000)

黏性流體中超細長彈性桿的動力學不穩定性?

王鵬1)?薛紜2)樓智美3)

1)(濟南大學土木建筑學院,濟南 250022)2)(上海應用技術大學機械工程學院,上海 201418)3)(紹興文理學院物理系,紹興 312000)

(2016年11月14日收到;2016年12月18日收到修改稿)

基于坐標基矢攝動的方法研究了黏性流體中超細長彈性桿動力學穩定性判據與失穩后的模態選擇,推導出了黏性介質中超細長彈性桿Kircho ff動力學方程的一階攝動表示,即線性的二階偏微分方程組.以平面扭轉DNA環為例,說明了以上結果的應用,得到了平面扭轉DNA環的穩定性判據及其穩定的臨界區域,討論了其失穩后的模態選擇及黏性阻力對其的影響.

超細長彈性桿,攝動方法,黏性流體,不穩定性

1 引 言

基于Kirchho ff彈性桿理論,Behanm［1]和Le Bret［2]建立了DNA彈性桿模型,可用于描述DNA鏈的幾何形態和運動,并能與實驗觀測的結果相符合［3,4].關于DNA彈性桿力學模型的研究已取得很多重要成果［3?9].特別是隨著單分子操縱技術的發展,為DNA力學的研究提供了更多的實驗依據［10].

關于DNA分子模型為背景的超細長彈性桿穩定的研究已有很多工作［9,11?16].通常情況下,把Kirchho ff方程化為歐拉角表示的方程,分析靜力學方程或動力學方程解的穩定性,或者通過引入擾動量研究平衡解的李雅普諾夫穩定性.但是基于以上方法實際并不能得出一致的攝動格式［17].文獻[18]基于坐標基攝動給出了細長桿的一類新振幅方程,克服了周期性邊界條件不連續的問題,從而無需借助歐拉角或者Lagrange方程,直接對彈性桿動力學方程進行攝動展開討論其動力學特性,此方法下保持了桿的弧長不變.并用于研究生物的生長問題［19].

在低雷諾數下,黏性阻力和阻力矩對細胞內DNA的運動的影響將不可忽略.Klapper［20]利用數值方法討論扭轉彈性桿動力學及生物學應用.Goldstein等［21,22]研究了扭轉和旋轉作用下細菌纖維的黏性動力學問題,但都未對穩定性進行分析.Liu和Sheng［23]討論了黏性介質中螺旋桿的振動與穩定性問題,但不能預測彈性桿失穩后的動力學行為.文獻[17]雖然分析了纖維的動力學穩定性,卻未考慮黏性項的影響.在DNA復制及轉錄或者生物生長過程中,黏性項對其動力學穩定性的影響引起關注［21,22],然而很少有文獻涉及對其穩定性的分析,故而有必要對黏性作用下超細長彈性桿動力學的穩定性進行分析.

本文利用新的攝動方法,研究黏性流體中超細長彈性桿模型的動力學不穩定性,并以受扭轉作用的封閉DNA微環為例說明結果的應用.本文采用不考慮軸向拉伸的Kirchho ff模型.本文第2部分簡單介紹新的攝動格式;第3部分給出黏性流體中超細長彈性桿動力學方程的建立過程,并給出其無量綱形式;第4部分給出黏性流體中超細長彈性桿動力學方程的一階攝動形式;第5部分將以上結果應用于分析黏性流體中平面扭轉DNA環的穩定性與失穩模態選擇;最后是總結.

2 攝動格式簡介[18]

坐標基攝動展開的主要思想是對主軸坐標基進行任意階攝動后仍滿足正交性,即對任意階攝動εn,滿足ei.ej=δij.以一階攝動基矢為例,可表示為

其中Aij為反對稱矩陣元.將基矢量攝動展開,并利用正交條件,很容易證明上式.矩陣A的形式可以表示為

其中α為零階任意矢量.則單位基矢量的一階攝動展開又可以表示為

可以證明(1)式與(3)式是等價的.展開(3)式中的一階攝動項,得到

證畢.以上形式可以推廣到任意階形式.

3 動力學模型

3.1動力學方程

我們采用彈性桿的Kircho ff動力學模型.以F,M表示彈性桿截面受到的內力主矢和內力主矩.根據流體中細長體的阻力理論［24],只需考慮局域黏性阻尼,此時與桿的運動速度有關,以f,m表示黏性阻力和黏性阻力矩,其表達式為

其中ei(i=1,2,3)表示主軸坐標系各軸基矢量,e3e3為并矢;v=?r/?t代表桿截面運動速度;c⊥,c//分別為徑向和切向的介質阻力系數,cR為介質阻尼力矩系數［21,24];?為桿截面的角速度.考慮黏性作用后,根據動量與動量矩平衡,我們得到

方程(7)描述了桿截面在黏性流體中的運動,其中ρ,A分別為桿的密度和桿截面面積;J是單位長度桿的慣性張量,其在截面主軸坐標系(P-xyz)中的投影矩陣以繞x,y,z軸的單位長度轉動慣量Ji(i=1,2,3)為元素.

3.2坐標基表示

其中,.表示對時間求一階偏導數,.表示對時間求二階偏導數;ω為桿截面的彎扭度.將(9)式代入方程(7),并將方程(7a)兩邊同時求關于弧坐標的偏導數,我們得到方程(7)用主軸坐標基矢表示的形式:

以上方程還不能完全確定超細長彈性桿的運動,為此需補充線彈性本構方程

3.3無量綱式

我們將所有的量按以下關系進行重新標度,

其中σ為彈性桿的泊松比.

4 一階攝動方程

對方程(13a)的坐標基矢做一階攝動展開,令相同階冪次的項系數為零,忽略二階以上項,得到零階運動方程為

其中′′表示對弧坐標求二階偏導.若彈性桿處于平衡態,則(16)式化為

一階攝動運動方程為

將(18)式用零階坐標基表示為

在(19)式推導中我們利用了?(1)=,?(0)=0.將(19)式寫為分量形式,得到

將方程(13b)按坐標基攝動展開為一階攝動形式,得到

將本構方程(14)做攝動展開,得到一階攝動形式為

彎扭度按坐標基攝動展開的一階形式為

把(26)式代入(25)式得

把(27)式代入(24)式,直接計算得到動量矩平衡方程的一階攝動項在零階各坐標軸的分量形式

方程(20)—(22),(28)—(30)構成了黏性流體中超細長Kircho ff彈性桿的動力學變分方程.方程的解決定了彈性桿的穩定性.為了更明顯地看出其線性性質,我們可以將以上方程寫為以矩陣表示的二階偏微分方程組:

5 應 用

5.1穩定性

閉合的超細長彈性桿受到扭轉作用可形成DNA超螺旋結構［3].我們將DNA微環［25]看作受到扭轉作用的超細長彈性桿,其彈性模量等力學參數可由實驗獲得［26,27],實驗中測得的DNA環抗扭剛度系數和抗彎剛度系數之比在0.5≤Γ≤1.5范圍內［28],研究在此典型比值下彈性環的穩定性判據.其靜態解為

其中k為平面DNA環半徑的倒數,γ為DNA環的彈性桿模型的截面的扭率,若桿的扭率為常量,則扭轉數TW=γ/k.我們引入變量gi=Rγ.Xi,其中

為主軸坐標向Frenet坐標投影的方向矩陣,是正交對稱矩陣.此時方程(31)進一步寫為

則線性方程組(36)有解.式中

為方程(36)的系數矩陣,其中σ,n為未定參數.由封閉桿的周期性條件,n的取值為整數.平面扭轉DNA環解的穩定性可根據特征值σ實部的正負確定,如果Re(σ)＜ 0,則解穩定,如果Re(σ)＞ 0,則解不穩定,而σ=0則對應平面扭轉DNA環的臨界狀態.將系數矩陣展開得到

可以看由于存在黏性阻力和阻力矩,Δ中σ的次冪包含了0—6,而真空中［8]Δ中只包含σ的偶數次冪.

特征值σ=0對應平面扭轉DNA環平衡的臨界狀態,我們得到扭轉數

為平面扭轉DNA環平衡穩定的臨界判據.由臨界判據(38)式,我們可得到對應于0和1兩個模態時平面扭轉DNA環是穩定的;對應于n=2的模態,我們得到扭轉數的臨界值為不穩定的模態取值范圍為n≥2.與真空中結果［17,29]對比,我們發現DNA環平衡穩定性不受黏性阻尼影響.

對應Γ的典型比值范圍［28],由臨界判據(38)式我們可以得出為平面扭轉DNA環的臨界區域.

5.2不穩定性

若Re(σ)＞0,則解是不穩定的.對應于扭率和曲率值γ=15,k=2,如令Γ=1,得出扭轉數則此時平面扭轉DNA處于不穩定態.黏性阻力系數取c=1,cR=4.給出σ2-n變化關系圖,如圖1所示.令c=cR=0,我們得到真空中σ2-n關系,見圖2.對比可見黏性阻尼較小時,對于不穩定模態在2＜n≤7范圍內,黏性阻力的作用基本可以忽略.但是在n＜2區域振幅出現分叉.黏性阻尼作用下平面扭轉DNA環失穩后選擇的模態為n=4.

增大黏性阻尼系數,例如取c=40,cR=160,σ與n的關系如圖3所示,此時平面扭轉DNA環失穩后選擇的跳出平面的模態增大為n=7.說明黏性阻尼較大時,對平面扭轉DNA環的不穩定影響較大.

圖1 (網刊彩色)σ2與n的關系,Tw=30,c=1,cR=4Fig.1.(color online)Relationship between of σ2and n,Tw=30,c=1,cR=4.

圖2 (網刊彩色)σ2與n的關系,Tw=30,c=cR=0Fig.2.(color online)Relationship between of σ2and n,Tw=30,c=cR=0.

圖3 σ與n的關系Tw=30,c=40,cR=160Fig.3.Relationship between of σ and n,Tw=30,c=40,cR=160.

6 總 結

本文基于坐標基矢的攝動,分析了黏性流體中超細長Kircho ff彈性桿動力學的穩定性,并應用于平面扭轉DNA環.

1)得到黏性流體中超細長Kircho ff彈性桿動力學方程的一階攝動表示,即方程(20)—(22)和(28)—(30)或者(31),該方程的解確定了黏性流體中超細長彈性桿的動力學穩定性判據和失穩后的模態選擇.

2)給出了黏性流體中平面扭轉DNA環的穩定性判據,得到平面扭轉DNA環的穩定性典型臨界值的區間.黏性阻尼項對超細長彈性桿的平衡穩定性無影響.

3)失穩狀態下,黏性阻尼使得彈性環的振幅變小,并有分岔現象出現.黏性阻尼增大,DNA環失穩的模態數變大,并出現了多模態選擇的動力學不穩定現象.并可預測不同黏性阻尼系數下優先選擇的變形模態,從而可為控制其變形行為提供參考.

我們的研究目前還限于理論分析,尚未有實驗驗證.然而我們希望本文對模型的處理方法和得到的結果能夠對以后的實驗起到啟發或者參考作用.

文獻[9]指出在雷諾數為零時慣性項可忽略,此情形下超細長彈性桿的動力學行為尚待研究.在以后的工作中我們將考慮雷諾數為零的情況是否可以忽略慣性項?考慮流固耦合作用、生長等因素對黏性流體中超細長彈性桿動力學穩定性的影響.

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PACS:45.10.Hj,45.40.–fDOI:10.7498/aps.66.094501

Dynamic instability of super-long elastic rod in viscous fl uid?

Wang Peng1)?Xue Yun2)Lou Zhi-Mei3)

1)(School of Civil Engineering and Architecture,University of Jinan,Jinan 250022,China)2)(School of Mechanical Engineering,Shanghai Institute of Technology,Shanghai 201418,China)3)(Department of Physics,Shaoxing University,Shaoxing 312000,China)

14 November 2016;revised manuscript

18 December 2016)

The external environment a ff ects the structural form of biological system.Many biological systems are surrounded by cell solutions,such as DNA and bacteria.The solution will o ff er a viscous resistance as the biological system moves in the viscous fl uid.How does the viscous resistance a ff ect the stability of biological system and what mode will be selected after instability?In this paper,we establish a super-long elastic rod model which contains the viscous resistance to model this phenomenon.The stability and instability of the super-long elastic rod in the viscous fl uid are studied.The dynamic equations of motion of the super-long elastic rod in viscous fl uid are given based on the Kirchho ffdynamic analogy.Then a coordinate basis vector perturbation scheme is reviewed.According to the new perturbation method,we obtain the fi rst order perturbation representation of super-long elastic rod dynamic equation in the viscous fl uid,which is a group of the second order linear partial di ff erential equations.The stability of the super-long elastic rod can be determined by analyzing the solutions of the second order linear partial di ff erential equations.The results are applied to a twisted planar DNA ring.The stability criterion of the twisted planar DNA ring and its critical region are obtained.The results show that the viscous resistance has no e ff ect on the stability of super-long elastic rod dynamics,but a ff ects its instability.The mode selection and the in fl uence of the viscous resistance on the instability of DNA ring are discussed.The amplitude of the elastic loop becomes smaller under the in fl uence of the viscous resistance,and a bifurcation occurs.The mode number of instability of DNA loop becomes bigger with the increase of viscous resistance.

super-long elastic rod,perturbation method,viscous fl uid,instability

10.7498/aps.66.094501

?國家自然科學基金(批準號:11262019,11372195,11472177)資助的課題.

?通信作者.E-mail:sdpengwang@163.com

*Project supported by the National Nature Science Foundation of China(Grant Nos.11262019,11372195,11472177).

?Corresponding author.E-mail:sdpengwang@163.com