不確定分數階時滯混沌系統自適應神經網絡同步控制?

林飛飛 曾喆昭

(長沙理工大學電氣與信息工程學院,長沙 410076)

不確定分數階時滯混沌系統自適應神經網絡同步控制?

林飛飛 曾喆昭?

(長沙理工大學電氣與信息工程學院,長沙 410076)

(2016年12月21日收到;2017年1月13日收到修改稿)

針對帶有完全未知的非線性不確定項和外界擾動的異結構分數階時滯混沌系統的同步問題,基于Lyapunov穩定性理論,設計了自適應徑向基函數(radial basis function,RBF)神經網絡控制器以及整數階的參數自適應律.該控制器結合了RBF神經網絡和自適應控制技術,RBF神經網絡用來逼近未知非線性函數,自適應律用于調整控制器中相應的參數.構造平方Lyapunov函數進行穩定性分析,基于Barbalat引理證明了同步誤差漸近趨于零.數值仿真結果表明了該控制器的有效性.

分數階時滯混沌系統,Barbalat引理,自適應RBF神經網絡控制

1 引 言

分數階微積分起源于17世紀,但是由于缺乏有效的計算手段對其研究一直處于純數學領域而發展緩慢.隨著計算機技術的不斷發展,分數階微積分在工程實際和物理學中的應用已成為熱點［1?4].在對分數階微積分不斷深入研究的過程中,人們普遍認為分數階微積分是整數階微積分的自然推廣,整數階微積分是分數階微積分的一種特殊情況［5].關于復雜系統的建模問題,分數階微積分模型比整數階微積分模型更加準確,同時還能包含系統的遺傳和記憶效應［6].因此,研究分數階系統更加具有普遍意義.

隨著研究分數階微積分的熱潮興起,分數階微積分被推廣到混沌系統中.人們發現分數階混沌系統具有整數階混沌系統幾乎所有的特點,并且由于其具有歷史記憶特性,分數階混沌系統往往比整數階混沌系統具有更加復雜的動力學行為,在圖像加密［7]、保密通信［8]和生物醫學［9]等領域具有廣闊的應用前景.混沌同步是非線性科學中的重要分支之一,其應用范圍包括安全通信、生物網絡和物理系統等領域,從而引起了人們的廣泛研究,并提出了大量的同步控制方法.主要有自適應脈沖同步［10]、修正投影同步［11]、滑?？刂仆剑?2]、自適應同步［13]、自適應模糊控制同步［14]、自適應滑?？刂仆剑?5]等,以上方法都是關于分數階混沌系統的同步控制,是否適用于分數階時滯混沌系統還有待研究.

時滯是自然界中普遍存在的現象［16],由于摩擦、機械等實際因素的影響,實際系統總是存在時滯現象,如物理、機械、經濟、生物和工程學等,另外時滯對系統的動態特性有重要影響.當系統的變化不僅依賴于當前的狀態,還依賴于過去的狀態時,則該系統稱為時滯系統.從理論上講,時滯的存在使得系統更為復雜,所以研究時滯混沌系統的同步控制是一項更具挑戰意義的課題［17];從實際角度而言,由于分數階時滯混沌系統更接近現實生活且動力學行為更加復雜,因此,研究分數階時滯混沌系統的動力學行為及其同步控制具有重要的實際意義.人們分別對分數階時滯Duffing混沌系統［18]、分數階時滯金融混沌系統［19]、分數階時滯Liu混沌系統［20]、分數階時滯Chen混沌系統［21]進行了數值仿真實驗,研究了不同時滯量的情況下系統的動力學行為,以上研究為分數階時滯混沌系統的同步控制提供了一定的理論基礎.其中,文獻[22]針對分數階時滯金融混沌系統在含不確定項的情況下的同步控制問題,設計了一種滑模控制器,該控制器實現了分數階時滯金融混沌系統的自同步控制,但該控制器要求不確定項有界且沒有考慮外界擾動,另外該控制器無法實現異結構分數階時滯混沌系統的同步控制.文獻[23,24]采用主動控制的思想對非線性項進行了直接消除,使得系統的系數矩陣成為定常矩陣,實現了分數階時滯混沌系統的混合投影同步,但其控制代價較大,而且當系統存在未知不確定項時,該方法無法達到預期的控制效果.文獻[25]實現了分數階時滯混沌系統脈沖同步,但該控制器需要知道驅動系統和響應系統線性部分的系數矩陣,對系統模型具有很強的依賴性,當系統存在不確定項或外界擾動時,該方法難以實現同步控制.另外,以上所有的控制方法都只適用于驅動系統和響應系統時滯量相同情況下的同步控制.

在實際的物理系統中,混沌系統一般是不確定的或未知的,還可能受到外界擾動的影響,另外系統在運行過程中存在元器件老化和衰退的情況,以上因素使得理想模型無法精確地描述實際系統.一方面,徑向基函數(RBF)神經網絡作為一種局部逼近網絡已經被證明能以任意精度逼近任意連續函數［26,27],所以可以用RBF神經網絡來估計未知系統模型.另一方面,自適應控制能夠通過自動調節控制器的相關參數消除不確定性和復雜因素的影響,從而使控制器與被控對象和環境相適應.基于以上考慮,本文主要研究了基于自適應RBF神經網絡的不確定分數階時滯混沌系統的同步控制問題.RBF神經網絡用來估計未知非線性函數,自適應律用于調整控制器中的相應參數,在所設計的同步控制器的作用下,同步誤差漸近趨于零.本文的主要工作如下:1)基于Barbalat引理和Lyapunov穩定性理論,設計了一種自適應RBF神經網絡控制器以及參數自適應律,該控制器是在完全未知混沌系統非線性函數模型、非線性不確定項和外界擾動的情況下實現了分數階時滯混沌系統同步控制;2)在穩定性分析中構造了相應的平方Lyapunov函數,并直接對其進行整數階求導,結合Barbalat引理和引理6證明了同步誤差漸近趨于零,運用該方法避免了對平方Lyapunov函數進行分數階求導,同時保證了自適應律為整數階;3)數值仿真實現了以不確定分數階時滯Liu混沌系統為驅動系統,不確定分數階時滯Chen混沌系統為響應系統,在含隨機擾動情況下的同步控制,理論證明和仿真結果表明了該控制器的有效性.

2 預備知識

2.1分數階微積分概述

分數階微積分在其發展過程中產生了多種定義,其中常用的有Riemann-Liouville(R-L)定義、Caputo定義.本文選取Caputo定義進行研究.

Caputo分數階積分定義為

Caputo分數階微分定義為

其中n為大于α的最小整數,n?1＜ α＜n;Γ(.)為伽馬函數,分數階微分(2)式的Laplace變換定義為［24]

下面給出一些將要用到的性質和結論.

性質1［28]分數階微積分的線性性質

其中,α∈R,a和b為常數.

引理1［29]若x(t)∈C1[0,T](T＞0),則下面等式成立:

引理2［29]若x(t)∈C1[0,T](T＞ 0),其中α,β∈R+,且α+β=1則下面等式成立:

2.2 RBF神經網絡描述

RBF神經網絡是一種兩層局部收斂的神經網絡,因而具有很快的收斂速度.理論上已經證明它能以任意精度逼近任意連續函數.第一層為非線性輸入層,即高斯基函數,其輸出為

第二層為線性輸出層,即

其中,X=[X1,X2,...,Xn]T為RBF神經網絡的輸入向量;n×m個中心值構成矩陣C=[c1,c2,...,cj,...,cm];cj=[c1j,c2j,...,cij,...,cnj]T和bj分別為RBF神經網絡隱含層第j個結點的中心向量和寬度;Wi=[wi1,wi2,...,wim]T為網絡的權值向量;H=[h1,h2,...,hm]T為高斯基函數向量.

3 同步控制器設計及穩定性分析

3.1同步控制問題描述

考慮n維分數階時滯混沌系統,設驅動系統和響應系統分別為

式中x=[x1(t),x2(t),...,xn(t)]T∈ Rn,y=[y1(t),y2(t),...,yn(t)]T∈ Rn分別為驅動系統和響應系統可測的狀態變量;

為含時滯狀態變量; Δf1(x)=[Δf11,Δf12,...,Δf1n]T∈ Rn,Δf2(y)=[Δf21,Δf22,...,Δf2n]T∈Rn為非線性不確定項;d1(t)=[d11(t),d12(t),...,d1n(t)]T和d2(t)=[d21(t),d22(t),...,d2n(t)]T為外界擾動項,其中Δf1(x),Δf2(y),d1(t),d2(t)是完全未知的;f,g:Rn→Rn為未知的非線性函數;U(t)=[u1(t),u2(t),...un(t)]T為待設計控制器.

定義響應系統(10)和驅動系統(9)的同步誤差為e(t)=y(t)?x(t);誤差向量為e(t)=[e1(t),e2(t),...,en(t)]T. 當時,即同步誤差漸近趨于零時,驅動系統(9)和響應系統(10)實現同步.

3.2基于RBF神經網絡控制器設計

由響應系統(10)式減去驅動系統(9)式得到同步誤差系統為

其中H高斯基函數向量,Wi為RBF神經網絡權值向量.令RBF神經網絡最優估計參數為W?i,則最優估計為

設RBF神經網絡的參數誤差和最優估計誤差分別為

其中,RBF神經網絡的估計誤差是有界的［27],即為最優估計誤差的上界. 未知非線性函數的估計誤差為

根據上面的討論,同步控制器可設計為

式中,ki是最優逼近誤差上界的估計值,li為反饋增益為常數)的估計值.RBF神經網絡權值、最優逼近誤差上界的估計值ki和反饋增益的估計值li的整數階自適應律分別為

式中λi＞0,γi＞0,ξi＞0(i=1,2,...,n)為自適應律的調節參數.

3.3系統穩定性分析

本節首先給出穩定性證明過程中所需的相關引理,然后分析控制器作用下同步誤差系統的穩定性.

引理3若x(t)∈C1[0,T](T＞0),則下面等式成立:

證明設由引理1可得

根據引理2可知

將(25)式代入(26)式有

所以

引理4設x(t)∈ R,則且

證明由(1)式可以得到

由Gamma函數的定義易知,Γ(1?α)＞ 0.又τ∈ [0,t?],因此,(t? τ)?α|x(τ)|≥ 0.

引理5［30](Barbalat引理)設

即x(t)∈L2;同時當x(t)∈L∞,如果(t),t∈[0,∞)存在且有界,即(t)∈L∞,那么

引理6如果漸近穩定,即

證明由引理1可知

對(32)式進行Laplace變換,

根據終值定理有

定理1給定初始條件,在設計的自適應RBF神經網絡控制器(20)和自適應律(21),(22)和(23)的作用下可實現驅動系統(9)和響應系統(10)的同步控制,同步誤差漸近趨于零.

證明將同步控制器(20)代入(14)式可得

由(15)和(19)式進一步有

構造Lyapunov函數

所以,同步誤差漸近趨于零.定理1證畢.

4 數值仿真

為了驗證本文所設計的控制器的有效性,應用改進型預估-校正方法［31]對不確定分數階Liu時滯混沌系統和不確定分數階Chen時滯混沌系統進行同步控制數值仿真.本文的控制器是在混沌系統非線性函數模型、非線性不確定項和外界擾動完全未知的情況下的同步控制,以下給出了仿真需要的相關模型.

分數階時滯Liu混沌系統［20]為

根據文獻[20]可知α=0.97,0＜τ1≤0.005時,系統處于混沌狀態.所以,選取α=0.97,τ1=0.005.狀態初值為x(0)=[2.2,2.4,3.8]T.當t∈[?τ1,0)時,x1(t)=2.2,x2(t)=2.4,x3(t)=3.8.系統表現為混沌狀態,如圖1所示.

分數階Chen時滯混沌系統［21]為

根據文獻[21]可知α=0.97,τ2=0.009時,系統處于混沌狀態.所以,選取α=0.97,τ2=0.009.狀態初值為y(0)=[0.2,0,0.5]T. 當t∈ [?τ2,0)時,y1(t)=0.2,y2(t)=0,y3(t)=0.5.系統表現為混沌狀態,如圖2所示.

分數階時滯Liu混沌系統加入非線性不確定項和隨機擾動后,作為驅動系統,

圖1 τ1=0.005時分數階時滯Liu混沌系統Fig.1.Fractional-order Liu system with time delay for τ1=0.005.

圖2 τ2=0.009時分數階時滯Chen混沌系統Fig.2.Fractional-order Chen system with time delay for τ2=0.009.

分數階時滯Chen混沌系統加入非線性不確定項和隨機擾動后,作為響應系統,其中,參數自適應律為

RBF神經網絡系統的輸入變量為可測狀態變量x和y.在數值仿真中用同步誤差變量e代替x和y,以減少RBF神經網絡系統的運算量.隱層神經元個數為9,中心值矩陣為

圖3 (網刊彩色)同步控制結果 (a)同步誤差e1,e2,e3;(b)狀態變量x1,y1;(c)狀態變量x2,y2;(d)狀態變量x3,y3Fig.3.(color online)Synchronization control results:(a)The synchronization errors of e1,e2,e3;(b)the state variables of x1,y1;(c)the state variables of x2,y2;(d)the state variables of x3,y3.

圖4 (網刊彩色)神經網絡權值‖W1‖,‖W2‖,‖W3‖Fig.4.(color online)Neural network weights ‖W1‖,‖W2‖,‖W3‖.

寬度值bj=3(j=1,2,...,9).自適應律的調節參數λi=3×104,γi=3.5,ξi=5(i=1,2,3);RBF神經網絡權值的初值W1(0),W2(0)和W3(0)均為9維的零向量.自適應律初值k1(0)=0.01,k2(0)=0.01,k3(0)=0.01;l1(0)=5,l2(0)=5,l3(0)=5;時間步長h=0.001,進行數值仿真,仿真結果如圖3和圖4所示.由圖3(a)可以看出同步誤差收斂較快,說明設計的RBF神經網絡具有良好的逼近效果;從圖3(b)—(d)可以看到各狀態同步效果較好.由圖4可以看出RBF神經網絡權值振幅不大,變化較平穩.從以上仿真結果可知本文所設計的同步控制器的控制效果較好.

5 結 論

本文針對異結構分數階時滯混沌系統,在含非線性不確定項和隨機擾動情況下的同步問題,基于Lyapunov穩定性理論設計了一種自適應RBF神經網絡控制器.在穩定性分析中直接對相應的平方Lyapunov函數進行整數階求導,避免對其進行分數階求導,結合相關引理證明了誤差系統漸近趨于零.與目前關于分數階時滯混沌系統的同步控制方法［22?25]相比,本文所設計的控制器不依賴于系統模型且能夠實現在非線性不確定項和外界擾動完全未知情況下的同步控制.仿真結果表明該控制器不僅實現了異結構分數階時滯混沌系統的同步控制,而且響應速度較快、控制效果良好、抗干擾能力較強.從長遠的應用角度來看,異結構同步比自同步具有更大的研究價值和發展前景.因此,本文的研究結果既具有重要的理論意義,同時在保密通信領域也具有較大的應用價值.

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PACS:05.45.Pq,05.45.XtDOI:10.7498/aps.66.090504

Synchronization of uncertain fractional-order chaotic systems with time delay based on adaptive neural network control?

Lin Fei-FeiZeng Zhe-Zhao?

(College of Electrical and Information Engineering,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410076,China)

21 December 2016;revised manuscript

13 January 2017)

Time delay frequently appears in many phenomena of real life and the presence of time delay in a chaotic system leads to its complexity.It is of great practical signi fi cance to study the synchronization control of fractional-order chaotic systems with time delay.This is because it is closer to the real life and its dynamical behavior is more complex.However,the chaotic system is usually uncertain or unknown,and may also be a ff ected by external disturbances,which cannot make the ideal model accurately describe the actual system.Moreover,in most of existing researches,they are difficult to realize the synchronization control of fractional-order time delay chaotic systems with unknown terms.

In this paper,for the synchronization problems of the di ff erent structural fractional-order time delay chaotic systems with completely unknown nonlinear uncertain terms and external disturbances,based on Lyapunov stability theory,an adaptive radial basis function(RBF)neural network controller,which is accompanied by integer-order adaptive laws of parameters,is established.The controller combines RBF neural network and adaptive control technology,the RBF neural network is employed to approximate the unknown nonlinear functions,and the adaptive laws are used to adjust corresponding parameters of the controller.The system stability is analyzed by constructing a quadratic Lyapunov function.This method not only avoids the fractional derivative of the quadratic Lyapunov function,but also ensures that the adaptive laws are integer-order.Based on Barbalat lemma,it is proved that the synchronization error tends to zero asymptotically.In the numerical simulation,the uncertain fractional-order Liu chaotic system with time delay is chosen as the driving system,and the uncertain fractional-order Chen chaotic system with time delay is used as the response system.The simulation results show that the controller can realize the synchronization control of the di ff erent structural fractional-order chaotic systems with time delay,and has the advantages of fast response speed,good control e ff ect,and strong anti-interference ability.From the perspective of long-term application,the synchronization of di ff erent structures has greater research signi fi cance and more development prospect than self synchronization.Therefore,the results of this study have great theoretical signi fi cance,and have a great application value in the fi eld of secure communication.

fractional-order chaotic systems with time delay,Barbalat lemma,adaptive radial basis function neural network control

10.7498/aps.66.090504

?國家自然科學基金(批準號:61040049)、電子科學與技術湖南省重點學科和智能電網運行與控制湖南省重點實驗室項目資助的課題.

?通信作者.E-mail:508984293@qq.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61040049),the Hunan Province Key Discipline of Electronic Science and Technology,and the Foundation of Hunan Province Key Laboratory of Smart Grids Operation and Control,China.

?Corresponding author.E-mail:508984293@qq.com