非2與5的質數都有3的性質

朱昌海

一、引言

整數有哪些分類呢？

從倍數情況來看就有質數和合數之分；從倍2的情況來看就有奇數和偶數之分；從倒數的情況來看就有盡除除數、純循環除數和帶純循環除數之分。題目所指的就是后面這三種除數的不同特征。

我對純循環除數和帶純循環除數研究多年，現有本文成果。

研究問題：①循環節和被除環的關系；②純循環除數和帶純循環除數的特征；③鍵盤里的奧妙；④雙向被整除環的求法及其表達式。

研究方法：在我所有讀過的數學書中，發現“倍數的特征”，只有“3”這個數，那么就從《“3”的倍數的特征》入手吧。

研究結果如下文表述。

二、循環節和被除環的關系

1.3和9這兩個數具有共同的特征

小學五年級數學下冊《“3”的倍數的特征》寫著“一個數各位上的數字和是3的倍數，這個數就是3的倍數。”反之亦然。除此之外，3還有哪些特征呢？3確實是太神奇了：A、凡被3整除的數，其逆排序也被3整除；B、任意打亂排序所得的新數也被3整除；C、任意分段所得各段數之和也被3整除；D、不能被3整除的數，重復A、B、C的做法，余數都相同。9也具有A、B、C、D同樣的特征。為什么呢？原來3和9都不含有因子2和5，而且它們倒數的最小循環節和其自身都是一位數，這就是它們的共同點。那么，它們的共同特征是否和這兩個共同點有關呢？下面有更充分的例子。

2.11、33、99這三個數具有共同的特征

這三個數都不含有因子2和5，而且它們倒數的最小循環節和其自身都是兩位數，那就和“1.”中的3和9具有相同的兩點。它們是否也有“1.”中的A、B、C、D這些共同的特征呢？下面就以99為例來驗證一下：

對于任意給出的數89507×99=

8861193，其積的倒排序數也被99整除（即3911688÷99=39512），這就和“1.”中的A相同。其次，在8861193的前面或后面補零，使其位數正好是最小循環節位數的倍數，然后構成一個閉合數字環（ ）或（）等，再將這樣的環按最小循環節兩位一節（兩種分法）共分四節或五節，這樣的節我們叫作余數最小循環節（簡稱余節）。我們把每一個余節當作一位數來看，其節排序可以任意打亂構成不同的新環（）、（）、（）等，或（）、（）、（）等，這些環內的各數任一正反排序，都無法改變其被99的整除性（如數字環（），其中順排序有11860893÷99=119807、86089311÷99=869589等，逆排序有39806811÷99=402089、98068113÷99=990587等），這就和“1.”中的B相同。此外，任意兩個余節上的對應位上的兩數調換，其正反任一排序所得的數，也無法改變其被99的整除性（如數字環（）兩個余節86和93，對應位8和9或6和3可以調換構成新環（如數字環（）或（）等），其正反任一排序所得的數也無法改變其被99的整除性。這是把余節當位的又一個特征。再者，我們將環內各余節任意分段連接，所得各段數的和，也無法改變其被99的整除性如（數字環

（）的三段數的和8830+61+19=8910，而8910÷99=90），這就和“1.”中的C相同。最后，對于任意給出一個不能被99整除的數7780669，并兩位一節共分成四個余節（不夠分的要在前面或后面補零），并把余節當作一位數來看，依照“1.”中的D作法，結果都不能被99整除，而且余數全是61，這就和“1.”中的D相同。由此可知余節和最小循環節，它們的位數是相同的。由一個節或幾個節組成的數字環叫作被除環。

3.最小循環節和最小被除環

對于下面的式子

=0.333……，還可以表示成A、0. ，B、30. ，C、 ，……

=0.090909……，還可以表示成A、0. ，B、0.90，C、0.9090，……

A、B、C表示的都是循環節，其中A是最小循環節，也叫一重循環節，B叫二重循環節，C叫三重循環節，等等。

對于下面的式子

A、B、C中的積的位數都是循環除數3和11的倍數（不能構成被除環的要在前面補零，如0143或000143），所以都能構成被除環。其中A中的積的位數是最小被除環的位數，也叫一重被除環的位數；B中的積的位數叫二重被除環的位數；C中的積的位數叫三重被除環的位數，等等。

從倒數的算式和積的算式可以看出，最小被除環和最小循環節，其位數是相同的，從而構成二重、三重、四重等被除環和循環節，它們的位數也是對應相同的。

三、純循環除數和帶循環除數的特征

從倒數的情況看，整數有下列三種不同特征：①只含有因子2和5的數，其特征是對于任意整數，都能被其盡除；②不含有因子2和5的數，其特征是對于任意整數，不是被其整除，就是商從小數的第一位起就開始循環的數；③除了含有因子2和5的數，還含有質因子的數，其特征是對于任意整數，不是被其盡除，就是商從小數的非第一位起才開始循環的數。

①中的數叫盡除除數；②中的數叫純循環除數；③中的數叫帶循環除數。除了①沒有其他特征，②和③還有沒有更神奇的特征呢？

1.純循環除數的特征

（1）在某一環內的數正好是某一純循環除數的一個被除環，那么環內只要有一個排序數被這個純循環除數整除，而環內任一同向排序所得的數都被這個數整除（如數字環（）正好是37的一個被除環，而環內順時針排序所得的六個數全被37整除）。如果不能整除，那么小數部分按最小循環節輪位出現（如上環逆時針排序所得六個數除以37，結果是316175÷37=8545. 270；161753÷37=4371.702；617531÷37=16690.027，而小數部分270、702、027輪位出現）。

（2）任意打亂被除環內的余節排序，任意兩個余節對應位上的兩數調換，都保持著“（1）”的特征。

（3）任意余節段上的數相加，所構成的比原來被除環小的新被除環，也都保持著“（1）”的特征。

如果我們把這樣的余節當作一位數來看，這和“3”“9”的特征又有何異？所以純循環除數都具有“3”和“9”的特征。

2.帶循環除數的特征

既含有因子2和5，又含有質因子的數，其倒數的特征是小數部分至少帶著一位不循環的數，所以叫作帶循環除數。帶循環除數是介于盡除除數和純循環除數之間的數，其特征也介于兩者之間，其特征是：

（1）在某一環內的數正好是某一帶循環除數的一個被除環，那么只要環內的數有一個排序被這個帶循環除數盡除，而環內的數任一同向排序都被這個數盡除（如數字環（）也正好是74的一個被除環，環內順時針排序所得的六個數全被74盡除）。如果不能盡除，那么小數的循環部分按最小循環節輪位出現（如上環逆時針排序所得的六個數除以74，結果是316175÷74=4272.651161753÷74=2185.8513；617531÷74=8345.0135，而小數循環部分351、513、135輪位出現）。

（2）重復1.中的（2）（3）做法，都保持著（1）的特征。

像3、6、9、11、22、33、44、55、66、88、99這十一個數，對于任一被其整除或盡除的數，其逆排序也一定被其整除或盡除。具有這一特征的除數叫雙向除數。最小循環節的位數和其自身位數相同的數，都是雙向除數。

（3）質數除數的余數特征。純循環除數和帶循環除數，我們統稱循環除數，它們除了有上面兩個特征，是質數除數的，還有它們的余數特征。有些質數雖然很小，但循環節卻很長（如1÷7=0.142857），有些質數雖然很大，但循環節卻很短（如1÷37=0.027）。出現這種現象的主要原因是“7”是全余（六個余數都出現）循環除數，而“37”是缺余（三十六個余數只出現三個）循環除數。全余循環除數往往循環節很長，7、17、19、23、29、47、59、61、97等這些數都是全余循環除數，它們最小循環節的位數比其自身數小一，也就是它們最小循環節的位數分別是6、16、18、22、28、46、58、60、96。缺余循環除數，最小循環節的位數比自身數要小得多，3、11、13、31、37、41、43、53、67、71、73、79、83、89、101、103等，這些數都是缺余循環除數，它們最小循環節的位數分別是1、2、6、15、3、5、21、13、33、35、8、13、41、44、4、34，而3、13、31、43、67、71、83、89等是半余循環除數，如13它有十二個余數卻只出現了六個。其他的11、37、41、53、73、79、101、103等都為不足半余循環除數。此外，如果質數最小循環節的位數是偶數，其前半段和后半段兩數差1互補（如1÷7=0.142857，而142+857+1=1000），質數全余除數都出現這種情況，此外還有1÷11，1÷73，1÷89，1÷101，1÷103等，但1÷（41×7）=0.003484320557491289198606271777，其最小循環節是三十位數雖然是偶數位數，但其前半段和后半段并非差1互補，其原因是（41×7）不是質數。有些質數的循環節雖然很短（如1÷37=0.027），但它的平方的最小循環節卻很長（如1÷372的最小循環節竟達111位數）。

四、鍵盤里的奧妙

說來真巧，“37”并不是雙向除數，其倒數的最小循環節是三位數，從而它的最小被除環也是三位數，如果要求我們找出一個順逆排序都被“37”整除的二重被除環（即六位數組成的環），都很不容易。可是電子計算器的鍵盤里九個數字所構成的48個環順逆排序總共有480個六位數，都被“37”整除，這比國家著名科普作家談詳柏的《五環體現數學之美》要漂亮多了！

1.原位環

行環有（）（）（）；

列環有（）（）（）；

角環有（）（）；

行往返（）（）（）；

列往返（）（）（）；

角往返（）（）；

邊對頂（）（）；

角對頂（）（）。

2.異位環（即原位環上兩個余節上兩個對應位調換數字）

因為原位環都是二重雙向被整除環，環內的六個數由兩個余節連接而成，根據“兩個余節上對應位的兩數調換，其雙向整除性不變”。所以行環、列環、角環，每個環上又生出三個異位子環，如行外環（），其異位子環是（）（）（），往返環每個環又出一個異位子環，如左列往返環（），其異位子還是（）。這樣總共就有（4×8+2×8=48）四十八個環，（4×8×12+2×8×6=480）四百八十個數之多，它們都被“37”整除，真是天神一筆，結構如此巧妙完密！另者，“13”的循環節是一個六位數，所以它的最小被除環也是一個六位數，行外環（）順時針排序所得的六個數，角環（）逆時針排序所得的六個數，也都被“13”整除，但這兩個環都是“13”的單向被整除環，不具有雙向性。前面所說的3、6、9和11、22、33、44、55、66、88、99這十一個數，它們是雙向除數，所以它們只有雙向被整除環或被盡除環，沒有單向被整除環或單向被盡除環。

五、雙向被整除環的求法及表達式

1.“37”的雙向被整除數的求法及表達式

被除環內各數任一順逆排序除以同一個數，如果余數的最小循環節組成的環都相同，那么這個被除環就叫作某數的雙向被除環，如（）任一順逆排序除以“37”，其循環節是081或810或108，當余數為零時，雙向被除環就變成雙向被整除環。任何一個質數，都存在雙向被整除環。“37”是一個三位循環節除數，它的最小被除環也是一個三位數。而對于1×37=37、2×37=74、3×37=111這三個積數，只有“111”這個數被“37”雙向整除，我們把這個雙向被整除的環“111”叫作最大母環，“37”只有一個雙向被整除的母環。母環通過倍乘，其積在運算過程中如果沒有進位、或進位數也是“37”的雙向被整除數，這樣的積也被“37”雙向整除。如111×6=666、111×1234=136974（列外環）、111×7114=789654（行上環）、111×12=001332（前面補足零使之成為二重被除環），這些積都沒有進位，因此它們組成的環都能被“37”雙向整除。又如111×197=021867、111×97=010767，其積的進位數都是“111”，所以其積組成的被除環也都被“37”雙向整除。但111×19=002109，其積組成的被除環不能被“37”雙向被整除，原因是進位數為“11”。可見，“37”的雙向被整除數的表達式為：

f111（37）=111n（n為自然數，積沒有進位，或進位數也是“37”的雙向被整除數）。

除此之外，任意兩個雙向被整除環連接或含節相加，如果沒有進位或進位數也被“37”雙向整除，那么連接或含節相加后所構成的新的被除環，其雙向整除性不變。如+ =001320456和 + =457776654，其和構成的被除環也被“37”雙向整除，但 +=1009656和+ =46488354不具有雙向整降性。原因是前者的進位都是“111”，后進的進位分別是“11”和“1111”。

2.“41”的雙向整除數的求法及表達式

“41”是一個五位循環節除數，它的最小被除環也是一個五位數，對于“41”乘以一個自然數，其積不大于五位數“11111”的逆排序，也被“41”整除的數有下面各數：

41×16=656； 41×26=1066；

41×27=1107；41×161=6601；

41×171=7011； 41×187=7667；

41×188=7708 ；41×197=8077；

41×198=8118；41×261=10701；

41×271=11111。

而01066和06601、07708和08077、01107和07011及10701，這三者都是同一個被除環內的順逆排序數，我們各取一個。那么上面十一個雙向被整除數就剩下五個：00656、01066、01107、08118、11111，此外7708可由（1107+6601）而得，7667可由（7011+656）而得，可見7708和7667是多余的，最后剩下五個。這些數所構成的被除環都是“41”的雙向被整除環，我們把它們都叫作“41”的母環，其中“11111”是最大母環，于是“41”的雙向被整除數的表達式有：

（1）f11111（41）=11111n（n為自然數，積沒有進位、或進位數也是“41”的雙向被整除數）。

（2）f（41）=任意雙向被整除環內任意順逆排序數連接。

（3）f（41）=任意雙向被整除環內任意順逆排序節相加或含節相加（沒有進位或進位數也是“41”的雙向被整除數）。

除數“271”的母環只有一個“11111”，那么它的雙向被整除數的表達式為：

f11111（271）= f11111（41）

“37”和“271”都只有一個母環，分別為“111”和“11111”，其母環一定被其“37”和“271”雙向整除。“41”共有五個母環：00656、01066、01107、08118、11111，由不同母環的順逆排序數連接、相加或含節相加所得的數（沒有進位或進位數也是“41”的雙向被整除數），都能被其“41”雙向整除。

除了“3”，任何一個循環除數的最小被除環內。各位上都是“1”的環一定是雙向被整除環。

至于其他循環除數，由于循環節很長，我們可通過最大母環“11……1”倍乘，得到不同的雙向被整除數組成的各環，然后將這些環內各順逆排序數任意連接、相加或含節相加（倍乘、相加或含節相加都不能進位或進位數也是雙向被整除數），其結果都是雙向被整除數。由此可以組成不同的雙向被整除環，這些環都是大于最大母環“11……1”的雙向被整除環。對于小于母環“11……1”的其他母環，尋找的難度就很大了，從而就無法全面體現表達所有的雙向被整除環。

討論：人們對數的認識實在是太少，往往只通過表面看它的現象，并不深入了解它內在的本質。循環除數“3”因為它的最小循環節和最小被除環都只是一位數，它的特征就很容易被人們發現，但為何有這種特征人們并不了解，然而其他循環除數也和“3”具有共同的特征，人們就不知道了。本文揭示了這種特征的秘密——這是和它的最小循環節相關的。然而人們又只知道某一循環除數的最小循環節，并不知道其最小被除環，這兩者是相關聯的。談祥柏的《五環體現數學之美》只把鍵盤當作一種神奇寫出來，并未指出這是純循環除數的一種特征。現在大家讀了本文就明白了，也就是循環除數存在雙向被整除環，從而出現了鍵盤上的神奇現象，這和“3”的特征又有何異？

六、結論

循環除數存在雙向被除環，所以都具有“3”和“9”的共同特征。不同之處在于，除了質數“3”和質數“11”是雙向除數，其他質數都不是雙向除數。因為其他質數的最小循環節的位數與其自身位數不相同。

（作者單位：海南省瓊海市華僑中學）