基于灰色模型與指數平滑法對未來汽車銷售數額的預測

袁文 張涵 許文斌

摘 要：總所周知的，預測汽車的銷售量，無論是對于整體的掌控汽車市場的發育與成長態勢的政策制定者，還是對于研究市場行情以制定營銷策略的汽車廠商而言，都具有極其重要的作用。我們根據題中所給的歷史以來的銷量數據，利用灰色模型GM（1，1）根據長期趨勢性和周期性，通過灰色預測算法dx/dt+ax=u，x（k+1）=（x⑴-u/a）e+u/a。對問題進行編程并帶入16年和17年的數據進行迭代運算對汽車銷量即時間序列的未來值進行數學建模分析預測，然后利用指數平滑法對各個數據進行加權處理，并可利用此對原方法進行優化改進。根據“最近數據對未來數據影響大，遠古數據反之”的特點，且前灰色預測出來的函數圖像為曲線增長的模式，則利用三次指數平滑預測公式，yt+1'=yt'+a（yt- yt'），yt+m=（2+am/（1-a））yt'-（1+am/（1-a））yt=（2yt'-yt）+m（yt'-yt）a/（1-a）求解

關鍵詞：汽車銷量；灰色預測；指數平滑法

一、模型的建立

首先，我們根據以往幾年的數據想要求得2018年的預測數據并希望其理論真實值比較可靠，在某種程度上會持續到未來，所以將較大的權數放在最近的資料。從而得到2018年的預測數據以及圖像。其次，光是得到2018年的預測數據是不夠的，我們希望能夠得到以后幾年的預測數據，而灰色理論認為系統的行為現象盡管是朦朧的，數據是復雜的，但它畢竟是有序的，是有整體功能的。同時，灰色理論建立的是生成數據模型，不是原始數據模型，因此，灰色預測的數據是通過生成數據gm（1，1）模型所得到的預測值的逆處理結果。故利用灰色預測模型對往幾年的數據進行擬合，并可根據往幾年的數據對以后幾年進行預測計算，從而得到比較可靠的問題解決。在第一種方法中，對于指數平滑法，時間從2000年到2017年。并分別用一次二次三次指數平滑進行遠古數據擬合，觀測得到最合理的一個，并對此基礎上求得2018年的營銷數據。在第二種方法中，面對只有2000年到2017年的營銷數據量，我們可通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分預測模型，對事物發展規律做出模糊性的長期描述。然后通過累加生成的方法，通過數列間各時刻數據的依個累加得到新的數據與數列。累加前數列為原始數列，累加后為生成數列；對殘差（模型計算值與實際值之差）修訂后，建立差分微分方程模型；基于關聯度收斂的分析。從而得到后幾年的汽車的營銷數量。

二、模型的求解及分析

1；灰色預測模型

首先建立基本等式令 x（0）=（x⑴，x⑵，…，x（n）），作一次累加生成，k，并x（k）= ∑x（m）消除數據的隨機性和波動性，當m=1，有 x=（x⑴，x⑵，…，x（n））=（x⑴，x⑴+x⑵，…，x（n-1）+x（n））x，可建立白化方程：dx/dt+ax=u 即gm（1，1）.該方程的解為：x（k+1）=（x⑴-u/a）e+u/a預測數據并設以前2007年至2017年銷售數據為G，則可建立灰色預測模型如下G =1至10列8.3，30.0，32.4，34.9927，37.7，40.6，43.8，47.3，51.0，55.0。11至20列59.3，63.9，68.9，74.3，80.1，86.4，93.2，100.5，108.3，116.8。21至28列126.0，135.9，146.5，158.0，170.3，183.7，198.1，213.6相對殘差Q檢驗；Q=0.2779，方差比C檢驗；C=0.5596，小誤差概率P檢驗：P=0.8333，從而可以預測出2018年至2028年的具體銷售數值

2；平滑指數法

首先，利用一次平滑指數法，其預測公式為：yt+1'=ayt+（1-a）yt' 式中，yt+1'--t+1期的預測值，即本期（t期）的平滑值St；yt--t期的實際值；yt'--t期的預測值，即上期的平滑值St-1，可見，下期預測值又是本期預測值與以a為折扣的本期實際值與預測值誤差之和。一次平滑指數法僅適合用于近期預測，不適合用于長期預測，本次實驗使用一次平滑指數法先進行一年數據預測，之后把預測的數據作為已知數據進行共計未來五年的預測。結果表明當平滑系數取較大時，預測結果往往不會在第一次的基礎后改變多少。因為一次平滑指數法是對數據進行加權處理，越近的數據的權重越大。本次預測中18年由17年占很大權重的原始數據預測，而19年通過預測18年數據與原始數據一同視為已知數據進行預測。這次預測17年和18年占的權重比太大，當a=0.8時，19年數據與18年相同。然后利用二次平滑指數和三次平滑指數，二次指數平滑是對一次指數平滑的再平滑。它適用于具線性趨勢的時間數列。其預測公式為：yt+m=（2+am/（1-a））yt'-（1+am/（1-a））yt=（2yt'-yt）+m（yt'-yt）a/（1-a）式中，yt= ayt-1'+（1-a）yt-1 顯然，二次指數平滑是一直線方程，其截距為：（2yt'-yt），斜率為：（yt'-yt）a/（1-a），自變量為預測天數。二次指數平滑基本公式，St=αSt+（1-α）St-1 Yt+T=at+btT at=2St-St bt=（α/1-α）（St-St，三次指數平滑預測是二次平滑基礎上的再平滑。其預測公是：yt+m=（3yt'-3yt+yt）+[（6-5a）yt'-（10-8a）yt+（4-3a）yt]*am/2（1-a）2+（yt'-2yt+yt'）*a2m2/2（1-a）2，一段時間內收集到的數據所呈現的上升或下降趨勢將導致指數預測滯后于實際需求。通過趨勢調整，添加趨勢修正值，可以在一定程度上改進指數平滑預測結果。將之前十年的數據帶入可得到2018年的具體結果。而最后發現三次平滑指數法最適合此次模擬。并可由此得到預測的未來汽車銷售數量，最終可求得未來幾年的汽車銷售數據增長圖與復合增長率，并可根據復合增長率公式求得未來幾年的復合增長率為7.0195。

（作者單位：四川省成都市西華大學）