利用圖示法增強信號課程的教學效果

鄭丹玲　蔚承英　黃勝

[摘 要]信號與系統(tǒng)和數(shù)字信號處理課程是大學生認為比較難的兩門課程，感覺課程抽象，不好理解，數(shù)學推導多，但是推導的結果有什么物理含義，直接從表達式中很難理解。圖示法就是以圖形的方式直觀的展現(xiàn)數(shù)學推導結果的物理含義，其最為關鍵的一步是對仿真結果的分析，教師在講解時一定要將matlab仿真圖形與數(shù)學的推導結果相結合，說明總結仿真圖形反映出的問題的實質，讓學生通過仿真圖形理解數(shù)學推導結果反映出來的物理含義。

[關鍵詞]圖示法；信號；頻譜分析；教學

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2017）07-0022-02

信號與系統(tǒng)和數(shù)字信號處理課程是通信類，電子類，控制類等專業(yè)非常重要的一門專業(yè)基礎課，對后續(xù)課程的學習至關重要，但是由于本課程的數(shù)學推導相對比較多，有些還比較晦澀難以理解，甚至有些學生到本課程結束，都還不知道數(shù)字信號處理課程中各種變換到底是怎么回事。實際上要充分理解信號的各種變換，就是要理解信號的時域改變以后頻域會發(fā)生什么樣的變化，反之，信號的頻域發(fā)生改變，信號的時域波形又會怎樣變化，也就是信號的時域描述和信號的頻域描述之間的變換關系。

一、引入圖示法教學的必要性

圖示法就是以圖形的方式展現(xiàn)所要講解和闡述內容的要旨，用圖形展現(xiàn)繁瑣的數(shù)學推導所表達的結果，通過對人的感官刺激使課程內容形象化。傅里葉變換是學習的一個難點，教材中有個N點矩序列的頻譜的例題，但它只以N=4為例畫了頻譜圖，在該圖中學生只能看出離散序列傅里葉變換的周期性，并不能理解到點數(shù)N的變化對頻譜的影響，而在窗函數(shù)設計法中，又用到了N的變化對頻譜的影響，并以文字的方式說明了一下，學生感覺很抽象，無法理解N的變化對頻譜有什么影響。還有用DFT進行頻譜分析時，最后用文字說明柵欄效應與頻率分辨率是兩個不同的概念，學生完全不能理解。

二、利用圖示法教學的三個案例

下面本人結合自己的教學經驗，通過三個組圖對上述兩個問題加以說明。

組圖（一）左側圖形是門寬為4π、幅值為1的門函數(shù)及其以不同采樣頻率進行采樣而得的離散矩形序列，右側圖形是它們的傅里葉變換對應的幅頻特性圖（聲明：組圖（一）中的ω均為模擬角頻率，單位rad/s）。

組圖（一）要反映的是連續(xù)信號以不同的采樣周期進行采樣，得到的各離散采樣信號所對應頻譜發(fā)生了什么相應改變。要想很好的利用組圖（一）將問題講透徹，本人建議采取這樣幾步進行講解。

第一、應該幫助學生復習信號與系統(tǒng)課程中講過的門函數(shù)的傅里葉變換和時域取樣定理。

第二、提示學生思考：對門寬為4π的門函數(shù)分別以取樣間隔T=π/2s、πp/4s、π/8s進行取樣，得到的取樣信號將分別為8點、16點、32點矩形序列；由取樣定理可知這三個序列對應的幅頻特性是門函數(shù)的幅頻特性分別以ω=4rad/s、8rad/s、16rad/s為周期進行周期延拓而成的，理論分析完了，再觀察仿真圖形，與理論分析進行結合；

第三、最后這一步最為關鍵，是圖解法的精要所在，往往常被忽視，就是對仿真結果進行總結分析。組圖（一）的結論就是：采樣信號的幅頻特性是周期的。若選用頻率作橫軸，則周期為fs=1/T（單位Hz），其中T為時域的采樣周期（時域采樣間隔）；若選用模擬角頻率作橫軸，則周期為Ω=2π/T（單位rad/s）；若選用數(shù)字角頻率作橫軸，則周期為ω=ΩT=2π（單位rad）；在此將三個頻率軸以及它們之間的關系也捎帶將清楚了。

在幅頻特性的每個周期內，主瓣和旁瓣個數(shù)之和等于矩形序列的點數(shù)N，并且以等間隔ω=2π/N振蕩衰減，幅值隨著N的增加而正比增加。此結論說明了矩形序列的點數(shù)N對幅頻特性的影響。

若將模擬角頻率轉換為數(shù)字角頻率，則發(fā)現(xiàn)各系列的幅頻特性均以關于ω=π呈對稱關系。可借此強調一下數(shù)字系統(tǒng)中ω=0附近是低頻，ω=π附近是高頻。這些結論也是后面窗函數(shù)法設計FIR濾波器的理論基礎。

組圖（二）是用來說明利用DFT進行頻譜分析時，通過補零增大N可以改善柵欄效應，但是并沒有提高頻譜的分辨率這一問題的。把門函數(shù)在[0，4π）區(qū)間進行等間隔取樣，取樣間隔為π/2，這樣就得到了8點矩形序列，再將這8點矩形序列分別補零到N=16點、32點、64點和128點，兩個零點間距仍取π/2，然后再做N點DFT，觀察補零后各序列的幅頻特性的變化。

首先要學生清楚知道8點矩形序列的幅度頻譜。這個內容組圖（一）中已有結論，在此要進行復習，8點矩形序列的幅頻特性應該是以2π為周期，關于ω=π呈現(xiàn)偶對稱，在一個周期內，主瓣與旁瓣的個數(shù)之和等于8，極大值也等于8。

然后當對8點矩形序列及其補零序列做N點DFT，我們會發(fā)現(xiàn)此時的頻譜是離散的，這些離散信號構成的包絡始終都是8點矩形序列一個周期內的頻譜，只是密度不同罷了。

結論：如果我們研究的就是8點矩形序列的頻譜，也就是有限長序列的頻譜，很顯然通過補零增大N，頻譜變得密集了，更加接近于8點矩形序列的幅度頻譜，顯然可以增大頻率分辨率，可以改善柵欄效應。但如果我們研究的是連續(xù)信號門函數(shù)的頻譜，發(fā)現(xiàn)補零來增大N，并沒有使頻譜更接近門函數(shù)的頻譜，也就是頻率分辨率并沒有得到改善。又或者我們研究的是無限長序列的頻譜，通過補零增加序列的長度N，也是不能改善頻率分辨率的。這一點將通過組圖（三）進一步說明。

組圖（三）是單邊指數(shù)序列x（n）=（0.8）nu（n）截取不同長度N后所得有限長序列及其對應的DFT的圖形。通過此圖反映對無限長序列截取不同長度N對頻譜分辨率的影響。

該圖的講解過程：首先討論單邊指數(shù)序列x（n）=（0.8）nu（n）的頻譜，可以采用零極圖定性繪制，也可用表達式推導幅頻特性，再繪制曲線，總之可以得到它是以2π為周期的連續(xù)譜，再與組圖（三）比較，注意組圖（三）中之畫出了一個周期的頻譜。

然后分別演示截取單邊指數(shù)的前11個點的DFT和截取單邊指數(shù)前41個點的DFT，最后讓學生觀察截取不同長度N對頻譜的影響，哪一個更能反映單邊指數(shù)的頻譜，也就是那種頻譜分辨率高，結論：截取長度N越大，幅頻特性曲線越接近于單邊指數(shù)序列的頻譜，所以截取長度N越大頻譜分辨率越高。

在此老師也可以改變指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的參數(shù)值，讓學生觀察底數(shù)的變化對頻率特性的影響。底數(shù)的改變，實質上就是極點的改變，此時頻率實特性發(fā)生的改變，也就是極點對頻率特性的影響。

三、結束語

圖示法的例子還有很多，在此不再一一列舉。圖示法以圖形直觀的反映出數(shù)學推導得出的結論，但是要讓學生自己用剛剛聽過數(shù)學推導結果與matlab仿真圖形相結合是有相當難度的，加之有些學生對matlab可能也不熟悉，所以教師的引導與講解是非常必要的，也是圖示法教學最為重要的環(huán)節(jié)，直接影響教學效果好壞。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳后金，胡健，薛鍵.信號與系統(tǒng)[M].北京：清華大學出版社，北方交通大學出版社，2003.

[2] 楊小非.信號與系統(tǒng)[M].北京：北京科學出版社，2013.

[3] 陳懷琛.數(shù)字信號處理教程——MATLAB釋義與實現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2013.

[特約編輯：黃緊德]