從高考試題例談遺傳定律教學(xué)中的若干數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題

艾劍鳴

(浙江省溫州中學(xué) 325000)

遺傳學(xué)定律是在大量實(shí)驗(yàn)、探究的基礎(chǔ)上逐步建立起來的。實(shí)驗(yàn)和探究離不開數(shù)據(jù)的收集、處理與解釋，而這通常需要以科學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法為基礎(chǔ)。

1 互斥事件的加法原理與獨(dú)立事件的乘法原理

在一次實(shí)驗(yàn)中，如果事件A與事件B不同時(shí)發(fā)生，就叫做A和B互斥(也稱互不相容)，A、B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此為加法原理。

在實(shí)驗(yàn)中，如果事件A的發(fā)生對(duì)事件B的發(fā)生不產(chǎn)生影響，就叫做A和B是相互獨(dú)立的，則A、B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A、B分別發(fā)生的概率的乘積，即P(AB)=P(A)×P(B)[1]，此為乘法原理。

例1 (2016年4月浙江選考題，節(jié)選)果蠅的長(zhǎng)翅(B)與短翅(b)、紅眼(R)與白眼(r)是兩對(duì)相對(duì)性狀。親代雌果蠅與雄果蠅雜交，F(xiàn)1表現(xiàn)型及數(shù)量如表1。

請(qǐng)回答：

(1)略；

(2)F1長(zhǎng)翅紅眼雌果蠅中，雜合子占________；

(3)現(xiàn)有1只長(zhǎng)翅白眼果蠅與1只長(zhǎng)翅紅眼果蠅雜交，子代雄果蠅中長(zhǎng)翅白眼占3/8，則子代雌果蠅中出現(xiàn)長(zhǎng)翅白眼的概率為________。

表1 F1表現(xiàn)型及數(shù)量

解析：兩處計(jì)算均涉及乘法原理應(yīng)用，難度有梯度遞進(jìn)，前者只需套用乘法原理，而后者則需理解乘法原理方能靈活應(yīng)用。具體分析如下：第(2)小題，據(jù)表中F1表現(xiàn)型及數(shù)量可知，親本為BbXRY×BbXRXr，故F1長(zhǎng)翅紅眼雌果蠅基因型為B__XRX-。解法一：可依據(jù)加法原理，所求雌果蠅雜合子的基因型包括BBXRXr[其概率為P(甲)=1/6]、BbXRXr[P(乙)=1/3]、BbXRXR[P(丙)=1/3]，故P雜=P(甲)+P(乙)+P(丙)=5/6。解法二：依乘法原理，其翅形基因純合(BB)的概率為P(1)=1/3，眼色基因純合(XRXR)的概率為P(2)=1/2。按獨(dú)立事件的乘法原理，故其中純合子的概率P純=P(1)×P(2)=1/6，即雜合子概率為P雜=1-P純=5/6。第(3)小題，常規(guī)解題思路：仍可按乘法原理，先將子代雄果蠅中長(zhǎng)翅白眼的概率3/8看做兩個(gè)獨(dú)立事件(即長(zhǎng)翅和白眼的概率之積)，后可求出雜交雙親的性別，再由親本求子代雌果蠅出現(xiàn)長(zhǎng)翅白眼的概率。但如此解題的話，因計(jì)算量大、費(fèi)時(shí)費(fèi)力，錯(cuò)誤率高。因而可改進(jìn)思路：由子代雄蠅有兩種眼色，可知母本為雜合子紅眼果蠅，故父本為白眼(XbY)果蠅，此時(shí)其子代雌雄果蠅表現(xiàn)相同，故子代雌果蠅中出現(xiàn)長(zhǎng)翅白眼的概率亦為3/8。

例2 (2012年廣東卷)人類紅綠色盲的基因位于X染色體上，禿頂?shù)幕蛭挥诔Ｈ旧w上，結(jié)合表2信息可預(yù)測(cè)，圖1中Ⅱ3和Ⅱ4所生子女是：

A.非禿頂色盲兒子的概率為1/4

B.非禿頂色盲女兒的概率為1/8

C.禿頂色盲兒子的概率為1/8

D.禿頂色盲女兒的概率為0

表2 禿頂基因及其表現(xiàn)型

圖1 某家系禿頂/紅綠色盲遺傳圖

解析：據(jù)題意，II3的基因型為BbXAXa，II4的基因型為BBXaY。分開考慮，后代禿頂?shù)母怕蕿镻(禿)=1/4，P(非禿)=3/4；后代患紅綠色盲的概率為P(色)=1/2，P(非色)=1/2。但因?yàn)榇藭r(shí)是否禿頂與是否色盲患者及性別都是相關(guān)事件而非獨(dú)立事件，因此A項(xiàng)中非禿頂色盲兒子的概率是不能用P(非禿)×P(色)×1/2來計(jì)算的。正確的解法應(yīng)該是將兩種性別分開分析，如果是生兒子P(男)=1/2，P(非禿)=1/2，P(色)=1/2，故非禿頂色盲兒子的概率應(yīng)為上述三者之積，即1/8。或者直接將表現(xiàn)型(非禿頂色盲兒子)轉(zhuǎn)換為基因型(BBXaY)，此時(shí)基因型為BB和基因型為XaY為獨(dú)立事件，故其概率P=P(BB)×P(XaY)=1/2×1/4=1/8。同理可求得B選項(xiàng)(非禿頂色盲女兒的概率)為1/4；C選項(xiàng)(禿頂色盲兒子的概率)為1/8；D選項(xiàng)(禿頂色盲女兒的概率)為0。參考答案：CD。

2 二項(xiàng)分布

例3 試求一對(duì)白化基因的攜帶者夫妻，所生3個(gè)孩子中至少有2個(gè)正常的概率。

3 數(shù)列分析

在一些代數(shù)較多的雜交實(shí)驗(yàn)中，隨代數(shù)的增加，子代情況的相關(guān)運(yùn)算會(huì)變得非常復(fù)雜。此時(shí)用數(shù)列的思想進(jìn)行分析會(huì)使問題化繁為簡(jiǎn)。若將各代組成的一個(gè)總體看做一個(gè)數(shù)列，那么每一代的情況即為數(shù)列的每一項(xiàng)。因每一代的情況均直接決定于其上一代，那么只要找到每一代與其上一代情況的函數(shù)關(guān)系，即可運(yùn)用數(shù)列遞推的思想找到Fn中某種個(gè)體的比例與代數(shù)(n)之間的關(guān)系。

例4 (2013年山東卷)用基因型為Aa的小麥分別進(jìn)行連續(xù)自交、隨機(jī)交配，連續(xù)自交并逐代淘汰隱性個(gè)體、隨機(jī)交配并逐代淘汰隱性個(gè)體，根據(jù)各代Aa基因型頻率繪制曲線如圖2，下列分析錯(cuò)誤的是：

A．曲線Ⅱ的F3中Aa基因型頻率為0.4

B．曲線Ⅲ的F2中Aa基因型頻率為0.4

C．曲線Ⅳ的Fn中純合體的比例比上一代增加(1/2)n+1

D．曲線Ⅰ和Ⅳ的各子代間A和a的基因頻率始終相等

圖2 各代Aa基因型頻率曲線圖

解析：此題考查遺傳學(xué)分離定律的應(yīng)用，涉及到基因頻率和基因型頻率的計(jì)算，跳躍性強(qiáng)，計(jì)算量大，難度很高。連續(xù)自交時(shí)，設(shè)Fn中Aa基因型頻率為an，an=1/2an-1=1/4an-2=…=(1/2)n-1a1，顯然a1=1/2，故an=(1/2)n，對(duì)應(yīng)曲線為Ⅳ。此時(shí)，F(xiàn)n中純合體的比例比上一代應(yīng)增加(1/2)n，故C項(xiàng)錯(cuò)誤。連續(xù)自交時(shí)，F(xiàn)n中Aa基因型頻率為an=(1/2)n，AA與aa的基因型頻率均為an=1/2-(1/2n+1)。故連續(xù)自交并逐代淘汰隱性個(gè)體時(shí)，Aa基因型頻率為an=P(Aa)/[P(AA)+P(Aa)]=(1/2n)/[1/2+(1/2n+1)]=2/(2n+1)，對(duì)應(yīng)曲線為Ⅲ。F2中(即n=2時(shí))Aa基因型頻率為2/5，故B項(xiàng)正確。隨機(jī)交配且無選擇因素時(shí)，Aa基因型頻率不發(fā)生變化，故an=a1=1/2，對(duì)應(yīng)曲線為Ⅰ。結(jié)合上述對(duì)曲線Ⅳ的分析可知，D項(xiàng)正確。隨機(jī)交配并逐代淘汰隱性個(gè)體時(shí)，令Fn-1中Aa基因型頻率為an-1，則Fn-1中a基因頻率為p=an-1/2，A基因頻率為q=1-(an-1/2)。依據(jù)遺傳平衡定律，淘汰隱性個(gè)體前，F(xiàn)n中AA基因型頻率為q2，Aa基因型頻率為2pq。故淘汰隱性個(gè)體后，F(xiàn)n中Aa基因型頻率為an=P(Aa)/[P(AA)+P(Aa)]=2pq/(q2+2pq)，將p、q代入后得an=an-1/[1+(an-1/2)]，兩邊取倒數(shù)得1/an=(1/an-1)+1/2=(1/a1)+[(n-1)/2]。因此，a1(F1中Aa基因型頻率)為2/3，代入前式得1/an=(n+2)/2，故an=2/(n+2)，對(duì)應(yīng)曲線為Ⅱ。F3中(即n=3時(shí))Aa基因型頻率為2/5，故A項(xiàng)正確。參考答案：C。

4 分離比的檢驗(yàn)

孟德爾豌豆相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，F(xiàn)2的分離比有些與3∶1的理論分離比偏差很小。例如，子葉顏色為黃色：綠色=6022∶2001(3.01∶1)，種子形狀為圓形∶皺形=5474∶1850(2.96∶1)，將此偏差視為測(cè)量所允許的誤差范圍，學(xué)生有很高的認(rèn)同度。但有些與3∶1的理論分離比偏差相對(duì)較大。例如，花色為紫色∶白色=705∶224(3.15∶1)；豆莢顏色為綠色∶黃色=428∶152(2.82∶1)，此偏差是否仍在測(cè)量允許的誤差范圍，學(xué)生意見不盡相同。

測(cè)量允許的誤差范圍需要用一定的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行檢驗(yàn)。例如，分離比的檢驗(yàn)常采用χ2(卡方)作為實(shí)測(cè)值與理論值總偏差的一種統(tǒng)計(jì)量，然后進(jìn)行適合性檢驗(yàn)[1]。即將此χ2值與臨界值作比較，可以看出此偏差是否在誤差允許的范圍。

例5 孟德爾關(guān)于黃色圓粒和綠色皺粒豌豆的雜交實(shí)驗(yàn)，共獲得556粒F2代種子，其中黃色圓形、黃色皺形、綠色圓形和綠色皺形依次為315、101、108和32粒。試問此結(jié)果是否符合9∶3∶3∶1的分離比？

解析：χ2值的計(jì)算公式之一為圖3。其中fi為實(shí)測(cè)頻數(shù)，即F2中某一表現(xiàn)型的實(shí)際數(shù)量，E(fi)為理論頻數(shù)，即按9∶3∶3∶1的理論分離比計(jì)算所得的F2代中某一表現(xiàn)型的數(shù)量。故χ2=(315-312.75)2/312.75+(101-104.25)2/104.25+(108-104.25)2/104.25+(32-34.75)2/34.75=0.470。本例中自由度df=4-1=3，查χ2值表(一尾)可知χ2<0.58，即P>0.90。也就是說，可以有90%的置信水平認(rèn)為此分離比符合9∶3∶3∶1的理論分離比。

圖3 X2值的計(jì)算公式

對(duì)一對(duì)相對(duì)性狀的分離比及模擬實(shí)驗(yàn)的分離比可用同樣的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。并且此方法可在常用的EXCEL中通過編輯公式完成。因而可以在向?qū)W生簡(jiǎn)單闡明檢驗(yàn)原理后，快速檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并向?qū)W生直觀呈現(xiàn)檢驗(yàn)結(jié)果。讓學(xué)生不但知其然，更知其所以然。