非線性常微分方程邊值問題的求解

張孟

【摘要】本文研究了一類非線性常微分方程邊值問題的求解，由于常微分方程與實際應用問題聯(lián)系密切，文中結(jié)合了一種特定的物理現(xiàn)象，以此為背景建立運動微分方程，然后給出了三類邊界條件，最后對有限變形問題進行求解，得到了其非平凡解。

【關鍵詞】非線性常微分方程 邊值 求解

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）29-0133-02

一、運動微分方程的導出

首先引入Lagrange空間和Euler空間，前者代表物體變形前占有的空間，后者表示物體變形后占有的空間。物體在Lagrange空間中所占的區(qū)域被稱為初始構(gòu)型，記為Ω0，物體在Euler空間中所占的區(qū)域被稱為現(xiàn)時構(gòu)形，記為Ω。對于連續(xù)介質(zhì)中任意給定的物質(zhì)點，它在初始構(gòu)型中的物質(zhì)坐標（X1，X2，X3）是確定不變的，它在現(xiàn)時構(gòu)形中的位置坐標（x1，x2，x3）隨著變形的不同而不同。

x=x（X，t）

X=X（x，t）

由運動方程（1）和（2），可得

dx=FdX，dX=F■dx

方程（3）也可表示為：

dxk=xk，KdXK

方程（3）中F是式（1）的雅克比矩陣，被稱為變形梯度張量，是一個二階張量，并且有：

F=■或者F■=■=xk，K

對F進行分解，可以得到F的如下所示極分解表達式：

F=RU=VR

其中，R是一個正交張量；U和V表示的是伸長部分，它們是對稱正定張量，有相同的特征值。由（6）式可以推出

C=U■=F■F，B=V■=FF■

其中，C稱為右柯西-格林變形張量或者Green變形張量，B被稱為左柯西-格林變形張量或Finger變形張量。

兩個變形張量具有三個相同的主不變量：

I■=trC=trB=λ■■+λ■■+λ■■，

I■=λ■■λ■■+λ■■λ■■+λ■■λ■■，

I■=λ■■λ■■λ■■

變形后的線元dx、面元da和體元dv分別為

dx=FdX，dxk=Xk，KdXK，

da=JF■dA，da■=JX■dA■，

dv=JdV.

其中，J=det|F|。由此可以得到物體變形的不可壓縮條件為：

J=det|F|=1.

根據(jù)質(zhì)量守恒定律可以導出物體初始構(gòu)形的體密度ρ0和現(xiàn)時構(gòu)形的體密度ρ之間應該滿足的局部的連續(xù)性方程為：

ρJ=ρ0

在物體的現(xiàn)時構(gòu)形中，作用于物體面元上并且以n為外法線的應力矢量為

t（X，t，n）=σn，

其中，σ=（σij）稱為Cauchy應力張量，它只依賴于位置X及時間t，而不依賴于外法線矢量n。

根據(jù)Cauchy第一運動定律，可導出運動微分方程：

divσ+ρf=ρX

進一步地，可以根據(jù)Cauchy第二定律計算得到應力張量的對稱性，即

σ■=σ，σ■=σ■

二、邊界條件及方程求解

3.1 邊界條件

假設物體在初始構(gòu)形中占有的區(qū)域為Ω0，邊界為？墜Ω0。在現(xiàn)時構(gòu)形中，物體占有的區(qū)域為Ω，邊界為？墜Ω。則有以下三種可能的邊界條件：

（a）位移邊界條件

設在邊界？墜Ω0上，位移場u=x-X是已知的，則在？墜Ω0上有

u=■（X） （19）

其中，■（X）是關于X的已知函數(shù)。

（b）面力邊界條件

在現(xiàn)時構(gòu)形單位面積上的應力矢量t，可以用作用在初始構(gòu)形單位面積上的應力矢量P來表示，即有

tda=PdA （20）

其中，da，dA分別是現(xiàn)時構(gòu)形和初始構(gòu)形中物質(zhì)面元的面積，則應力矢量P與第一類Piola-Kirchhoff應力張量S有如下的關系

P=Sn， （21）

在拉格朗日框架內(nèi)，給定面力的邊界條件可表示為

Sn=■（X） （22）

（c）混合邊界條件

設邊界？墜Ω0=？墜Ω■■∪？墜Ω■■，在邊界？墜Ω■■上給定面力矢量■（X），在邊界？墜Ω■■上給定位移矢量，■（X），則混合邊界條件為

u=■（X），X∈？墜Ω■■ （23）

Sn=■（X），X∈？墜Ω■■ （24）

3.2 方程的求解

設球形結(jié)構(gòu)的內(nèi)外半徑分別為R1和R2.在球坐標中，設變形前球體占有的區(qū)域為D0，在球?qū)ΨQ變形的假設下，變形后的構(gòu)形為D。變形的主伸長λi及變形梯度張量F分別為

λr=r（R），λθ=λ？準=r（R）/R， （25）

F=diag（λr，λθ，λ？準） （26）

其中，字母上面的“點”都表示關于變量R的導數(shù)。

變形梯度張量F的雅克比行列式J=detF=1，從而有

r（R）=R■/r■（R）. （27）

柯西應力張量的各個非零分量為

■ σ■（R）=λi■-p（R）， （28）

其中，p是對應于不可壓縮條件λr，λθ，λ？準=1的靜水壓力，是一個待定函數(shù)。另外，此處重復的下標i不表示求和。

由（28）式，可得

σ■（R）=λr■-p（R）， （29）

σ■（R）=σ？準？準（R）=λθ■-p（R）， （30）

對（27）式積分，得到

r（R，c）=（R■+c■）■，R■≤R≤R■ （31）

由式（25）和式（31）可以得到

λr=（1+■）■，λθ=λ？準=（1+■）■ （32）

為了方便后面的應用，引入統(tǒng)一的無量綱記號：

η=η（R，c）=■=（1+■）■，x=■，δ=■ （33）

把式（32）重新記為

λr=η■，λθ=λ？準=η （34）

而且應變能函數(shù)（3.6）可記為

■（η）=W（η■，η，η■） （35）

將上面（33）（34）（35）帶入球形結(jié)構(gòu)的任意平衡構(gòu)形的總能量方程得到

■（x）=■=3x■■■dη-3p■[（1+x■）■-1] （36）

根據(jù)最小勢能原理，對應于球形結(jié)構(gòu)的任意構(gòu)形的平衡街可以由以下方程求得：

■=0 （37）

把式（36）帶入式（37）中，得到

x■[（1+x■）■■■dη-p■]=0 （38）

顯然，對任意給定的p0>0，x=0即c=0，恒滿足方程（38），次時球形結(jié)構(gòu)內(nèi)半徑仍為R1，因此，稱x=0為有限變形問題的平凡解。若存在x>0，即c>0，則有

p■=（1+x■■）■■■dη （39）

稱式（39）為有限變形問題的非平凡解。不難看出，對于給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)δ和不可壓縮超彈性材料，球形結(jié)構(gòu)內(nèi)部的徑向有限變形由方程（39）唯一確定。

參考文獻：

[1]賀愛娟. 一類非線性常微分方程邊值問題的求解方法及其解的定性分析[D].煙臺大學，2008.

[2]李興昌.非線性算子不動點理論與常微分方程正解的討論[D].曲阜師范大學，2012.

[3]胡銀萍.具有積分邊界條件的二階微分方程解的存在與唯一性[D].天津財經(jīng)大學，2012.