解三角形中的最值問題

趙志桐+高文華

【摘要】解三角形是歷年高考題的考察重點，屬于必考內容。在解三角形的問題當中，關于最大值、最小值、結果的范圍等問題屬于其中的難點問題。本文對于常見的解三角形中的極值問題進行了分類、歸納總結，使得學生能夠學會這類問題的通式通法，在考場上節約時間，提高做題效率。

【關鍵詞】高考 解三角形 重要不等式 最值

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）29-0147-02

在解三角形中，僅僅應用正弦定理以及余弦定理是不足以解決最值問題的，需要與其他知識相結合才能解決。接下來本文就對解三角形中最值問題常見的幾種情況進行討論。

1.利用重要不等式得出最值

有些題目通常利用正弦定理、余弦定理對題目的已知條件進行轉化，可以產生形如“ab”或“a2+b2”的形式，此時便可利用重要不等式“a2+b2≥2ab”，將其帶入得到最值。

例1已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為 。

解答：利用正、余弦定理以及同角三角函數基本關系可得到sinA=■。

根據正弦定理S△ABC=■bcsinA=■bc，由題目已知條件可得bc=c2+b2-4，將重要不等式帶入可得bc=c2+b2-4≥2bc-4，即bc≤4，帶入之前的式子得到△ABC面積的最大值為■。

在這道題目當中，通過對于正、余弦定理以及同角三角函數的基本關系綜合應用，將題目的已知條件進行轉化、變換，將所求的三角形面積化簡為■bc，將求三角形面積的最大值問題轉化為求bc的最大值。

接著將已知條件進行轉化從而產生包含重要不等式的形式，進而便能夠得到bc的最大值從而解決本題。

2.利用圖形來找到所求量的范圍

例2 在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 。

解答：∠A=∠B=∠C=75°，所以∠D=135°。又BC=2，所以當點D與點C重合時，由正弦定理可得■=■，解得AB=■-■；

當點D與點A重合時，由正弦定理可得■=■，解得AB=■+■，

因為ABCD為四邊形，所以AB∈（■-■，■+■）。

在這道題目之中，當點D與點C重合時，無法構成四角形，此時為AB邊長度的最小值；同理當點D與點A重合時，此時AB邊長度最大。所以只要分別求出這兩種情況下的AB的邊長，也就得到了邊長的最大值與最小值。

3.利用輔助角公式求解最值

例3：△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面積的最大值。

解答：（1）通過正弦定理可以解出∠B=■，具體過程略。

（2）由正弦定理可知，S△ABC=■acsinB，且有■=■=■=2■，由此可得，S△ABC=2■sinAsinC=2■sinAsin（π-A-B）=2■sinAsin（π-A-■）=2■sinAsin（■π-A）=2■sinA（■cosA+■sinA）=2sinAcosA+2sin2A=sin2A-cos2A+1=■sin（2A-■）+1，所以△ABC面積的最大值為■+1，當A=■時，取得最大值。

首先，利用正弦定理求解出∠B的值。第二問通過正弦定理將所求面積轉化為求sinAsinC最大值。接著利用上一問求出的∠B的大小，通過三角形內角和、兩角和與差公式、三角函數基本關系式以及誘導公式，將問題轉化為只包含一個角與一個三角函數的形式，從而解答出本題。

在解三角形當中涉及到最值問題通常是考試中的難點，只要系統化掌握高中階段所學知識，能夠靈活運用、融會貫通，這類問題便將迎刃而解。