從大學生創新能力的培養論微分學概念的教學

李兆豐　張淵淵

【摘 要】微分學是高等數學中的一個重要的組成部分，通過對其中兩個主要概念導數和微分的教學方法的闡述，使學生更深入地體會到數學概念的內涵，從而更好地用于解決實際問題，達到創新能力培養的目的。

【關鍵詞】創新能力；微分學概念；數學思維的遷徙

0 引言

高等數學是人類思維的偉大成果之一，它處于自然科學和人文科學之間的地位，是它成為高等教育的一種特別有效的工具。遺憾的是，微積分的教學方法有時流于機械，不能體現出這門學科乃是一種撼人心靈的智力奮斗的結晶[1]。這種教學模式導致的直接后果是使得學生的學習積極性不高，或者是學生只是記住了微積分中的一些概念及運算法則，對微積分的應用及內涵理解不夠。很多同學感覺上課聽懂了，但就是不會做題，或者不會把所學的微積分知識與專業知識相結合，這都是沒深入理解概念的原因，這樣不利于學生形成良好的學習習慣和創新能力的培養。本文從微積分中兩個重要的概念：可導與可微之間的關系為例來闡述在教學過程中如何從提出問題引導學生自主探索到解決問題，領悟數學思想及方法從而有助于創新能力的提高。

1 一元函數的微分學概念

1.1 導數的概念的教學

導數是一元函數微分學中的一個重要的概念，它的定義又是一種比較抽象的方式，學生理解得不夠深入，也就導致不能很好地應用這一概念去解決其他相關的問題。這里的教學難點在于學生剛剛進入高等數學的學習，而初等數學中往往是“靜態”的，沒有極限中“無限趨近”的直觀理解，例如在講解導數這節中，大部分教材都是以物理學中的“瞬時速度”為例，學生能很快算出一段時間內的“平均速度”，而不能接受某點的“瞬時速度”這一概念，這時教師要循序漸進地引導學生自主探索，體驗從提出問題到分析解決問題的全過程，領悟數學思想及方法。首先讓學生算出某段時間Δt內的平均速度Δv=■，當Δt非常小時，Δv≈■，但無論Δt如何小，Δv都只能是某一時刻的瞬時速度的近似值，只有在Δt→0時，的極限值存在時，我們才認為極限值是這一時刻的瞬時速度。在學生理解了瞬時速度的算法后抽象出來數學中的導數這一概念，即讓學生理解導數是函數在某一點的瞬時變化率，學生弄清楚導數這一概念的來歷之后教師可以適當地加入其它的例子來加深這一概念的理解，更深入地感受導數這一概念的實質，例如直線運動中物理的加速度是速度的變化量與時間變化量之比的極限，經濟學中的邊際成本、邊際收入及邊際利潤等是經濟變量對自變量變化量之比的極限，利用導數研究經濟變量的變化是經濟理論中重要的分析方法[2]。通過多不同學科的例子，使學生體會到凡是涉及到函數變化率的問題都可以用導數的思想來解決，加深對導數這一概念的理解，讓學生意識到其來自于具體的實際問題，反過來也用來解決實際問題。這樣學生在以后的學習中就會融會貫通，達到創造型思維的培養。

1.2 導數與微分之間的聯系

微分是高等數學中的另一個重要的概念之一，它與導數有著緊密的聯系，但又是與導數有著不同的涵義。現在的教材[4]絕大多數都是從一個正方形金屬薄片在受熱其邊長變化Δx時計算其表面積的變化量，然后推廣到一般的函數，即函數的增量Δy=f（x+Δx）-f（x）如果能表示為Δy=AΔx+o（Δx），其中A為不依賴與Δx的常數，o（Δx）是高階無窮小。這樣的過度顯得有些突兀，不夠順暢，學生往往此時感到很疑惑。這其中的一個原因是例證不足，分析不夠充分，教師此時應多聯系實際，舉日常生活中常見實例，使學生有感性的認識，這樣學生就容易把所學知識運用于實際，達到數學思維的遷徙，也有助于創新能力的培養。例如可以把正方形薄片換成扇形和球形等，讓學生自己去計算系數A，從而去體會的確切涵義，恰恰是函數在某點的導數。再例如在汽車行駛中的速碼表，汽車在一分鐘內向前行駛的距離，就是微分在現實生活中的一個例子，而速度正好是汽車在這一時刻的導數。學生在自己計算出A即是導數后，就會自然想到這是否是個巧合？這時再從數學角度給出導數和微分的定義，學生就往往比較容易接受，實現了概念的同化，同化一詞的基本含義是接納、吸收和融化為自身的一部分，實現概念同化依賴于兩個條件：一是學習者原有的認知結構中必須具有相關的概念和規則，即同化點；二是給學習者呈現的新概念的表述必須是清楚的。教師在教學過程中應注意多啟發學生自主思考，以達到用創新思維解決不同問題的目的。

2 結束語

現代教學越來越重視大學生創新能力的培養，如前文所述，高等數學教師在教學過程中，應適當地摒棄繁雜的數學定理的推導與證明，多注重理論聯系實際，使學生自主學習、自主思考，促使數學思維向不同學術領域的遷徙，有助于創新能力的提高。

【參考文獻】

[1]卡爾·B·波耶.微積分概念發展史，復旦大學出版社，2007年.

[2]顧靜相.經濟數學基礎[M].北京：北京高等教育出版社，2009.

[3]曾玖紅.從認知心理學角度論微分概念的教學，數學教育學報，第21卷第四期，2012.8.

[4]同濟大學數學系，高等數學[M].北京：北京高等教育出版社.

[5]梁寧建.當代認知心理學[M].上海：上海教育出版社，2003.

[責任編輯：朱麗娜]