多普勒效應(yīng)定量公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用

胡元康

摘 要：本文采用簡單方法，從現(xiàn)象到本質(zhì)，從特殊到一般，對(duì)多普勒效應(yīng)進(jìn)行了系統(tǒng)分析，逐步推導(dǎo)出多普勒效應(yīng)定量公式；為了易于理解，通過舉例說明其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：多普勒效應(yīng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)；波源頻率；接收頻率

引言

多普勒效應(yīng)是一個(gè)常見的物理現(xiàn)象，它就是波在傳播的過程中，波源與接收者之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收者會(huì)感到波的頻率會(huì)變高或變低。例如，火車鳴笛進(jìn)站時(shí)，站臺(tái)上的人聽到汽笛聲音調(diào)變高，即頻率變高；火車鳴笛而去，聽到汽笛聲音調(diào)變低，即頻率變小。

多普勒效應(yīng)中，包含三個(gè)對(duì)象：即發(fā)出波的波源、波和接收者；有三個(gè)物理量：即速度、頻率和波長。為了分析方便，假設(shè)波源、接收者和波傳播的方向在同一直線上，選取靜止的介質(zhì)為參照系。在這個(gè)參照系中，設(shè)波源運(yùn)動(dòng)速度為u，波源發(fā)出波的頻率為f0，波長為λ0，波在介質(zhì)中傳播的速度為V；接收者運(yùn)動(dòng)的速度為υ，接收者接收頻率為f'，波長為λ'。在多普勒效應(yīng)中，存在三種相對(duì)運(yùn)動(dòng)：波源靜止（u=0），接收者運(yùn)動(dòng)；接收者靜止（υ=0），波源運(yùn)動(dòng)；波源與接收者同時(shí)運(yùn)動(dòng)。下面分別進(jìn)行討論。

1 公式推導(dǎo)分析

1.1 波源靜止（u=0），接收者運(yùn)動(dòng)

這種情況，存在兩種運(yùn)動(dòng)，即接收者靠近波源和遠(yuǎn)離波源。

（1）接收者靠近波源

此時(shí)，波以速度V在運(yùn)動(dòng)，在單位時(shí)間內(nèi)，波源發(fā)出了 f0個(gè)波走的距離為V，接收者在單位時(shí)間內(nèi)向波源運(yùn)動(dòng)了υ的距離。也就是波相對(duì)于接收者走過了V+υ的距離，即單位時(shí)間內(nèi)，越過接收者波的個(gè)數(shù)為：

■=■f0 （1）

即接收者接收頻率為：

f'=■f0 （2）

（2）接收者遠(yuǎn)離波源

此時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)，波相對(duì)于接收者走過了V-υ的距離，可得接收者接收頻率為：

f'=■f0 （3）

綜合（2）、（3）式為：

f'=■f0 （4）

波源靜止（u=0），接收者運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)是波相對(duì)于接收者的速度發(fā)生了改變，導(dǎo)致接收者接收波的頻率發(fā)生變化。當(dāng)接收者靠近波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，分子上取“+”，頻率變大；遠(yuǎn)離波源時(shí)，分子上取“-”，頻率變小。

1.2 接收者靜止（υ=0），波源運(yùn)動(dòng)

這種情況，也存在兩種運(yùn)動(dòng)：波源靠近接收者和遠(yuǎn)離接收者。

（1）波源靠近接收者

此時(shí)，要注意波源在運(yùn)動(dòng)，波也在運(yùn)動(dòng)，波源和波同時(shí)靠近接收者。在單位時(shí)間內(nèi)，波源發(fā)出波個(gè)數(shù)為f0，在Δt時(shí)間內(nèi)，波源發(fā)出波個(gè)數(shù)為Δtf0，波源移動(dòng)距離為Δtu，波通過距離為ΔtV。波源發(fā)出Δtf0個(gè)波均勻地分布在ΔtV-Δtu（假設(shè)波傳播速度大于波源移動(dòng)速度）這段距離之內(nèi)，則此時(shí)的波長為：

λ'=■=■ （5）

接收者接收頻率為：

f'=■=■f0 （6）

（2）波源遠(yuǎn)離接收者

同理，當(dāng)波源遠(yuǎn)離接收者，在Δt時(shí)間內(nèi)，波源發(fā)出Δtf0個(gè)波均勻地分布在ΔtV+Δtu這段距離之內(nèi)，此時(shí)波長為：

λ'=■=■ （7）

接收者接收頻率為：

f'=■=■f0 （8）

綜合（6）、（8）式為：

f'=■f0 （9）

接收者靜止（υ=0），波源運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)是波的波長發(fā)生了變化，導(dǎo)致接收者接收頻率發(fā)生了變化。波源靠近接收者時(shí)，分母上取“-”，頻率增加；波源遠(yuǎn)離接收者時(shí)，分母上取“+”，頻率變小。

1.3 波源與接收者同時(shí)運(yùn)動(dòng)

（1）相向運(yùn)動(dòng)

當(dāng)波源與接收者同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，實(shí)質(zhì)上，波相對(duì)于接收者的速度、波的波長都發(fā)生了變化。此時(shí)，首先分析接收者以υ的速度靠近波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，波以速度V+υ通過接收者。根據(jù)（1）式，可知接收者接收頻率為：

f'=■ （10）

同時(shí)，波源又靠近接收者，根據(jù)（5）式，可知波長為：

λ'=■ （11）

綜合（10）、（11）式可得：

f'=■=■f0 （12）

由（12）式可知，波源與接收者相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，互相靠近，接收者接收頻率變大。

（2）反向運(yùn)動(dòng)

同理，當(dāng)波源與接收者反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于接收者離開波源，波以速度通過接收者，根據(jù)（3）式，可知接收者接收頻率為：

f'=■ （13）

同時(shí)，波源又遠(yuǎn)離接收者，根據(jù)（5）式，可知波長為：

λ'=■ （14）

綜合（10）、（11）式可得：

f'=■=■f0 （15）

由（15）式可知，波源與接收者反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，互相遠(yuǎn)離，接收者接收頻率變小。

綜合以上分析，可以將（12）、（15）式合并，用來表示波源、波和接收者三者之間速度、頻率的關(guān)系，得到多普勒效應(yīng)的一般定量公式：

f'=■f0 （16）

其中，取正負(fù)符號(hào)的規(guī)則是：接收者靠近波源，分子上取“+”，遠(yuǎn)離波源，分子上取“-”；波源靠近接收者，分母上取 “-”，遠(yuǎn)離波源，分母上取“+”。

（3）追及運(yùn)動(dòng)

波源與接收者之間的追及運(yùn)動(dòng)，是多普勒效應(yīng)中的特殊情況，遇到這類問題時(shí)，主要是把握住接收者和波源之間是靠近還是遠(yuǎn)離的情況，根據(jù)（16）式正負(fù)符號(hào)的規(guī)則，具體情況具體分析。

2 應(yīng)用舉例

下面通過舉例來說明多普勒效應(yīng)一般公式的應(yīng)用。

例1：一列火車以40m/s的速度行駛，火車上汽笛的頻率為600Hz，如果接收者以5m/s的速度向火車駛來的方向奔跑，他聽到的汽笛的頻率為多少。（設(shè)聲速為340m/s）。

解：這是一個(gè)接收者與波源同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（12）式，可以得到：

f'=■f0=■×600=690（Hz）

例2：蝙蝠以5m/s的速度撲向夜蛾，發(fā)出60kHz的信號(hào)，夜蛾收到信號(hào)后，以3m/s的速度逃離，問逃離時(shí)夜蛾接收頻率是多少。（設(shè)聲速為340m/s）。

解：這是一個(gè)接收者與波源之間追及運(yùn)動(dòng)的問題，蝙蝠是波源，夜蛾是接收者，夜蛾對(duì)蝙蝠來說，是遠(yuǎn)離，因此，（16）式中分子上取“-”。蝙蝠相對(duì)于夜蛾來說，是靠近，因此，（16）式中分母上取“-”。于是，夜蛾獲得的信號(hào)頻率為：

f'=■f0=■×60=60.35（Hz）

3 結(jié)論

通過上述分析推導(dǎo)，學(xué)生會(huì)對(duì)多普勒效應(yīng)有更深地理解，只要把握住多普勒效應(yīng)中包含的三個(gè)對(duì)象（波源、波和接收者）和三個(gè)物理量（速度、頻率和波長），理解其相對(duì)運(yùn)動(dòng)中實(shí)質(zhì)性的變化，波源靜止，接收者運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)是波相對(duì)于接收者的速度發(fā)生了改變；接收者靜止，波源運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)是波的波長發(fā)生了變化；同時(shí)，掌握多普勒效應(yīng)一般公式中分子分母正負(fù)符號(hào)的準(zhǔn)則，許多多普勒效應(yīng)的問題都可以迎難而解。

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