立足高處，敢于創新

尤柳青

[摘 要] 數學知識是相互聯系的，但學生學習時的各知識點間卻是相互獨立的. 如何讓學生的數學學習更生動連貫、更具邏輯性？這就需要我們在平時教學時，立足系統高度、大膽創新. 本文以《導數的幾何意義》為例加以闡述.

[關鍵詞] 聯系；系統；全面

[?] 研究緣起

“一葉障目”告訴我們不能被局部或暫時的現象所迷惑，否則將看不到事物的全貌，無法認清根本問題. 當我們處于城市之中，我們可能只能發現交通的擁堵、人潮的匆忙，而當我們站在高處時，我們將會發現交通的井然有序與城市的大局之美.

學習數學也是一樣，當我們學習一個個知識點的時候，我們可能會覺得它們雜亂無章而又晦澀難懂，但當我們跳出局部，立足高處看待時，我們就會發現數學知識點之間的聯系與優美，甚至是數學與生活、與其他學科的綜合之美.

站在高處看問題，從系統層面看知識. 正如，一百個人看《哈姆雷特》，就有一百個哈姆雷特，學習數學也是一樣的. 課本是編排好的，都一樣的，但每個人心中都有一本屬于自己個人的數學書，這是不同的，它們有著不同的建構、聯系.

建構主義認為，學習不是簡單的知識的傳遞，而是學習者建構自己的知識經驗的過程，這種建構是通過新舊經驗之間的雙向的、反復的相互作用而實現的. 知識的建構是一個積極主動的活動. 首先，知識建構試圖將新知識與更廣泛的知識經驗聯系起來，成為整合的知識體系，而不只是與某一兩個觀念建立聯結. 其次，學習者不只是理解和記憶現成的結論，而是要形成屬于自己的知識.

作為一個數學教師，我們要幫助學生更好地完成、完善這本數學書，讓學生能更符合學情和認知規律地構建知識框架. 數學知識之間都有著緊密的聯系，我們應當用聯系的眼光來看問題，根據學情大膽超越、重構. 以《導數的幾何意義》教學中的探究新知環節為例進行闡述.

[?] 教學片段

數學，是研究數與形的學科，函數更是數與形的完美結合體.在研究了函數導數的代數定義之后，我們要引導學生從圖形角度進行研究，嘗試是否有新的發現.

師：同學們，在學習了導數的定義后，我們知道了導數f ′（x0）就是函數f（x）在x=x0處的瞬時變化率，那么在函數圖像上，你能否找出導數所代表的含義呢？

合作探究：以函數f（x）=x為例，若x0=1時，求當Δx取以下值時函數的平均變化率：①Δx=1；②Δx=；③Δx=；④Δx=；⑤Δx→0.

請分組分別求出，并在圖上進行表示（其中⑤為共同完成的思考題）.

小組合作探究并展示（以①為例，其余省略）：根據公式，得當Δx=1時，平均變化率為===-1≈0.4142. 并得圖1.

引導學生觀察.

生1：當點Pn趨向于點P時，割線PPn趨近于點P處的切線.

追問：那么平均變化率表示的是什么呢？

生1：平均變化率表示的是割線PPn的斜率，且當Δx→0時，平均變化率就變成了瞬時變化率，即導數.也就是說，導數表示的就是點P處的切線的斜率.

師生：當點Pn趨向于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定的直線稱為點P處的切線，記為PT.

利用幾何畫板動態展示、驗證，并得到當Δx→0時，割線PPn的斜率無限趨近于曲線f（x）在P點處的切線PT的斜率. 因此，函數f（x）在x=x0處的導數就是切線PT的斜率k，即

k==f ′（x0）.

例：請分組分別求出以下函數在x=x0時的導數值：①f（x）=c（c為實常數）；②f（x）=x；③f（x）=x2；④f（x）=x3.

其中前3題直接小組板演展示，最后一題展示并解說：

根據f ′（x0）=

=

=

=

=[3x+3x0·Δx+（Δx）2]

=3x.

師點評：根據整體板演情況，對學生的學習與努力表示充分的肯定，同時對各種符號的錯誤進行再一次的更正與強調.

集體小結：從解題過程中，可以清晰地感受到，當x=x0時，f ′（x0）是一個確定的數. 這樣，當x變化時，f ′（x0）便是x的一個函數，我們稱它為f（x）的導函數（簡稱導數）.

y=f（x）的導函數有時也記作y′，即f ′（x）=y′=.

追問：根據解答，我們可以知道例題中的四個函數的相應導函數：

①f（x）=c（c為實常數） f ′（x）=0

②f（x）=x f ′（x）=1

③f（x）=x2 f ′（x）=2x

④f（x）=x3 f ′（x）=3x2

你能找到它們之間的規律嗎？如果把函數和它的導函數在同一直角坐標系中畫出，你又能找到什么規律呢？請分組討論、研究.

組1：我們組發現，如果函數是f（x）=xn，那么導函數是f ′（x）=nxn-1.

追問：n有何要求嗎？

組1：正整數.

追問：n為負數行嗎？比如n=-1？

組1（猶豫）：好像可以.

師：組1對于“如果函數是f（x）=xn，那么導函數是f ′（x）=nxn-1”的發現并推廣非常不錯，但我們仍需對n的范圍進行研究，請作為課后作業進行思考，期待大家下節課的精彩解答.

組2：我們把函數和它的導函數畫在同一直角坐標系中，如下：根據導數的幾何意義，我們知道導數就是曲線在各點處的斜率. 而初中我們知道，斜率k>0，則函數為增函數；反之，為減函數. 所以我們組將函數的單調性與導函數的正負聯系起來看，發現：當導函數大于0時，函數單調遞增；反之，則單調遞減.

該回答得到了班里的一陣叫好聲，講解準確，規律清晰，引起了同學的共鳴，并立即引發了同學的下一個思考.

組3：根據初中知識，我們知道，斜率k越大，函數變化越快、圖像越陡峭. 同樣的，當f ′（x）的值越大時，就相當于斜率k越大，則函數變化越快、圖像越陡峭.

小結：根據組2和組3的規律得：導數的正負決定函數的增、減，且導數絕對值越大，函數圖像越陡峭. 其中，“導數的正、負決定函數的增、減”是導數應用的基礎，也是我們考試的重點之一，往往作為壓軸題出現，此時，數形結合是我們解題的一個重要思想方法.

設計意圖： f（x）=c（c為實常數）， f（x）=x， f（x）=x2， f（x）=x3是導數應用中的幾個常用函數，對它們進行求導，既可以鍛煉、鞏固學生對導數的理解與應用，又為下節課“幾個常用函數的導數”的學習做好鋪墊. 同時，又因為這幾個函數及其導數都是較為常見的簡單函數，通過對它們的探索、研究，可以更有利于學生對導數與函數之間關系的尋得與理解. 由淺入深，更符合學生的學習規律.

[?] 反思與提升

立足高處，可從“三高”入手：

（1）高在系統，從知識之間的相互聯系、前后關系入手. 高中數學知識看似一個個相互獨立，實際有著千絲萬縷的聯系. 比如，當我們用“類比”的眼光看數學時，我們會發現：平面向量和空間向量有著從“二維”到“三維”變化的聯系；指數函數和對數函數互為反函數，有著極為密切的對稱關系；圓、橢圓、雙曲線、拋物線是不同截面對雙圓錐截取而得，也有著離心率逐漸變化的聯系.

（2）高在綜合，從學科之間的聯系入手. 培根說：“數學是打開科學大門的鑰匙.”幾千年來，凡是有意義的科學理論與實踐成就，無一例外地借助于數學的力量. 我們在教學過程中，應該滲透這種思想，讓學生體會到數學的實用性與趣味性.

如在對數教學時，我們將無理數e=2.71828…稱為自然常數，該數是我們高中階段數學學習的一個重要常數，然而學生對其很難理解. 此時，如果我們將其具有的特性進行闡述，學生將會非常樂于接受：數學家歐拉把

1+

=2.71828…記作e；e與對數螺線、阿基米德螺線、回旋螺線等有著密切關系，而正是這些螺線在自然界的應用（如向日葵花盤、樹葉生長），才有了我們現在生存的美麗世界.

（3）高在生活，從知識應用的角度入手. 越來越熱門的數學建模競賽，比的就是學生自身對于知識的應用能力. 在我們高中教學中，我們也可以將建模思想逐漸滲透，既可以增加課堂的趣味性，又可以讓知識得到很好的運用.

在選修2-2《1.3.1函數的單調性與導數》中的例3，就是一個很好的立足高處、應用實際的問題：

如圖7，水以恒速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數關系圖像.

[?] 結束語

“要給學生一杯水，老師要有一桶水.” 這句話曾經在教育界一度非常流行，意思是教師要比學生懂得更多、更豐富的知識，才有資格成為一名教書育人的老師. 但在信息高速發達、社會快速進步的今天，這句話也給我們提出了更高的要求. 學無止盡，立足高處，敢于創新. 為了給學生更好的教育，讓我們教育工作者不斷努力，不斷學習，拓開思路，攜手共進.