MKT教學取向下的高中數學教學

蔣珊珊

[摘 要] MKT是“面向教學的數學知識”，其強調以有效的數學知識質量支撐教學，強調在教學的視角下關注數學知識. MKT教學取向下，有一些容易忽視的問題會被凸顯并能彰顯其意義，如對學生在數學學習困難中的關注，如教師的數學學科知識質量等. 理解“面向教學的數學知識”，需要教師從學生知識建構的角度思考知識的發生過程，從而讓數學知識真正具有教學意義. MKT理論還可以促進教師的專業成長.

[關鍵詞] 高中數學；數學教學；MKT理論；等差數列

MKT是Mathematical Knowledge for Teaching的簡稱，是“面向教學的數學知識”的意思，其包括“數學學科知識”與“數學學科教學知識”兩個方面. MKT之所以能夠引發廣大數學教學研究者以及一線教師的興趣，一個很重要的方面，就是因為其秉承了一個觀點，即在深刻理解學科知識的基礎之上能夠形成對教育教學的見解. 這對于傳統的數學教學理解來說還是有一定的啟發意義的. 傳統的高中數學教學所堅持的一個重要觀念是面向數學知識進行教學，強調數學知識對教學的導向性. 而MKT則是強調學科知識對學科教學的支撐作用，也強調學科知識在學科教學的環境中的特殊理解，這就使得教師在數學教學中可以重新建立一個角色，即認真研究數學學科知識并發掘其教學意義的角色. 基于這樣的理解，筆者對一些重要數學概念的教學進行了嘗試，取得了一些認識. 此處試以“等差數列”的教學為例，談談筆者的收獲.

[?] MKT理論強調對數學學習困難的關注

教學是面向學生的，高中數學教學橫比異于其他學科的特征在于其高度繁雜、高度抽象，要真正建構起完整的高中數學知識的結構是很不容易的；縱比相對于義務教育階段的數學學習而言，其表現出來的邏輯體系是此前的數學知識所難以比擬的. 因此，無論是橫比還是縱比，學生在數學學習中所表現出來的困難都是不可小覷的. MKT理論強調對學生在數學學習中表現出來的困難要高度關注，并認為良好的教學水平表現之一，就是對學生學習困難的有效預測和診斷.

以“等差數列”為例，學生在建構這一概念的時候可能會遇到什么困難？經驗與研究表明，學生對于等差數列的簡單例子是可以順利建構理解的，因為這可以由他們生活中所熟知的諸如奧運會舉行的年份、自然數集合等事例來支撐. 但是對于用數學語言來描述等差數列是存在困難的，尤其是在定義首項、公差和通項的基礎上去對等差數列的概念作一個抽象的表述，以及通過等差數列的通項公式來描述等差數列，對于超過一半的學生來說都是一個不小的挑戰. 而學生出現這樣的困難也是正常的，因為即使是高中的學生，他們在數學學習中也更擅長于對包含具體數據的數學事例進行思維加工，而對于概括性較強的、以符號表示某種數學規律的數學語言加工比較困難.

在這樣的基礎上再次思考MKT的本義即“面向教學的數學知識”，可以發現學生在等差數列學習中所遇到的困難應當尋找一定的化解途徑. 對此，筆者的分析是：從純粹數學的意義來看，等差數列的概念“一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數”的表述，是高度概括的；而從教學的視角來看，這一知識的形成過程是需要精心設計的，而結合學生的思維特點，讓學生尋找生活中的等差數列事例并通過分析、綜合的學習過程，去逐步獲得對等差數列的層次越來越高的概括，以逐步幫學生從自己的經驗走向抽象的數學定義，是有效的教學方式.

在具體的實踐中，學生在舉例環節是沒有問題的，在分析、綜合的環節，往往通過一兩個例子的分析，再通過第三或第四個例子的佐證，也都能發現這些等差數列的例子中后一項與前一項的差為常數. 于是進入概念形成的關鍵環節，此時筆者將重心放在通項公式的探究上，這個探究從一個問題開始：既然等差數列表現出一種強烈的規律性，那么在表示等差數列的時候，除了將其一一列出之外，還有沒有一種概括性更高的辦法，不用寫每一項，而是用一個符號能夠代表每一項呢？這個問題通俗易懂，也符合學生此時的思維需要——學生的內心實際上也是有類似的想法的. 而有了這個想法之后，對于用首項和公差來獲得通項公式的關鍵其實就在于首項的加入，因為公差是一目了然的，只要引導學生發現并概括其等差規律加上首項，即可完成對通項的描述.

在這樣的教學思路中，基于對學生學習存在的困難的關注，進而確定教學的重點，使得等差數列的概念及通項公式的構建，成為一個適切學生學習需要的過程，有效地彰顯了MKT理論的指導意義.

[?] 數學教師學科知識的質量影響著教學

實際上，MKT理論不僅是一個指導教師教學的理論，還是一個指導教師專業成長的理論，很多國內資深的教育專家都對該理論在教師專業成長方面作出了研究. 筆者這里想結合等差數列知識的教學，談談如何在該理論之下關注自身的學科知識的質量.

通常情況下，我們認為高中數學教師的知識質量與教學是匹配的，這可以由當前的考試評價看出來. 但是仍然需要注意的是，如果高中數學教師能夠對自身的知識結構有一個更高層次的把握，那在教學中必定能夠站在一個更高的角度去觀察學生的學習，而這正是MKT理論的重要要求. 當然，我們所說的學科知識質量不只是對學科知識的掌握質量，還包括教學視角下的學科知識運用的質量.

等差數列對于絕大多數高中數學教師來說并不是一個高深的知識，很多時候甚至因為其簡單而重視不夠（畢竟等差數列是數列知識體系中最基本的一個）. 而事實上，無論是從數學發展中來看，還是從學生的數學學習過程來看（MKT理論要求面向教學去建構數學知識，所需要的其實也就是對學生數學學習過程的研究），等差數列都不是想象的那么簡單.

比如說，在建構等差數列概念的時候，筆者似乎很少看到將此知識與學生所學的一次函數產生聯系的情形，但等差數列的an=a+（n-1）d的表達式與y=kx+b何其像也！而教學經驗也表明，在本知識學習的過程中，確實有學生就將兩者結合起來了，在學習的過程中就在下面吱唔：咦！怎么與一次函數的表達式有點像？其實這種聯系在教師的思維中就應當是存在的；又比如，也很少有教師在教授等差數列的時候能夠想到矩陣的知識，但實際上等差數列的通項公式是可以表示成矩陣的，而這也應當成為教師等差數列知識結構中的知識.

像這樣的例子還有很多，可以肯定地講，教師大腦中關于等差數列的知識越豐富，那知識的質量也就越高，在教學中也就更有可能高屋建瓴. 在這里顯然可以看到的是，像等差數列知識的質量提升，不僅來源于更高層次的系統性知識的學習，也在于對學生學習過程的關注. 做到這兩點，教師知識質量便真的能夠服務于教學，從而也就可以真正做到“面向教學”去建構“數學知識”. 于是這里也就涉及對“面向教學的數學知識”的進一步的理解.

[?] “面向教學的數學知識”的數學教學理解

“面向教學的數學知識”與“數學知識”的理解顯然不完全相同，因為“面向教學”的條件限定，決定了這是隸屬于教師教育教學專業的數學知識的掌握，其與純粹的數學研究視角下數學知識的掌握顯然并不相同. 而這其中最大的不同在于，MKT理論所說的“面向教學的數學知識”是要賦予“數學知識”以“面向教學”的意義的，也意味著教師要關注的不只是數學知識的形成過程，更要在學生的認知視角下發現數學知識是如何形成的.

等差數列在數學史中的形成過程較為復雜，不同文獻給出的解釋也有所不同，但這種對數學史及其細節的追究并不影響等差數列的教學，因為對于教師來說，我們更需要關注的是學生在學過了集合、函數、數列等基本概念的基礎上，如何有效地構建出等差數列的概念，并能夠用高度抽象的文字語言、公式語言來描述等差數列. 只要解決了這個問題，等差數列這一“數學知識”就是真正的“面向教學”了.

也因此，MKT理論下的教師，更多要關注的其實是學生思維中數學知識的形成過程，當然如上面第二點所說，這一過程的關注離不開教師的知識質量這一基本面. 但無論如何，“面向教學”才是核心，才是方向性引領的關鍵. 而根據筆者的經驗，用MKT理論視角來研究高中數學教學，還是需要有一定的層次性的，教師占有了一個知識，或者有了一個新發現之后，要思考如何將其有效地納入數學教學，這也是一個具有挑戰性的方面. 像上面提到的等差數列的通項公式與一次函數的形似，就可以成為教學的一個基礎；而像其與矩陣的關系，只適宜作為教師的一種知識架構，想向學生傳遞是需要慎重考慮的.

總之，高中數學教學中基于MKT理論視角來研究教學，是一個非常有益的嘗試，教學作為一種特殊的師生交流活動，其意義可以在MKT理論視角下得到更清晰的映照.