談高考試題中“向量投影”知識的運用

徐曉紅

[摘 要] 在解決數量積等問題中，學生常常沒有將“向量投影”處于一種優先考慮的策略. 而某些向量問題，通過數量積的幾何意義的優先考慮與恰當表征，有助于簡約問題解決的思維長度，從而順利地解決面臨的問題.

[關鍵詞] 高考試題；向量；投影

平面向量具有代數與幾何的雙重身份，是溝通代數、幾何與三角的橋梁，它是中學數學知識網絡重要的交匯點，也是高考中命題的重點與熱點. 在高考中大多以選擇題和填空題的形式出現，題目靈活、多變，部分題目以能力立意命題，要求學生有一定的數形結合思想和能力. 但筆者在高三教學中發現很多學生在解決向量問題時存在著思維選擇上的策略問題. 下面以一道浙江省2016年高考理科向量試題為例加以說明.

[?] 問題展示

問題：已知向量a，b，

a

=1，

b

=2，若對任意單位向量e，均有

a·e

+

b·e

≤，則a·b的最大值是________.

筆者在課堂上曾讓學生們就這道試題進行求解，結果發現除了一部分學生碰到了思維障礙，未能成功解決問題之外，其他解決問題的學生基本上用了如下兩種解法當中的一種，并且采用解法2的學生都在相同的一本參考書上學習過了這種解法.

解法1 如圖1所示：

設=a，=b，=e，〈a，e〉=α，〈b，e〉=β，而〈a，b〉=θ，則

a·e

+

b·e

=cosα+2cosβ=cosα+2

cos（θ-α）

，取得最值時，顯然cosα與cos（θ-α）同號，故

a·e

+

b·e

≤cosα+2cos（θ-α） =（2cosθ+1）cosα+2sinθsinα=

·sin（α+γ）=sin（α+γ）≤. （其中sinγ=，cosγ=，取γ∈[0，2π）），顯然≤，故cosθ≤，由于a·b=

a

b

cosθ=2cosθ，則易知當cosθ=時，（a·b）max=.

解法2 由題意，可令e=（1，0），a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），由

a·e

+

b·e

≤可得cosα+2cosβ≤①，sinα+2sinβ=m②.

①2+②2得：4（cosαcosβ +sinαsinβ）≤1+m2對一切實數α，β恒成立，所以

4（cosαcosβ +sinαsinβ）≤1. 故a·b=2（cosαcosβ+sinαsinβ）≤2（cosαcosβ+sinαsinβ）≤，故（a·b）max=.

從解題過程上看，解法1顯得過于復雜煩瑣，而解法2雖從思路上看起來別具一格，但并不符合學生常規的思維脈絡，并且嚴謹性不夠，還需檢驗α，β是否能夠取到. 實際上，這道問題有著思路更為簡潔明了、過程更為言簡意賅的解法，具體如下.

解法3：由于

（a+b）·e

≤

a·e

+

b·e

≤，而因為a+b在e方向上的投影等于a，b在e方向上的投影之和，所以當e與a+b共線時，取得最大值，則（

a+b

）max=，即（

a

2+

b

2+2a·b）max=6，于是（a·b）max=，即最大值為.

[?] 原因剖析

為什么會出現如上的情況呢？筆者經過與學生、其他同行的交流以及結合自己的分析思考，認為可能是由于以下原因導致的.

在高中教材必修4中指出數量積的定義：即已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數量

a

·

b

·cosθ叫作a與b的數量積（或內積），記作a·b. 根據上述定義，我們就可以得到解決平面向量數量積等問題的三種運算形式：

（1）數量積的代數運算形式：a·b=

a

·

b

·cosθ；

（2）數量積的幾何意義：數量積a·b等于a的長度

a

與b在a的方向上的投影

b

cosθ的乘積；

（3）數量積的的坐標運算形式：a·b=x1x2+y1y2.

在實際解題中，一方面雖然向量天生具有“形”的特質，但是可能由于學生受到數學抽象性訓練的長期熏陶，習慣性地產生“形”向“數”轉化的思維定式，轉而利用數量積的代數運算形式或者坐標形式來解決問題，而這往往是命題者設置思維障礙的關鍵點；另一方面，也許教師在平面向量的課堂教學中也會用到向量的幾何法，滲透數形結合的思想，但是卻沒有將之處于一種解題時優先考慮的策略，再加上學生對于數形結合能力的掌握卻不一定到位，故“光有思想沒有能力”是很多學生在解決平面向量數量積等問題時的困惑之處.

通過以上分析，筆者在平面向量的教學中，一方面讓學生加深對向量“形”的特質的認識和運用；另一方面故意采用更多的用代數方法較難以解決的數量積問題，讓學生進行思考和分析，力圖讓學生轉換面對數量積問題時優先考慮的解題策略. 而筆者也經研究發現，許多與數量積有關的高考試題，如果合理運用數量積的幾何意義去研究和分析，就極有可能回避較為煩瑣的代數運算，從而較順利地解決問題，上面展示的問題就是明顯的例子，而下面內容就是筆者當前在數量積復習的課堂教學中采用的高考分類例析片斷.

[?] 試題展析

1. “向量投影”知識在定值問題中的運用

試題1 （2015年山東高考理科試題）已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°，則·等于（ ）

A. -a2 B. -a2

C. a2 D. a2

分析：如圖2，由題意可知，AC⊥BD，

=a，則易知

·=·=

·

=a×=. 故選D.

2. “向量投影”知識在最值問題中的運用

試題2 （2016年浙江高考文科試題） 已知平面向量a，b，

a

=1，

b

=2，a·b=1，若e為平面單位向量，則

a·e

+

b·e

的最大值是__________.

分析：仿照上面展示的問題，則由題意可知，

a·e

+

b·e

=

+

，其幾何意義a在e上的投影的絕對值與b在e上投影的絕對值的和，則由a·e+b·e=（a+b）·e的幾何意義可知，a+b在e方向上的投影等于a，b在e方向上的投影之和，由直角三角形的知識可以得到： 此題當e與a+b共線時，取得最大值. 則（

a·e

+

b·e

）max=

a+b

==，故答案為.

3. “向量投影”知識在范圍問題中的運用

試題3 （2016年上海高考理科試題）在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=上一個動點，則·的取值范圍是__________.

分析：如圖3，由題意得知y=表示以原點為圓心，半徑為1的上半圓. 而·等于的長度

與在的方向上的投影

cosθ的乘積. 顯然其最小值為0，最大值即·=

×

，此時直線PC與圓相切，且PC⊥BA于點C，作OD⊥BA于點D. 則我們不難得到：

=

+

=

+

=1+，則可知所求的范圍為[0，1+].

4. “向量投影”知識在恒成立問題中的運用

試題4 （2013年浙江高考理科試題）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°

C. AB=AC D. AC=BC

分析：如圖4，可設

=4，則

=1，過點C作AB的垂線，垂足為H，在AB上任取一點P，設

HP0

=a，則由數量積的幾何意義可得，·=

·

=[

-（a+1）]·

，·=-

·

= -a，于是·≥·恒成立，相當于

-（a+1）·

≥-a恒成立，整理得

2-（a+1）

+a≥0，于是Δ=（a-1）2≤0，則a=1. 故可知H為AB的中點，所以△ABC為等腰三角形，即答案為D.

眾所周知，問題表征作為解題過程的起點，對數學問題作出的表征是否恰當、合理，對數學問題能否有效解決有著重大且直接的影響. 顯然利用向量投影這一工具去解決的問題肯定不止以上四類，這些試題的解法也遠不止一種，也就是說這些問題在學生進行分析時可能有多種思路和方法，而問題的多維表征是解題思路產生的源泉，正確的語言表征是理解問題的前提條件，準確的符號表征是問題解決的信息儲存和加工過程的有效表現形式.某些向量問題，通過數量積的幾何意義的優先考慮與恰當表征，即向量投影進行適當的圖形表征有助于問題的形象直觀思考，也有助于簡約問題解決的思維長度，從而順利地解決面臨的問題.