反思性教學中說數學的幾個方面

劉寒冰

[摘 要] “說數學”活動教學與傳統教學最大的區別在于改變了“教師講學生聽”的被動的學習局面，讓學生主動參與教學過程，從概念課中的知識發現、探究、升華、拓展到復習課中知識網絡的編織、知識的重難點的實例分析、“近似”知識的辨析教學，等等. 學生說出自己的想法、體會、反思，讓課堂中學生學習的進程以及對知識點的掌握情況暴露在師生面前，不僅有利于教師掌握整個教學環節及教學效果，而且能對其他學生起到啟示和警示作用；不僅實現了學生課堂教學的自主性，而且培養了學生的語言表達能力和創新能力.

[關鍵詞] 反思性教學；說數學；說內涵；說思想；說方法；說技能

眾所周知，反思根據數學活動的三要素，即對象、過程、結果，可分為三種. 第一，對數學學習活動對象的反思：①對數學問題的特征進行反思；②對數學問題所涉及的數學知識的反思；③對數學思想的反思；④對與數學活動有聯系的問題的反思. 第二，對數學學習活動過程的反思：①思考的過程；②理解的過程；③推理的過程；④運算的過程；⑤想象的過程.第三，對數學學習結果的反思：①對解題思路的反思；②語言表述的反思；③對結果進行反思. 因此，從反思性教學入手可以設計“說數學”的入手方向，讓學生從這些方向中尋找數學素養提高的空間.

[?] 反思“說復習”

傳統數學課，教師引入知識，通過探討知識挖掘其內涵，并通過典型例題的分析，學生依葫蘆畫瓢，再加上變式以促進對知識的深層理解. 學生發出這樣的感嘆：“上課能聽懂，但是下了課自己做題依然不會.”教師要抓住這個復習教學的機會，在教學中設計學生“說復習”的環節，引導學生通過說“復習明線”、說“復習暗線”、說“外延”、說“性質”、說“應用”，在全班學生共同的合作交流、共同探討、共同整合之下，內化成為自己已有的知識，并融入到自己已有的知識結構中去. “說”復習形成的過程，讓學生體會知識整合的緣由和必要性.“說”語言轉換，即將生活的實際問題轉換成數學模型，或者是將數學知識、定理、公式、思想方法等用語言文字來表述、翻譯，使學生能從更通俗的語言中理解新知識，加強學生對知識的理解.

案例1：精心設計知識網絡，激發學生的探究欲——函數：教學線路

復習課的問題設計針對了知識網絡的復習、典型例題的解析、數學思想方法的反思等.這就要求教師在認真研究教材、吃透教材、提高自身的專業水平的基礎上，結合學生的認知規律、生理特征、心理特征等方面，設計針對性強、難度適中、啟發性強、有教學價值的問題，讓學生在教師所設計的“導火索”下，通過互相啟發、互相幫助的方式“說”出本節課教師預設的教學目標. 這樣的教學不僅能符合學生自主學習的要求，而且能較好地達到教師的預設目標，更能讓學生通過“說數學”的教學活動，對數學產生興趣，對知識產生探究欲.

函數復習的“三線”策略——明線、暗線與虛線：

（1）明線：一次函數、反比例函數、二次函數、指數函數、對數函數以及冪函數這些具體函數的特征與性質.

（2）暗線：研究上述函數的一條線索：第一層，解析式、定義域與值域——函數的三要素；第二層，單調性、奇偶性、周期性、對稱性與最值——函數的五大性質，展示的平臺是圖像.這也是給出了研究函數的一條基本路線.

（3）虛線：很多函數問題的條件是以抽象函數的形式呈現的，要學會讀懂，應用這些性質，并隨后舉例體現“說復習”的具體應用性，限于篇幅，舉例省略.

[?] 反思“說方法”

數學是一門工具型學科，解題是高中數學的重要組成部分之一，也是高考檢測學習成效的唯一方法，所以掌握解題技巧、解題方法是至關重要的. 在課堂中，教師應引導學生也可以通過團隊合作的方式，自行分析、探索處理數學問題的思路和方法. 具體過程如下：①審題環節：指導學生分析題設中的條件和結論，將條件和結論用數學語音“翻譯”成已學知識，中間可以穿插聯想，將已知條件常見的用法展現在其他同學面前；②整理環節：將學生根據條件和結論所說的各種信息進行匯總，并說明習題中現有的條件是否足夠，如果不夠還缺什么，如何進一步挖掘，從這些信息中尋找搭扣，使知識點環環相扣，從而得出解題的具體過程；③解題環節：指導學生將已有的解題過程通過數學符號語言表達出來；④再探索環節：其一，引導學生從多元化的思維角度尋求解題方法的多樣性、簡潔性；其二，引導學生尋找近似問題的相似性，形成相似的解題模式，即“一題多解”和“多題一解”.

案例2：說與三角函數值域相關的方法.

原題：求函數y=sinx-cosx的值域

x∈

-

，

（蘇教版A組習題）.

生1說：y=2

sinx-cosx

=2sin

x-

. 由x∈

-

，，可知-1≤sin

x-

≤，所以，原函數的值域y∈[-2，1].

變式1：求函數y=cos2x+2sinx的值域

x∈

-

，

.

生2說：利用公式將其轉化為二次函數，即y=1-2sin2x+2sinx=-2

sinx-

+. 由x∈

-

，，可知-≤sinx≤1，所以，原函數的值域y∈

-

，.

變式2：求函數y=sin2x+sinxcosx+cos2x的值域

x∈

，

.

生3說：y=+sin2x+=（sin2x+cos2x）+1=sin

2x+

+1. 由x∈

，，可知-1≤sin

2x+

≤，所以，原函數的值域y∈

1-

，.

上述學生說的與三角函數相關的求值域方法，將學生最應該掌握的基本問題表露無疑，這種“說”大大增加了學生對于知識的理解，會“說”方法比會做題目，對于知識的理解來得更為深刻.

[?] 反思“說思想”

數學學習的最終目標之一就是學會應用數學思想，從思維的最高維度反思高中數學學習. “說思想”就是從數學教學過程中提煉出數學思想，提升學生的數學思維品質. 例如，化歸思想就是將不熟悉的環境化歸轉化為我們所熟悉的環境——將不熟悉的題設翻譯成我們所熟悉和能運用的題設.

例如，數列中蘊含的“數學思想”的挖掘與運用：數列問題中蘊含著豐富的“數學思想”，在研究、解決數列問題時抓住思維方式以及數列內容的本質就能靈活運用這些思想，會取得事半功倍的效果.但是許多學生不管怎么學數列就是流于表面，沒有抓住本質，缺乏主動運用“數學思想”來解決數列問題的意識，因此要從思想角度突破才能有利于學生學好數列.

函數思想：從映射的角度來看，數列本質上是一個定義在正整數集的子集上的函數.所以，用函數的觀點理解數列，用研究函數的相關方法來研究數列，是解決數列問題的有效方法.

問題：在等差數列{an}中，已知a1=15，S4=S12，當n為何值時Sn有最大值？

分析：為什么這個等差數列的前n項和Sn有最大項？其首項a1=15>0，故它的前幾項為正，從某項起開始變號，因此，常規的做法是通過找到變號的項來求解. 這是純數列解法. 等差數列前n項和Sn是關于n的“二次型”函數，該函數解析式的常數項是0，其圖像是過原點的拋物線上橫坐標為正整數的點（為便于分析，將這些散點用虛線連接，如圖1所示）. 由題意可知，該數列的公差d<0，拋物線圖像開口向下，S4=S12說明此拋物線有對稱軸n=8，故當n=8時，Sn最大. 把數列看作一種特殊的函數，利用函數思想，通過數形結合來求解，既直觀，又簡潔.如果將此題進行變式，將條件中的“S4=S12”改成“S4=S11”，其他不變. 用“函數思想”求解，其優越性會更加凸顯.

總之，傳統的數學教學由于受應試教育的影響，重“做數學”，輕“說數學”；重結果，輕過程. 教學模式基本以“教師講學生聽”的枯燥形式為主，嚴重抑制了學生的學習興趣和創新能力. 有些教師也已經注意到了這些問題，在課堂教學中引入對話，但對話偏離了對話的本質，呈現的大多數是一些評價性的對話（不錯，是的，對與不對等），缺少一些過程性描述，這與培養具有創新精神的現代教育完全背道而馳. 因此，我們要改變以往的“以教師講為主，學生參與的比較少”的困境，讓學生主動參與課堂活動，使課堂不僅演示教師教的思維過程，更能挖掘學生學的認知形成過程，讓教與學有機地結合起來，讓課堂“活起來”.“說數學”是數學交流的重要形式之一，本文在反思性數學學習理論的基礎上，探討學生課堂中“說數學”的內容和實踐操作，從本質上激發學生學習的興趣，讓學生體會學習數學的樂趣，從而達到提高教學效果的最終目標.

參考文獻：

[1] 黃燕青. 反思性教學中課程教學設計模式研究[J]. 軟件導刊.2014，12.

[2] 鄭毓信，梁貫成. 認知科學建構主義與數學教育[M]. 上海：上海教育出版社，2012.

[3] 殷偉康. 數學教學中啟發性的“說”運用與思考[J]. 中學數學月刊，2015，3.