反思性教學(xué)中說數(shù)學(xué)的幾個(gè)方面

劉寒冰

[摘 要] “說數(shù)學(xué)”活動(dòng)教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)最大的區(qū)別在于改變了“教師講學(xué)生聽”的被動(dòng)的學(xué)習(xí)局面，讓學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)過程，從概念課中的知識(shí)發(fā)現(xiàn)、探究、升華、拓展到復(fù)習(xí)課中知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的編織、知識(shí)的重難點(diǎn)的實(shí)例分析、“近似”知識(shí)的辨析教學(xué)，等等. 學(xué)生說出自己的想法、體會(huì)、反思，讓課堂中學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)程以及對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況暴露在師生面前，不僅有利于教師掌握整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)及教學(xué)效果，而且能對(duì)其他學(xué)生起到啟示和警示作用；不僅實(shí)現(xiàn)了學(xué)生課堂教學(xué)的自主性，而且培養(yǎng)了學(xué)生的語言表達(dá)能力和創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞] 反思性教學(xué)；說數(shù)學(xué)；說內(nèi)涵；說思想；說方法；說技能

眾所周知，反思根據(jù)數(shù)學(xué)活動(dòng)的三要素，即對(duì)象、過程、結(jié)果，可分為三種. 第一，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)象的反思：①對(duì)數(shù)學(xué)問題的特征進(jìn)行反思；②對(duì)數(shù)學(xué)問題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)的反思；③對(duì)數(shù)學(xué)思想的反思；④對(duì)與數(shù)學(xué)活動(dòng)有聯(lián)系的問題的反思. 第二，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程的反思：①思考的過程；②理解的過程；③推理的過程；④運(yùn)算的過程；⑤想象的過程.第三，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果的反思：①對(duì)解題思路的反思；②語言表述的反思；③對(duì)結(jié)果進(jìn)行反思. 因此，從反思性教學(xué)入手可以設(shè)計(jì)“說數(shù)學(xué)”的入手方向，讓學(xué)生從這些方向中尋找數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的空間.

[?] 反思“說復(fù)習(xí)”

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課，教師引入知識(shí)，通過探討知識(shí)挖掘其內(nèi)涵，并通過典型例題的分析，學(xué)生依葫蘆畫瓢，再加上變式以促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深層理解. 學(xué)生發(fā)出這樣的感嘆：“上課能聽懂，但是下了課自己做題依然不會(huì).”教師要抓住這個(gè)復(fù)習(xí)教學(xué)的機(jī)會(huì)，在教學(xué)中設(shè)計(jì)學(xué)生“說復(fù)習(xí)”的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過說“復(fù)習(xí)明線”、說“復(fù)習(xí)暗線”、說“外延”、說“性質(zhì)”、說“應(yīng)用”，在全班學(xué)生共同的合作交流、共同探討、共同整合之下，內(nèi)化成為自己已有的知識(shí)，并融入到自己已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去. “說”復(fù)習(xí)形成的過程，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)整合的緣由和必要性.“說”語言轉(zhuǎn)換，即將生活的實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，或者是將數(shù)學(xué)知識(shí)、定理、公式、思想方法等用語言文字來表述、翻譯，使學(xué)生能從更通俗的語言中理解新知識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

案例1：精心設(shè)計(jì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，激發(fā)學(xué)生的探究欲——函數(shù)：教學(xué)線路

復(fù)習(xí)課的問題設(shè)計(jì)針對(duì)了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)習(xí)、典型例題的解析、數(shù)學(xué)思想方法的反思等.這就要求教師在認(rèn)真研究教材、吃透教材、提高自身的專業(yè)水平的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、生理特征、心理特征等方面，設(shè)計(jì)針對(duì)性強(qiáng)、難度適中、啟發(fā)性強(qiáng)、有教學(xué)價(jià)值的問題，讓學(xué)生在教師所設(shè)計(jì)的“導(dǎo)火索”下，通過互相啟發(fā)、互相幫助的方式“說”出本節(jié)課教師預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo). 這樣的教學(xué)不僅能符合學(xué)生自主學(xué)習(xí)的要求，而且能較好地達(dá)到教師的預(yù)設(shè)目標(biāo)，更能讓學(xué)生通過“說數(shù)學(xué)”的教學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，對(duì)知識(shí)產(chǎn)生探究欲.

函數(shù)復(fù)習(xí)的“三線”策略——明線、暗線與虛線：

（1）明線：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)這些具體函數(shù)的特征與性質(zhì).

（2）暗線：研究上述函數(shù)的一條線索：第一層，解析式、定義域與值域——函數(shù)的三要素；第二層，單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性與最值——函數(shù)的五大性質(zhì)，展示的平臺(tái)是圖像.這也是給出了研究函數(shù)的一條基本路線.

（3）虛線：很多函數(shù)問題的條件是以抽象函數(shù)的形式呈現(xiàn)的，要學(xué)會(huì)讀懂，應(yīng)用這些性質(zhì)，并隨后舉例體現(xiàn)“說復(fù)習(xí)”的具體應(yīng)用性，限于篇幅，舉例省略.

[?] 反思“說方法”

數(shù)學(xué)是一門工具型學(xué)科，解題是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，也是高考檢測(cè)學(xué)習(xí)成效的唯一方法，所以掌握解題技巧、解題方法是至關(guān)重要的. 在課堂中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生也可以通過團(tuán)隊(duì)合作的方式，自行分析、探索處理數(shù)學(xué)問題的思路和方法. 具體過程如下：①審題環(huán)節(jié)：指導(dǎo)學(xué)生分析題設(shè)中的條件和結(jié)論，將條件和結(jié)論用數(shù)學(xué)語音“翻譯”成已學(xué)知識(shí)，中間可以穿插聯(lián)想，將已知條件常見的用法展現(xiàn)在其他同學(xué)面前；②整理環(huán)節(jié)：將學(xué)生根據(jù)條件和結(jié)論所說的各種信息進(jìn)行匯總，并說明習(xí)題中現(xiàn)有的條件是否足夠，如果不夠還缺什么，如何進(jìn)一步挖掘，從這些信息中尋找搭扣，使知識(shí)點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣，從而得出解題的具體過程；③解題環(huán)節(jié)：指導(dǎo)學(xué)生將已有的解題過程通過數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)出來；④再探索環(huán)節(jié)：其一，引導(dǎo)學(xué)生從多元化的思維角度尋求解題方法的多樣性、簡(jiǎn)潔性；其二，引導(dǎo)學(xué)生尋找近似問題的相似性，形成相似的解題模式，即“一題多解”和“多題一解”.

案例2：說與三角函數(shù)值域相關(guān)的方法.

原題：求函數(shù)y=sinx-cosx的值域

x∈

-

，

（蘇教版A組習(xí)題）.

生1說：y=2

sinx-cosx

=2sin

x-

. 由x∈

-

，，可知-1≤sin

x-

≤，所以，原函數(shù)的值域y∈[-2，1].

變式1：求函數(shù)y=cos2x+2sinx的值域

x∈

-

，

.

生2說：利用公式將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即y=1-2sin2x+2sinx=-2

sinx-

+. 由x∈

-

，，可知-≤sinx≤1，所以，原函數(shù)的值域y∈

-

，.

變式2：求函數(shù)y=sin2x+sinxcosx+cos2x的值域

x∈

，

.

生3說：y=+sin2x+=（sin2x+cos2x）+1=sin

2x+

+1. 由x∈

，，可知-1≤sin

2x+

≤，所以，原函數(shù)的值域y∈

1-

，.

上述學(xué)生說的與三角函數(shù)相關(guān)的求值域方法，將學(xué)生最應(yīng)該掌握的基本問題表露無疑，這種“說”大大增加了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解，會(huì)“說”方法比會(huì)做題目，對(duì)于知識(shí)的理解來得更為深刻.

[?] 反思“說思想”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)之一就是學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，從思維的最高維度反思高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). “說思想”就是從數(shù)學(xué)教學(xué)過程中提煉出數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 例如，化歸思想就是將不熟悉的環(huán)境化歸轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的環(huán)境——將不熟悉的題設(shè)翻譯成我們所熟悉和能運(yùn)用的題設(shè).

例如，數(shù)列中蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)思想”的挖掘與運(yùn)用：數(shù)列問題中蘊(yùn)含著豐富的“數(shù)學(xué)思想”，在研究、解決數(shù)列問題時(shí)抓住思維方式以及數(shù)列內(nèi)容的本質(zhì)就能靈活運(yùn)用這些思想，會(huì)取得事半功倍的效果.但是許多學(xué)生不管怎么學(xué)數(shù)列就是流于表面，沒有抓住本質(zhì)，缺乏主動(dòng)運(yùn)用“數(shù)學(xué)思想”來解決數(shù)列問題的意識(shí)，因此要從思想角度突破才能有利于學(xué)生學(xué)好數(shù)列.

函數(shù)思想：從映射的角度來看，數(shù)列本質(zhì)上是一個(gè)定義在正整數(shù)集的子集上的函數(shù).所以，用函數(shù)的觀點(diǎn)理解數(shù)列，用研究函數(shù)的相關(guān)方法來研究數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法.

問題：在等差數(shù)列{an}中，已知a1=15，S4=S12，當(dāng)n為何值時(shí)Sn有最大值？

分析：為什么這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有最大項(xiàng)？其首項(xiàng)a1=15>0，故它的前幾項(xiàng)為正，從某項(xiàng)起開始變號(hào)，因此，常規(guī)的做法是通過找到變號(hào)的項(xiàng)來求解. 這是純數(shù)列解法. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的“二次型”函數(shù)，該函數(shù)解析式的常數(shù)項(xiàng)是0，其圖像是過原點(diǎn)的拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的點(diǎn)（為便于分析，將這些散點(diǎn)用虛線連接，如圖1所示）. 由題意可知，該數(shù)列的公差d<0，拋物線圖像開口向下，S4=S12說明此拋物線有對(duì)稱軸n=8，故當(dāng)n=8時(shí)，Sn最大. 把數(shù)列看作一種特殊的函數(shù)，利用函數(shù)思想，通過數(shù)形結(jié)合來求解，既直觀，又簡(jiǎn)潔.如果將此題進(jìn)行變式，將條件中的“S4=S12”改成“S4=S11”，其他不變. 用“函數(shù)思想”求解，其優(yōu)越性會(huì)更加凸顯.

總之，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)由于受應(yīng)試教育的影響，重“做數(shù)學(xué)”，輕“說數(shù)學(xué)”；重結(jié)果，輕過程. 教學(xué)模式基本以“教師講學(xué)生聽”的枯燥形式為主，嚴(yán)重抑制了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力. 有些教師也已經(jīng)注意到了這些問題，在課堂教學(xué)中引入對(duì)話，但對(duì)話偏離了對(duì)話的本質(zhì)，呈現(xiàn)的大多數(shù)是一些評(píng)價(jià)性的對(duì)話（不錯(cuò)，是的，對(duì)與不對(duì)等），缺少一些過程性描述，這與培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的現(xiàn)代教育完全背道而馳. 因此，我們要改變以往的“以教師講為主，學(xué)生參與的比較少”的困境，讓學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng)，使課堂不僅演示教師教的思維過程，更能挖掘?qū)W生學(xué)的認(rèn)知形成過程，讓教與學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，讓課堂“活起來”.“說數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)交流的重要形式之一，本文在反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，探討學(xué)生課堂中“說數(shù)學(xué)”的內(nèi)容和實(shí)踐操作，從本質(zhì)上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，從而達(dá)到提高教學(xué)效果的最終目標(biāo).

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