一題多變，看函數y=Asin（ωx+φ）圖像

[摘 要] 對一道函數y=Asin（ωx+φ）圖像題多變、錯解、多解的研究，幫助學生識函數y=Asin（ωx+φ）圖像，理解數y=Asin（ωx+φ）圖像變換、應用.

[關鍵詞] 函數圖像；圖像變換；圖像應用

函數y=Asin（ωx+φ）圖像是高中數學《三角函數》的高頻考點，多以選擇、填空題的形式出現于歷年各地考卷中. 因此，高三數學教師要重視“函數y=Asin（ωx+φ）圖像”的教學，力爭讓學生熟悉掌握函數y=Asin（ωx+φ）圖像，圖像變換、應用.

[?] 典例：看函數y=Asin（ωx+φ）圖像

典例：已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ

<在一個周期內的圖像如圖1所示，求y=f（x）的解析式.

[O][-2][-][][][][][x][y][2]

圖1

考點分析：由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖像，確定函數解析式.

危險解法：由圖像容易看出，振幅A=2，周期T=-

-=4π，ω==，由于ω>0，所以角速度ω=.

將

，0代入函數解析式，得×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ-（k∈Z）.

因為φ<，所以k=1，φ=. 因此，f（x）=2sin

+.

危險原因：上面解法看似很嚴密，危險出在何處？如果把“φ<”改為“φ<π”，那么φ的值為多少？學生的答案：k=1，φ=或者k=0，φ=-. 實際上，把“φ<”改為“φ<π”答案不變，仍為φ=，而同學們使用上述解法就產生了增根，所以才說上述解法是“危險解法”，給定的φ取值范圍變大，根的個數就增多.

解法1（代零點求φ）：因為

，0是函數的遞減零點，所以將

，0代入函數解析式，得×+φ=2kπ+π（k∈Z），解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因為“φ<π”，

所以k=1，φ=.

解法2（代波峰點求φ）：將

，2代入函數解析式，得×+φ=2kπ+（k∈Z），

解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因為φ<，所以φ=.

解法3（五點法求φ）：將-

，0代函數解析式，由于點-

，0相當于正弦函數“五點法”作圖中的第一個關鍵點，所以×

-+φ=2kπ（k∈Z），解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因為“φ<π”，所以k=0，φ=.

評注：振幅A：看函數圖像的波峰（或波谷）；角速度（角頻率）ω：看函數圖像周期；求初相φ既是難點也是易錯點，求法兩種：“代點法”、“五點法”. “代點法”可以選擇代零點，也可以選擇代波峰或波谷點，并且代波峰點可以得到ωx+φ=2kπ+（k∈Z），代波谷點可以得到ωx+φ=2kπ+（k∈Z），不管代波峰點還是波谷點都比較容易. 但代零點，給定φ的大范圍，很容易產生“增根”. 如果要避免產生“增根”，那么務必先判斷此零點所在區間的單調性. 代單調遞減區間上的零點，可以得到ωx+φ=2kπ+π（k∈Z）；代單調遞增區間上的零點，可以得到ωx+φ=2kπ（k∈Z）. 顯然，“代零點”比“代波峰或波谷點”麻煩，因此，建議選擇代波峰或波谷點求φ，“五點法”也不錯.

[?] 變式：看函數y=Asin（ωx+φ）圖像變換

變式1：要得到函數y=2sin

+

的圖像，只需將函數y=2sin

-

圖像的縱坐標不變，橫坐標向______單位長度. （ ）

A. 向左平移π

B. 向右平移π

C. 向左平移

D. 向右平移

考點分析：函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖平移變換.

錯誤解法：由函數解析式y=2sin

+

得y=2sin

+

=2sin

+-

，

所以函數y=2sin

-

圖像縱坐標不變，橫坐標向左平移單位長度.

錯誤原因：利用畫圖工具畫出函數圖像，從圖像就容易看出上面的變換是錯誤的.

解法1（待定法）：設f（x）=2sin

-

，則f（x+α）=2sin

（x+α）

-，0≤α<2π. 由（x+α）-=+，解得α=π. 因為把函數f（x）圖像縱坐標不變，橫坐標向左平移π單位長度，就得到函數f（x+π）的圖像，故本題正確選項為A.

解法2（配湊法）：設f（x）=2sin

-

，由于2sin

+

=2sin

+-

=2sin

（x+π）

-=f（x+π）. 因為把函數f（x）圖像縱坐標不變，橫坐標向左平移π單位長度，就得到函數f（x+π）的圖像，故本題正確選項為A.

解法3（平移波峰點法）：因為原點附近的波峰點平移情況，與函數整體圖像的平移情況一致.所以，對于函數y=2sin

-

，令-=，解得x=，波峰點A坐標為

，2；對于函數y=2sin

+

，令+=，解得x=. 波峰點B坐標為

，2. 觀察兩個函數在原點附近的兩波峰點平移情況，由于從點A

，2平移到點B

，2：縱坐標不變，橫坐標向左平移π單位長度. 故本題正確選項為A.

解法4（排除法）：函數圖像的變換方向：y=2sin

-

?y=2sin（+

. 觀察兩個函數解析式，不難發現：-?+，向左平移（“負變正”即“小變大”），故排除選項B、D. 再觀觀察兩個函數解析式，不難發現：從-到，平移單位長度；而-與+中x系數都為，所以平移π單位長度，排除C. 故本題的正確選項為A.

思考1：（1）函數y=2sin

+

的圖像如何變換，使得函數圖像關于原點對稱？

（2）函數y=2sin

+

的圖像如何變換，使得函數圖像關于y軸對稱？

評注：不管是“待定法”還是“配湊法”，實質上都是研究f（x）與f（x±α）函數解析式的關系.設變換前函數為y=f（x），變換后函數為y=f（x±α）.使用“待定法”或“配湊法”，求函數f（x±α）中α的值.就y=f（x+α）而言，若α>0，則向左平移α單位長度；若α<0，則向右平移α單位長度，而秒殺“函數圖像左右平移變換”選擇題的方法有：“平移波峰點法”、“排除法”.不管采用哪種方法，“函數圖像左右平移變換”要特別注意函數解析式中x的系數.采用“待定法”、“配湊法”、“平移波峰點法”都可以快速求解思考1，參考答案為：（1）縱坐標不變，橫坐標向左平移或向右平移單位長度；（2）縱坐標不變，橫坐標向左平移或向右平移單位長度.

變式2：已知函數f（x）=2sin

+

，則下列說法正確的是

（ ）

A. f（x）的周期為4π

B. f（x）圖像的對稱軸為x=2kπ+，k∈Z

C. f（x）圖像的對稱中心為2kπ

-，0，k∈Z

D. f（x）在區間

，上單調遞增

考點分析：函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖像翻折變換，求三角函數的周期、對稱、單調.

解法：畫出函數y=2sin

+圖像，在x軸上方的不變，在x軸下方的部分（沿x軸）翻折到上方，就得到函數f（x）=2sin

+圖像. 觀察圖像容易得出：周期為2π，對稱軸為x=kπ+，k∈Z，沒有對稱中心，在區間

，上單調遞增.

故本題的正確答案為D.

思考2：已知函數f（x）=2sin

+

，則f（x）是否為周期函數，有沒有對稱軸、對稱中心，f（x）還在區間

，上單調遞增嗎？

評注：求解三角函數的周期、對稱、單調等： 利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函數圖像”進行數形結合求解.學生除了熟悉掌握“f（x）=Asin（ωx+φ）”，還要掌握函數圖像的翻折和對稱變換. 函數f（x）圖像：翻折變換；函數f（x）圖像：對稱變換.三角函數的周期、對稱、單調等問題，常常利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函數圖像”進行數形結合求解.上述選擇題就可以利用“排除法”求解，同學們自己試試. 利用對稱變換不難得到思考2的圖像，利用數形結合就可以求出思考2，參考答案為：f（x）不是周期函數，沒有對稱中心，對稱軸為y軸，在區間

，上單調遞增.

[?] 變式：看函數y=Asin（ωx+φ）圖像應用

變式3：已知f（x）=，則f（x）的定義域為__________.

考點分析：由解三角不等式，求函數定義域.

解法：由2sin

x+-1≥0，解得sin

x+≥.

則2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得4kπ-≤x≤4kπ+，k∈Z.

故f（x）的定義域為4kπ

-，4kπ

+，k∈Z.

評注：求解“形如f（x）=Asin（ωx+φ）”函數定義，常為求解三角不等式.只要學生借助函數y=Asin（ωx+φ）圖像，便可以快速解決.上述求解“sin

x+≥”，還可以利用正弦線.

變式4：sin

+cos

≥2a-1在區間[0，2π]上恒成立，則a的取值范圍為________.

考點分析：由解三角最值，求參數取值范圍.

解法：由于sin

+cos

=2sin

+

，令f（x）=2sin

+

，

sin

+cos

≥2a-1在區間[0，2π]上恒成立，只需f（x）min≥2a-1，x∈[0，2π].

由函數f（x）圖像，解得f（x）min=-（x∈[0，2π]），則-≥2a-1，解得a≤.

故a的取值范圍為-∞

，.

評注：三角不等式恒成立，求參數取值范圍的問題，常通過分離參數，轉化為求三角函數最值的問題，只要熟悉掌握三角函數圖像畫法，問題就簡單了. 而上述題目中，也可以令θ=+，畫出y=2sinθ在區間[0，2π]上圖像，從而求解函數的最值.

變式5：設常數a使方程cos2-sin2-cos=a在區間[0，4π]上恰有三個不同的實數解x1，x2，x3，則x1+x2+x3=__________.

考點分析：運用三角公式進行化簡，求解三角函數的零點.

解法：因為cos2-sin2-cos=cos-cos

1008π++

=cos+sin=sin

+，所以sin

+=a，即2sin

+

=a.

求方程cos2-sin2-cos=a在區間[0，4π]上恰有三個不同的實數解x1，x2，x3，只需求函數y=2sin

+

圖像與直線y=a在區間[0，4π]上恰有三個交點橫坐標x1，x2，x3. 由圖像易知，=，x3=4π.

故x1+x2+x3=5π.

評注：初看題目很復雜，但仔細觀察，容易看出，利用三角公式（二倍角公式、誘導公式）化簡方程左邊為2sin

+

=a，由函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖像數形結合求解. 可見，求解三角函數的零點：利用函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖像.

變式6：已知ω>0，函數f（x）=2sin

ωx+

在區間

，π上單調遞減，則ω的取值范圍是（ ）

A.

， B.

，

C. 0

， D. （0，2]

考點分析：求解“形為f（x）=Asin（ωx+φ）的含參函數”的單調問題.

解法1（利用三角圖像變換求解）：將得到函數f（x）=2sinω

x+的圖像，只需把函數y=2sin

x+

圖像的縱坐標不變、橫坐標縮短為原來的（ω>0）. 而函數y=2sin

x+

在區間

2kπ+，2kπ+

（k∈Z）上單調遞減，則y=2sin

ωx+

.

在

2kπ

+

，2kπ

+ （k∈Z）上單調遞減. 因為y=2sinω

x+在區間

，π上單調遞減，所以

，π為

2kπ

+ ，

2kπ+

（k∈Z）的子集，并且π-≤=（ω>0）?0<ω≤2，則

2kπ

+≤

，

2kπ

+≥π，

0<ω≤2，

解得

4k+≤ω≤

2k+（k∈Z），

0<ω≤2， 則k=0，≤ω≤. 因此，ω的取值范圍是

，.

解法2（利用三角單調性求解）：令2kπ+<ωx+<2kπ+，k∈Z，

則2kπ

+

+，k∈Z，因為函數y=2sinωx

+在區間

，π上單調遞減，所以

≥

2kπ

+，

π≤

2kπ

+，k∈Z，解得4k+≤ω≤4k+，k∈Z.

由于π-≤=（ω>0）?0<ω≤2，則k=0，≤ω≤.

故ω的取值范圍是

，.

解法3（特殊值排除法）：分析各選項容易發現，只有D選項中2∈（0，2]. 取ω=2，此時f（x）=2sin

2x+，不難得到f（x）在區間

，π上非單調遞減，故排除D選項；分析A、B、C各選項容易發現，只有A選項中1∈

，，取ω=1，此時f（x）=2sin

x+，不難得到f（x）在區間

，π上單調遞減，排除B、C選項. 故本題的正確選項為A.

思考3：已知ω>0，函數f（x）=2sinω

x+在區間

，π上單調遞增，則ω的取值范圍是________.

評注：變式6是三角函數的綜合題目，大部分學生都不會做.實際上，求解方法有3種：

利用三角圖像的平移伸縮變換求解、利用三角函數的單調性求解、利用“特值排除法”求解.第一種方法是先求函數y=2sin

x+

單調區間，由函數圖像平移伸縮變換，求出函數f（x）=2sin

ωx+

單調區間，再根據

，π為其子集列求解；第二種方法是把ωx+看成θ，由y=sinθ的單調區間，求y=2sinω

x+的單調區間，再根據

，π為其子集列求解. 而兩種方法的過程中都出現兩個參數ω，k，確定k取值是難點，難點從由π-≤確定ω的取值范圍來突破.不管什么難度系數的選擇題，特殊值排除法都為非常好的方法. 學生們只要采用第一或第二種方法，就可以解決思考3，參考答案為：0<ω≤.

綜上所述，求解三角函數的周期、對稱、單調、定義域、最值、零點等，常利用函數y=Asin（ωx+φ）圖像，故學生必須多看函數y=Asin（ωx+φ）圖像. 一題多變猶如望遠鏡，學生戴上它就能望過“函數y=Asin（ωx+φ）圖像變換、應用”的一片知識汪洋.