[摘 要] 關于向量數量積的處理一般思路是轉化和建系，而這兩種處理方式也是高考常見的考點. 但在處理一類與線段中點相關的向量數量積時，又能以另外一種叫極化恒等式方式來處理. 這種新的處理方式與一般思路比較起來具有思路清晰的特點，同時又兼具簡化計算的功能.

[關鍵詞] 向量；數量積；極化恒等式

教研組活動是學校內同學科內為研究共同的教學問題而開展的活動，它不僅是教師展現專業能力的場所，更是促進教師專業能力發展的場所. 在教研組的活動過程中教師們通過討論，交流而產生思維的火花，往往能夠產生意想不到的結果. 本文所得即拜一次組內教研活動所賜，在對2016年江蘇高考試題研讀的過程中第13道填空題引起了大家對解法的討論. 下文就交流的過程，幾種處理方式的比較及個人的反思做一個簡要的說明.

[?] 一道向量高考題解法的交流討論

（2016江蘇高考第13題）如圖1在三角形ABC中，D是BC中點，E，F是AD上的兩個三等分點，·=4，·=-1，則·的值是多少？

教師1：對于這種問題通常是將待求量向已知量轉化，由于待求的一組向量與已知的兩組向量之間可以相互表示所以可以選擇其中一組作為基底來表示其他兩組.·=（+）（+）=·+32=-1+32，所以問題就轉化成求解2.·=（+）（+）=·+22. 又FA=2FE，所以·=-1+82=4，所以2=，故而·=.

[F][A][B][C][D][E][y][x]

圖2

教師2：轉化除了可以選擇已知向量作基底，亦可選擇與已知向量、待求向量均相關的向量作基底，以這組基底作為橋梁解決問題，本題中可選和作為基底. 因為=3，=2，=-，所以·=（+）（+）=-2+42，同理·=-2+92=4記為①式，·=-2+2=-1記作②式，兩式聯立可得2=，2=，因此·=.

教師3：不知道有沒有哪位老師考慮建系能做嗎？

教師2：這可能不可以吧？建系得有特殊角或對稱特性才能用??？

教師1：未必，如果以D為原點建系，由于存在等分關系，故只設出A和C的坐標即可表示所有坐標. 若設A（3a，3b），C（c，0），則E（2a，2b），F（a，b），B（-c，0）.所以待求數量積為·=4a2+4b2-c2. 由已知數量積可知：·=a2+b2-c2=-1，·=9a2+9b2-c2=4，可得a2+b2=，c2=. 所以·=.

教師4：這道題存在中點符合極化恒等式的三角形模型，可以利用三次極化恒等式求解.

·=[（+）2-（-）2]=42-2，同理·=92-2，·=2-2，結合已知條件可得2=，2=，所以·=.

[?] 關于向量數量積解法的比較研究

向量的數量積一直是高考命題的重點，常作為填空的壓軸出現. 根據上述處理過程不難發現處理向量數量積的問題大致可歸結到三個方向：其一，轉化，即將待求向量數量積轉化成已知向量的數量積來表示；其二，建系，即利用坐標表示待求向量，再進行向量數量積的坐標運算；其三，利用極化恒等式這一技巧將向量數量積轉化成向量長度解決. 透過上述解題過程大致可以從解法的本質、思維和計算的復雜程度兩個方面對其進行比較.

首先，從解法的本質上看，轉化在本質上是幾何方法，而建系和極化恒等式在本質上應當屬于代數方法. 需要明確的是向量雖然有代數特性，但本質上是幾何量，所以向量數量積的定義解法應當是幾何解法. 轉化利用基底作為橋梁，其最終的表達形式是將待求一組向量數量積變成另外一組能求解的向量數量積，起核心作用的仍然是向量數量積的定義表達式，所以轉化的解法的本質是幾何法. 轉化建系通過建坐標系，將所有的幾何元素代數化，從而將待求向量數量積轉變為坐標乘積的代數問題，所以建系做法的本質是代數法. 極化恒等式是代數法的另一種表現，透過極化恒等式的公式a·b=[（a+b）2-（a-b）2]不難發現，利用這一中介可以將數量積這個既具長度又具角度元素的問題變成僅具長度的問題，所以其本質也是代數法.

其次，從思維和計算的復雜程度看，極化恒等式無論是思維還是計算均有一定的優勢. 直觀上看來，極化恒等式的思維程度是最淺的，因為極化恒等式的表達很直白就是尋找待求數量積的兩個向量的和、差向量；而轉化方法的思維運算應當是最復雜的，因為基底的選擇是多樣的，往往不是那么直白，這就帶來哪組基底才能解決困境的選擇，這是需要學生動腦思考的；同樣建系也需要學生考慮將坐標原點建在哪個位置才能更好地描寫坐標. 在計算的復雜程度可以從計算涉及的運算元素窺見，極化恒等式涉及的計算元素僅是和、差向量的模長；轉化涉及的運算元素不僅包含模長，更有三角函數的計算；而建系法的運算元素主要是坐標，而坐標的確定是一個運算較多的內容. 透過上面的比較不難發現，極化恒等式相對于轉化和建系，無論是在思維還是在計算上均有一定的優勢. 當然這種優勢也并非絕對的，因為利用極化恒等式是需要平行四邊形模型或三角型模型的，若問題情境中不存在這樣的條件，需要學生創造時，其思維的難度就加大了.

[?] 關于向量數量積求解的個人反思

轉化、建系和極化恒等式均可作為解決向量數量積的手段. 每一個方法均有其本質，轉化的本質即將待求向量基底化；建系的本質是將待求向量坐標化；而極化恒等式的本質是將待求向量數量積長度化.

通常利用轉化求解向量數量積有2個可供思考的方向：其一，將待求向量數量積向已知向量去轉化；其二，將待求向量和已知向量均向與它們有共同聯系的一組基底轉化，以這組公共基底作為橋梁解決問題. 正如2016年的這道高考題一樣，筆者可將待求的和向已知的，或，轉化，亦可將已知的和待求的向量均向，這一與它們均有聯系的基底轉化. 但無論哪個方向，它們均有一個共同的本質，即將待求向量基底化，所不同的是轉化時所選取的具體基底不同而已.

對于建系解決向量數量積，一般情況下人們都認為只有在問題情境中存在著特殊角度或存在對稱圖形時才可以利用建系來解決，因為有特殊角度時有利于各個點的坐標計算. 但是通過這道高考題可以打破這個思維的習慣，即不必再死抱著特殊角度這一觀念，當存著等分點時亦可大膽地利用構建坐標系的方法解決. 同樣的無論是哪一種情況下利用建系來處理數量積問題，它總是借助坐標系將待求向量坐標化，所不同的是在特殊角度的情境下書寫坐標是借助角度的數量關系，而在等分點的問題情境下書寫坐標是借助線段比例.

對于極化恒等式而言，有些教師認為這種技巧性的解法必須滿足①共起點②存在中點或等分點這樣的前提條件. 他們認為這是由極化恒等式的平行四邊形或三角形模型所決定的，并且很多問題情境中的確存在著這樣的特點. 筆者認為這樣的看法似乎有些保守. 就江蘇這道高考題而言，我們三次利用極化恒等式均未滿足共起點這個條件. 因為就向量的可平移性而言任意兩個不共起點的向量均可通過平移后共起點. 而對于第二問題就更不必擔心了，當我們需要中點時完全可以根據問題的要求來構造中點，以達到輔助解題的目的，更何況有些情境下根本就不需要中點. 筆者認為問題的關鍵不在于是否存在中點或共起點，而是讓學生關注極化恒等式的本質，即將向量數量積用線段的長度來表示.