一道模考題引發(fā)的思考

劉在云

[摘 要] 教師在平時(shí)的教學(xué)之余，對(duì)習(xí)題的整理、加工與反思對(duì)學(xué)生解決復(fù)雜問題有舉一反三的作用，讓學(xué)生從一道習(xí)題的“一斑”窺數(shù)學(xué)解題中一類問題之“全豹”. 通過一道模考試題對(duì)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的研究可以讓學(xué)生解決這一類問題.

[關(guān)鍵詞] 坐標(biāo)系；參數(shù)方程；極坐標(biāo)方程

筆者近日在整理教學(xué)資料時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)一道好題，這是2016年蘇錫常鎮(zhèn)高三三模的一道考查《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的附加題，回味之余，有些隨想，寫下來，與讀者共勉.

題目：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)M（1，2），傾斜角為，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C：ρ=6cosθ，若直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求MA·MB的值.

本題主要考查了直線的點(diǎn)斜式方程、曲線的普通方程與極坐標(biāo)方程的互化、直線的參數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系、弦長的求法、點(diǎn)到直線的距離公式、方程組的思想方法等主干知識(shí)，涉及知識(shí)面廣，解題方法多元化，全面考查了學(xué)生分析問題及解決問題的綜合能力，對(duì)提高學(xué)生的綜合發(fā)散思維能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大幫助.

要解決本題，學(xué)生必須認(rèn)真讀題、審題，了解該題所涉及知識(shí)點(diǎn)，并能夠正確地回憶出相關(guān)概念、公式：

（1）直線的點(diǎn)斜式方程. 直線方程是江蘇高考的八個(gè)C級(jí)考點(diǎn)之一，教材中學(xué)習(xí)了五種直線方程的基本形式，其中，直線的點(diǎn)斜式方程是其他四種方程之根本，學(xué)生如若對(duì)直線方程的點(diǎn)斜式不能正確寫出，那么此題的后續(xù)解答就無法進(jìn)行下去.

（2）曲線的普通方程與極坐標(biāo)方程的互化.普通方程與極坐標(biāo)方程的互化，其實(shí)就是將平面直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)與極坐標(biāo)系的極點(diǎn)重合，將極軸與x軸的正半軸重合，在相同的長度單位下，將直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而將曲線的方程進(jìn)行互化. 準(zhǔn)確地進(jìn)行方程的轉(zhuǎn)化，是解決與極坐標(biāo)有關(guān)問題的關(guān)鍵.

（3）相關(guān)重要公式. 涉及直線與圓相交的問題，大多數(shù)情況下會(huì)與點(diǎn)到直線距離公式、弦長的求法關(guān)聯(lián)在一起，數(shù)形結(jié)合思想在此種題型中應(yīng)用也非常廣泛. 這就要求學(xué)生平時(shí)在解題時(shí)必須養(yǎng)成作簡圖的好習(xí)慣，輔助解題，對(duì)半徑、弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形要牢記于心.

（4）直線的參數(shù)方程. 學(xué)生在學(xué)習(xí)參數(shù)方程時(shí)，往往忽視在已知條件下寫直線參數(shù)方程的鍛煉，而習(xí)慣于根據(jù)直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，寫出直線的普通方程. 一旦出題者顛覆思維定式，讓題目在普通方程下求解變得計(jì)算量非常大時(shí)，考生就會(huì)被卡住，失去此題的分?jǐn)?shù).

另外，若如題目意圖就是想讓考生利用直線參數(shù)方程去解答，那么參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義必定考查，這點(diǎn)一定切記.

學(xué)生只有對(duì)上述知識(shí)點(diǎn)有了清晰的認(rèn)識(shí)與掌握之后，才能進(jìn)入后續(xù)的解題，當(dāng)然，解題思路與方法的選擇與學(xué)生個(gè)人對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握和熟練程度有關(guān).下面給出了三個(gè)學(xué)生考試時(shí)的解答過程.

學(xué)生甲：由題意，可得直線l的普通方程：y-2=（x-1），即x-y+2-=0.

將圓C：ρ=6cosθ化成普通方程為：

x2+y2-6x=0，聯(lián)立方程組

x-y+2-=0，

x2+y2-6x=0，將直線方程代入圓的方程，有4x2+（4-12）x+7-4=0，……

點(diǎn)評(píng)：再往后，學(xué)生甲解不下去了，可以預(yù)見，如若繼續(xù)解下去，要求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)距離公式求MA，MB，計(jì)算量是多么巨大，在考試所限時(shí)間之內(nèi)根本無法解得出來.

學(xué)生乙：由題意，可得直線l的普通方程：y-2=（x-1），即x-y+2-=0.

將圓C：ρ=6cosθ化成普通方程為：（x-3）2+y2=9，圓心C（3，0），半徑r=3，所以C到直線l的距離CH==+1.

因?yàn)镃M=2，所以HM=-1，

而AH==，

所以MA·MB=（+-1）[-（-1）]=5-2-4+2=1.

[l][C][A][H][M][B]

圖1

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生乙的解法巧妙地運(yùn)用了求弦長的策略，在學(xué)生甲解法的基礎(chǔ)上提升不少，雖解出了正確答案，但在數(shù)據(jù)的處理上需要不少的技巧.

學(xué)生丙：由題意，將圓C：ρ=6cosθ化成普通方程為：x2+y2-6x=0，寫出直線l的參數(shù)方程：x=1+t

cos，

y=2+t

sin， （t為參數(shù)），即

x=1+t，

y=2+t，（t為參數(shù)），將直線l的參數(shù)方程代入圓C：x2+y2-6x=0中，整理，有t2+2（-2）t-1=0，所以t1·t2=-1，所以MA·MB=

t1·t2

=1.

點(diǎn)評(píng)：不難看出，學(xué)生丙的解法比學(xué)生甲、學(xué)生乙更勝一籌，由于運(yùn)用了直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，減少了計(jì)算量，所以因計(jì)算帶來失誤的概率會(huì)大大降低，解題所需時(shí)間會(huì)大大減少.

坐標(biāo)系與參數(shù)方程的題目，是附加題第21題選做題的第3題，屬于容易題. 學(xué)生能否拿到滿分，主要取決于學(xué)生對(duì)基本概念、公式的掌握程度，解題時(shí)能否將平時(shí)所學(xué)的零碎的知識(shí)有效地整合在一起，轉(zhuǎn)化成解題能力，能否正確、規(guī)范地書寫解題過程.

在高三三輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)通過典型的考題，引導(dǎo)學(xué)生回顧、整合以前所學(xué)知識(shí)，要求學(xué)生在解題后進(jìn)行反思，透過題目表象，看清出題者的意圖，長此以往，定能幫助學(xué)生達(dá)到“解一道題，會(huì)一類題”的高度.