解析式y=kx+b與x=my+a的比較研究

楊愛萍

[摘 要] 直線的解析式常以y=kx+b的形式出現，但它不能表示斜率不存在的直線.由它可引申出形如x=my+a的直線解析式，它可以表示斜率不存在的直線，但它不能表示斜率為0的直線. 因此，當我們確定問題情境中的直線斜率不為0時，可用x=my+a來表示直線，避免問題解決過程中的分類討論、降低計算的復雜程度.

[關鍵詞] 坐

眾所周知，解析幾何中的直線解析式通常以斜截式y=kx+b的形式出現，在具體運用中一定要考慮到斜率是否存在，因此需要對直線進行分情況討論. 考察學生的解決過程可以發現學生有這樣一種解題慣性：拿到問題就設直線方程為y=kx+b，從不考慮直線斜率是否存在的情況. 從而易造成漏解的情況，在這種情況了誕生了形如x=my+a的直線解析式.

[?] 理論分析：x=my+a的相關內容解析

以斜截式為例，當直線斜率不為0時，可以將y=kx+b作變形處理得到x=y-，令=m，-=a，可得到形如x=my+a的解析式，根據高等數學中極限的內容可知：當k→∞時，即=0，因此x=my+a的解析式可以表示斜率不存在的直線.但同時它也存在著自身的缺點，根據極限可知當k→0時，即→∞，即m→∞，因此它不能表示斜率為0的直線. 在x=my+a的解析中參數m代表著直線斜率的倒數，是斜率的一種表示方式；參數a代表直線在x軸上的截距. 因此，當問題情境中出現“直線在x軸上的截距為a或直線過（a，0）”時，我們可以考慮設直線解析式為x=my+a. 除了斜截式的設法外，此種解析式也有點斜式的設法. 當問題情境中出現“直線過某點A（x0，y0）”時可設直線方程為x-x0=m（y-y0），一種特殊的情形是當某點為（0，y0），直線方程可以表示成x=m（y-y0）的形式.

在實際的解題運用這種特殊設法的過程中可以將普通形式中的相關結論遷移到這種形式上. 例如普通形式中當l1和l2平行時有結論k1=k2，則在特殊形式中有m1=m2；普通形式中當l1和l2垂直時有結論k1k2=-1，在特殊形式中亦有m1m2=-1. 利用這些結論可以在已知直線位置關系時，由一條直線的方程輕松寫出另一直線的方程. 再比如普通形式中有弦長公式AB=

x1-x2

=

y1-y2

，而在特殊形式中弦長公式的表示如下：AB=

y1-y2

=

x1-x2

.

[?] 實踐操作：x=my+a和y=kx+ b的比較研究

例（大豐區某中學高二期中）在平面直角坐標系中，橢圓C：+=1（a>b>0）的焦距為2，一個頂點與兩個焦點組成一個等邊三角形. （1）求橢圓標準方程；（2）橢圓C的右焦點為F，過F的兩條相互垂直的直線l1和l2，直線l1與橢圓C交于P，Q兩點，直線l2與直線x=4交于T點，求TF∶PQ的取值范圍.

解：（1）略+=1.

（2）法一（設x=my+a）：根據 “直線l2與直線x=4交于T點”可知l2一定不垂直于x軸，所以l1的斜率一定不為0，可設直線l1方程為x=my+1，將其代入橢圓方程+=1，消去x可得關于y的一元二次議程（3m2+4）y2+6my-9=0. 由根與系數關系可知y1+y2=-，y1y2=-，再弦長公式可推導出PQ=

y1-y2

==12；l2方程可表示為y=-m（x-1），令x=4，則y=-3m，所以TF==3，所以=3·=

3+

. 令=t（t≥1），所以=

3t+

，根據函數單調性可知3t+在[1，+∞）上單調增，所以

min=1，即的取值范圍為[1，+∞）；

法二（設y=kx+b）：①當l1垂直于x軸時，PQ為橢圓通徑其長度為3，此時l2在x軸上TF的長度為3，所以TF∶PQ=1；②當l1不垂直于x軸時，設直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為-，所以直線l1的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯立，整理后可得一元二次方程（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，所以x1+x2=，x1x2=. 根據弦長公式可知：PQ=·=，l2的方程為y=-（x-1），令x=4，則y=-，所以TF==3，所以=，化簡后可得=·=

+

. 令=t（t>1），換元后原式變為=

3t+

. 由于3t+在（1，+∞）上單調增，所以>1，即的取值范圍為（1，+∞），綜合①②可知的取值范圍為[1，+∞）.

對比以上兩種解法可以發現，設形如x=my+a的解析式在計算復雜程度和規避錯誤風險兩個方面有明顯的優勢. 首先，就計算復雜程度而言，從兩者消元后所得方程的復雜度就可窺見哪一種方法的計算難度更大了，因為消元后的方程復雜程度就決定著利用根與系數關系和弦長公式求解弦長表達式的難易. 通過比較不難發現利用x=my+a化簡后的表達式（3m2+4）y2+6my-9=0顯然更為簡潔.因此利用x=my+a求解在計算復雜程度上更勝一籌. 其次，就規避錯誤而言，在利用y=kx+b解決問題時，學生在思維上存在著一定的慣性，即拿到問題就直接設直線方程為y=k（x-1），他們往往不會去思考斜率不存在的情況，從而造成本題的漏解，而在利用x=my+a時可以避免討論斜率不存在的情況（當然前提是能確定直線斜率不為0，而在考慮斜率不存在與斜率為0的問題上，學生更易忽略的是斜率不存在的情況）. 綜上所述，我們可以認為形如x=my+a的解析式是由y=kx+b通過變形而來，但卻有著避免分類討論和降低計算復雜程度的功用.