值得商榷的三次函數零點的一組重要結論

雷波

[摘 要] 陜西省西安鐵一中劉康寧老師在《中學數學教學參考》2014年第4期（上旬）上發表的《三次函數零點的一組重要結論》一文，文中提出了三次函數零點的13個結論和1個推論，但其中的部分結論值得商榷，本文對值得商榷的部分結論給出了剖析和修正.

[關鍵詞] 三次函數；結論；商榷；剖析；修正

陜西省西安鐵一中劉康寧老師的《三次函數零點的一組重要結論》一文中，針對函數f（x）=x3+ax2+bx+c的零點提出了13個結論和1個推論，筆者通過對這些結論和推論的反復研讀，認為該文中的結論2、結論3、推論、結論4、結論5、結論6的必要性成立，而充分性都不成立.

由于篇幅的原因，現只對該文中的結論2、結論3的證明給予剖析并對這些結論給出修正，而對于推論、結論4、結論5、結論6的剖析和修正可參照本文剖析和修正.

為了行文方便，先列出原文中的說明和結論1.

若不加說明，系數a，b，c均為實數.

結論1：函數f（x）=x3+ax2+bx+c至少有一個零點.

結論2：函數f（x）=x3+ax2+bx+c有三個零點的充要條件是a2-3b≥0.

原文證明：由結論1知f（x）至少有一個零點，不妨設x0是函數f（x）的零點，則

f（x）=（x-x3）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b].

從而，函數f（x）有三個零點的充要條件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有兩個實根，則關于x的二次方程的判別式Δx=（x0+a）2-4（x+ax0+b）≥0.

即3x+2ax0-a2+4b≤0.①

關于x0的二次不等式①有實數解的充要條件是Δ=4a2-12（-a2+4b）≥0，即a2-3b≥0.

故函數f（x）有三個零點的充要條件是a2-3b≥0.

剖析：當a=b=0時，顯然滿足a2-3b≥0，但此時函數f（x）=x3+c只有一個零點；

當a=c=0，b=-1時，顯然滿足a2-3b≥0，但此時函數f（x）=x3-x2=x2（x-1）只有兩個零點.

那么問題出在什么地方？在上述原文的證明過程中，我們不難發現：

“函數f（x）有三個零點的充要條件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有兩個實根”是不成立的.現舉特例說明如下：

設a=-x0，b=-x，則方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0變為方程x2-x=0，

而方程x2-x=0有兩個實根都是x0和-x0.

所以方程（x-x0）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b]=0有三個實根，但有兩個實根都是x0，另一個實根是-x0.

所以，此時的函數f（x）=（x-x0）[x2+（x0+a）x+x+ax0+b]只有兩個零點x0和-x0.

所以“函數f（x）有三個零點的充要條件是方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有兩個實根”是不成立的.

從上面證明可以看出，方程x2+（x0+a）x+x+ax0+b=0有兩個實根只能是函數f（x）有三個零點的必要條件，而非充分條件.

修正：函數f（x）=x3+ax2+bx+c有三個零點的必要條件是a2-3b>0.

結論3：若函數f（x）=x3+ax2+bx+c有三個零點，則這三個零點均為正數的充要條件是a<0，b>0，c<0，且a2-3b≥0.

原文證明：由結論2知函數f（x）有三個零點的充要條件是a2-3b≥0.

設函數f（x）的三個零點為x1，x2，x3，則

x1+x2+x3=-a，

x1x2+x2x3+x3x1=b，

x1x2x3=-c.②

下面證明x1，x2，x3>0的充要條件是a<0，b>0，c<0.

由②知，必要性是顯然的，下面用反證法證明其充性.

假設x1，x2，x3不全大于0，則由x1x2x3=-c>0知x1，x2，x3必為一正兩負. 不妨設x1>0，x2<0，x3<0，由x1+x2+x3=-a>0，得x1>-（x2+x3）>0. 于是

b=x2x3+x1（x2+x3）

這與b>0矛盾，故充分性得證. 綜上所述，結論成立.

剖析：首先其證明的第一步就使用了充分性不成立的結論2：函數f（x）有三個零點的充要條件是a2-3b≥0.

由上對結論2的修正知，a2-3b>0只能是函數f（x）有三個零點的必要條件. 因此在此條件下，函數f（x）不一定有三個零點. 所以證明過程中：“x1，x2，x3>0的充要條件是a<0，b>0，c<0”也是不成立的.其證明也是錯誤的.我們用特例說明如下：

取a=-4<0，b=5>0，c=-6<0，則函數f（x）=x3-4x2+5x-6，

即f（x）=（x-3）（x2-x+2），顯然函數f（x）=x3-4x2+5x-6只有一個零點，

其方程（x-3）（x2-x+2）=0也只有一個實根，另兩根是虛根.

因為虛根是沒有正負，也不能比較大小的，所以原文用反證法證明其充分性中，假設x1，x2，x3不全大于0，以及由x1x2x3=-c>0知x1，x2，x3必為一正兩負. 不妨設x1>0，x2<0，x3<0，都是不成立的.

修正：若函數f（x）=x3+ax2+bx+c有三個零點，則這三個零點均為正數的必要條件是a<0，b>0，c<0，且a2-3b≥0.