一道課本習題改編的一組高考題

李瑞杰

[摘 要] 高考卷向來重視對教材例題、習題的挖掘、引申和改造，體現“深入教材，又高于教材”，做到重基礎、考能力. 教師要引導學生抓綱靠本，強調變式，培養思維的靈活性和創造性.

[關鍵詞] 高考；課本；改造

筆者所在地區使用的高中數學教材為人教A版，在必修五教材的第一章內容中有關于“海倫和秦九昭”的閱讀與思考內容. 既然是閱讀與思考，往往未受到教師和學生的重視. 但是，此部分內容對于學生了解數學史、提高數學素養都是極好的材料，甚至也可以豐富學生解題思路和技巧.

[?] 海倫—秦九昭公式

在解三角形的問題中，一個比較困難的問題是如何由三角形的三邊a，b，c直接求出三角形的面積. 據說這個問題最早是由古希臘數學家阿基米德解決的，他得到公式S=，其中p=（a+b+c）. 但是現在人們常常以古希臘的數學家海倫命名這個公式，稱此公式為海倫公式. 其實，我國南宋時期的數學泰斗秦九韶編撰的《數書九章》一書的卷五中曾記載過“三斜求積術”，秦九韶的算法相當于：S=，其中a≥b≥c. 它雖然與海倫公式形式上不一樣，但兩者是完全等價的，實質是一樣的. 故海倫公式也稱之為“海倫—秦九韶公式”.

[?] 海倫公式的證明

筆者以思考題的形式要求學生閱讀此部分內容，并用自己的方法證明海倫公式. 學生的證明方法主要有以下兩種.

方法1：△ABC的三邊長分別為a，b，c，則有三角形的面積公式可得S=absinC=ab，再由余弦定理可得S=ab

化簡得S=，令p=（a+b+c），于是有

S=，海倫公式得證.

方法2：如圖1，△ABC的三邊長分別為a，b，c，AD為邊BC的高. 又因為BD=ccosB=，所以，AD2=AB2-BD2=c2-

.

由于S=·BC·AD=a·=，

可由平方差公式化簡可得S=·，令p=（a+b+c），于是有S=，海倫公式得證.

點評：學生以上的兩種種證明方法思路簡單，利用所學求三角形面積的基本知識，以及余弦定理，將角度轉化為邊長，這樣可以使得最后推證的公式中無角度，只存在邊長，化簡過程較復雜，需要學生細致、耐心的計算，有助于培養學生的轉化思想、計算能力和邏輯推理能力.

第二種證明方法需要說明：圖1中的高AD在三角形的內部，根據三角形知識可知，若是過鈍角三角形中的銳角頂點作對邊的高，則此時高AD則會在三角形的外部（如圖2），那么此時BD=

ccos（π-B）

=

，也可推證出海倫公式. 也可理解為：即使△ABC為非銳角三角形，過最大內角作對邊的高，那么此時高一定在三角形內部，按照此種證明方法海倫公式也可得證.

[?] 海倫公式的兩個推論

推論1：已知三角形的三邊長為a，b，c，設p=（a+b+c），可得三角形的內切圓半徑r=.

證明：如圖3，圓O為△ABC的內切圓，內切圓半徑為r，則有

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=cr+ar+br.

由海倫公式可得S△ABC==（a+b+c）r=pr，證得

r=.

推論2：設邊AB，BC，CA上的高分別記為hc，ha，hb，可得

ha=，hb=·，

hc=.

證明：因為S△ABC=ah=，可證得

ha=，同理可證推論2成立.