畫(huà)數(shù)學(xué) 助數(shù)模

范桂梅

（福建省三明市梅列區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 福建 三明 365000）

畫(huà)數(shù)學(xué) 助數(shù)模

范桂梅

（福建省三明市梅列區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 福建 三明 365000）

畫(huà)數(shù)學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種有效策略，通過(guò)畫(huà)符號(hào)、畫(huà)線段、畫(huà)幾何，化抽象思維為形象思維，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)模進(jìn)行適度的生成、拓展和重塑，最終讓他們通過(guò)“畫(huà)”形成主動(dòng)建模的能力，同時(shí)會(huì)讓課堂充滿活力，提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

畫(huà)圖 建模 符號(hào) 理解題意 線段圖 空間觀念

兒童在不同的階段有不同的認(rèn)知水平，小學(xué)生主要以直觀形象思維為主，而數(shù)學(xué)卻具有抽象性的特點(diǎn)，如何化解這對(duì)矛盾體呢？有效途徑在哪里呢？《課標(biāo)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)，由此可見(jiàn)，模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)必須滲透的思想方法之一。”實(shí)踐也證明，只要在教學(xué)中善于組織學(xué)生建模，逐步形成學(xué)生主動(dòng)建模能力，就可以幫助學(xué)生有效解決問(wèn)題。而“畫(huà)圖”模型的運(yùn)用是最為廣泛。 “畫(huà)”是一種數(shù)形結(jié)合，它能夠讓學(xué)生的認(rèn)知從抽象到具體，它能夠形象地把題目中的條件與問(wèn)題的聯(lián)系揭示出來(lái)，把數(shù)轉(zhuǎn)化成形。搭建一座有效的數(shù)學(xué)橋，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、畫(huà)符號(hào) 便于理解題意

數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯。”《標(biāo)準(zhǔn)》中把發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)作為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，指出“符號(hào)意識(shí)主要指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理得到的結(jié)論具有一般性。”符號(hào)意識(shí)的形成過(guò)程可以通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中有接觸到很多的符號(hào)，如交通符號(hào)、停車牌等等，所以學(xué)生的符號(hào)記憶里并非空白。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感受每個(gè)符號(hào)的內(nèi)涵，對(duì)符號(hào)產(chǎn)生好奇心，將日常語(yǔ)言符號(hào)逐步譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)。學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)，特別是數(shù)量關(guān)系的理解，有一定的困難，如果能夠讓學(xué)生在自己的本子上通過(guò)一些符號(hào)進(jìn)行畫(huà)一畫(huà)，涂一涂，寫(xiě)一寫(xiě)，有意識(shí)地通過(guò)畫(huà)圖建模，借助實(shí)物圖把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化、具體化，讓學(xué)生理解題意，從而找到解決問(wèn)題的方法。

例如：例如一年級(jí)有一道這樣的題“小明前面有8人，后面有5人，一共有多少人”，大部分的孩子是用8＋5=13（人），在教學(xué)中我問(wèn)孩子們：從題目中知道了什么？小明有沒(méi)有包括在內(nèi)，那么小朋友們我們可以用畫(huà)圖的方法幫助我們理解題意，我們用□表示小朋友可以畫(huà)出下面的圖，你們看,

□□□□□□□□小明□□□□□，通過(guò)畫(huà)圖孩子們理解了，當(dāng)場(chǎng)叫了起來(lái)應(yīng)該還要再加上小明，應(yīng)列式為8＋5＋1=14（人）。我又讓孩子理解這里的1就是小明，不能漏數(shù)。順勢(shì)我又換了一道題：從前面數(shù)起小明排在第8，從后面數(shù)起小明排在第5，一共有多少人？這時(shí)我放手讓學(xué)生自己也用自己喜歡的符號(hào)畫(huà)畫(huà)圖，畫(huà)完圖學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這道變換題小明就不能重復(fù)算了，再讓學(xué)生把兩幅圖進(jìn)行比較，讓學(xué)生進(jìn)行辨析什么情況下小明是沒(méi)有數(shù)的，什么時(shí)候小明是重復(fù)數(shù)的，最后告訴學(xué)生，畫(huà)圖是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法，以后我們有的題目不理解，可以通過(guò)一些符號(hào)來(lái)畫(huà)圖來(lái)解決。

又如在雞兔同籠對(duì)于三年級(jí)的孩子來(lái)說(shuō)用假設(shè)法，孩子不能解理，這時(shí)我們可以通過(guò)“畫(huà)”幫助解題：籠子里有一些雞和兔，頭有5個(gè)，腳有14只，請(qǐng)問(wèn)雞和兔各有幾只？

教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生先畫(huà)出頭（用○表示頭），用|表示腳，最后根據(jù)情況畫(huà)出腳的只數(shù)。

生1：我先畫(huà)5個(gè)頭，每個(gè)頭下面畫(huà)出2只腳，這樣就有10只腳，那么還剩下2只腳，兔子有4只腳，剩下2只腳畫(huà)在1個(gè)頭下。

生2:我先畫(huà)5個(gè)頭，每個(gè)頭下畫(huà)出4只腳，這樣就多6只腳，雞有2只腳，6只腳就是3只雞多出的。

通過(guò)用符號(hào)表示，畫(huà)出了圖，幫助學(xué)生理解題意，把題目中隱性的條件通過(guò)圖化為顯性的條件，學(xué)生理解了題意，找到解決問(wèn)題的突破口，從而解決了問(wèn)題。所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，將日常語(yǔ)言符號(hào)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)建構(gòu)起數(shù)學(xué)符號(hào)的模型。

二、畫(huà)線段 分析數(shù)量關(guān)系

問(wèn)題解決是小學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，有時(shí)題目中的條件多，問(wèn)題復(fù)雜，學(xué)生很容易造成思維混亂，無(wú)從下手。數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：要使學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略，其中畫(huà)圖的策略是一種很基本也很重要的策略。除了畫(huà)符號(hào)那么線段圖能夠直觀地揭示應(yīng)用題的條件與條件，條件與問(wèn)題之間的關(guān)系，能夠把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，數(shù)形相結(jié)合，借助圖把抽象問(wèn)題具體化，繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而理解其中的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題。

如在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義后，學(xué)生對(duì)分率和具體數(shù)量容易混，有時(shí)通過(guò)畫(huà)圖可以幫助理解題意。我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的一道題：一條繩子兩次用完，第一次用去2/5米，第二次用去2/5，哪次用去的多？對(duì)于五年級(jí)的孩子遇到了這樣的問(wèn)題，一般都會(huì)說(shuō)無(wú)法判斷，因?yàn)檫@條繩子多少長(zhǎng)沒(méi)有告訴我們。為什么學(xué)生會(huì)認(rèn)為無(wú)法判斷呢，一沒(méi)有理解題意，二沒(méi)看清題目這條繩子是兩次用完，畫(huà)圖就起到了很大的作用，我讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)畫(huà)，并同桌之間討論下怎樣畫(huà)，先畫(huà)哪次的，孩子們通過(guò)了討論、畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)不能先畫(huà)第一次用去的，可以把第二次用去的先畫(huà)，第一次用去的再畫(huà),如圖

從上面的線段圖可以理解題意，第一次用去的占全長(zhǎng)的3/5，第二次占2/5，所以第一次用去的多。可以看出畫(huà)線段圖這種數(shù)形結(jié)合，把實(shí)際問(wèn)題抽象、概括成為簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題這一部分，即建立數(shù)學(xué)模型。利用畫(huà)圖為學(xué)生找到了解決問(wèn)題的突破口，從而理解了題意，分析了數(shù)量之間的關(guān)系，輕松解決了問(wèn)題。

又如：幾倍多幾、幾倍少幾的應(yīng)用題，對(duì)學(xué)習(xí)困難學(xué)生來(lái)說(shuō)一直比較困難。他們對(duì)以哪個(gè)量為標(biāo)準(zhǔn)、哪個(gè)量是一倍量比較難理解，常常不能根據(jù)具體情況做出正確的分析和判斷，對(duì)求一倍量和幾倍量的方法常常混淆，由此我通過(guò)畫(huà)線段圖幫助理解題意，找數(shù)量關(guān)系

白兔有24只，黑兔比白兔的2倍多2只，黑兔多少只？

（1）

（2）白兔有24只，比黑兔的2倍多2只，黑兔幾只？

通過(guò)兩題的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩道題的一倍量是不同的，也就是比的標(biāo)準(zhǔn)不同，從圖知道在第二道題中黑兔是未知的也就是一倍量是未知的，如果用算術(shù)解，需要逆向思維，從圖很直觀地看出：黑兔只數(shù)的2倍+2=白兔的只數(shù)，如果用方程解就容易多了，第一道題從圖中可以看出把白兔只數(shù)的2倍+2=黑兔只數(shù)，也就是求24的2倍+2=黑兔只數(shù)。通過(guò)圖的對(duì)比分析數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生得出當(dāng)一倍量是已知的，用算術(shù)解來(lái)解答更容易，當(dāng)一倍量是未知的，用方程解來(lái)解答更容易，也讓學(xué)生感受到用方程的優(yōu)越性。

線段圖可以將抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化、直觀化，將繁難的問(wèn)題通過(guò)線段圖分析數(shù)量關(guān)系，繞過(guò)思維的障礙，從而搜尋到解決問(wèn)題的突破口，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型。

三、畫(huà)幾何 建立空間觀念

在數(shù)學(xué)中，很多的題目，可以用圖形來(lái)解決，如果老師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出圖，一步步通過(guò)圖把題目中的意思表達(dá)出來(lái)，特別是在一些幾何問(wèn)題中，畫(huà)圖尤其重要，利用圖形把繁雜的文字化為圖，以圖助數(shù)，解決問(wèn)題就輕松了。

例如在學(xué)完長(zhǎng)方形面積中有這樣的一道題：有一個(gè)長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)增加4分米，面積就增加了20平方分米，寬增加2分米，面積也增加20平方分米，求原來(lái)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？

大部分學(xué)生看到這道題，難以解決，教師可以指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，先畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方形

從這個(gè)圖中可以看出長(zhǎng)增加了4分米，寬是不變的，那么面積增加20平方分米，可以求出寬是20÷4=5（分米）

又根據(jù)寬增加2分米，面積也增加20平方分米，畫(huà)出另一個(gè)圖

同理可以看出寬增加了2分米 長(zhǎng)是不變的，那么面積就增加20平方分米，可以求出長(zhǎng)是20÷2=10（分米）

原來(lái)長(zhǎng)方形的面積就是10×5=50（平方分米）

又如在立體圖形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在運(yùn)用圓柱圓錐知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因在哪里？學(xué)生的空間想象能力不強(qiáng),靠想象解決此類問(wèn)題,有一定困難。小學(xué)立體幾何知識(shí)具有較強(qiáng)抽象性和邏輯性，加上小學(xué)生年齡特征決定其認(rèn)識(shí)水平有很大局限性，學(xué)生初步空間觀念難以建立。案例：一個(gè)圓柱和圓錐，體積相等，圓柱高是圓錐高的2倍，圓錐的底面積是圓柱底面積的（ ）。 學(xué)生一拿到這道題感覺(jué)好難，首先，學(xué)生不理解題意，對(duì)兩種概念模糊不清；其次，沒(méi)有真正理解“圓柱”和“圓錐”之間的關(guān)系，無(wú)從下手。《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中建立空間觀念。但在實(shí)際的教學(xué)中，圓柱和圓錐相對(duì)運(yùn)用較少。在生活中，學(xué)生不管看到的、摸到的大多是長(zhǎng)方體和正方體，而圓柱和圓錐接觸、運(yùn)用的非常少，偏離了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，所以學(xué)生感覺(jué)很陌生，接受起來(lái)也特別困難。對(duì)于這道題如果采用代數(shù)式的方法學(xué)生很難理解，如果采用了 “畫(huà)圖”的方法可以幫助學(xué)生建立空間概念，使得幾何教學(xué)生動(dòng)形象，更好地幫助學(xué)生理解“圓柱”和“圓錐”之間的關(guān)系。教學(xué)中一樣先讓學(xué)生畫(huà)出一對(duì)等底等高的圓柱和圓錐，并在圓柱上標(biāo)上3，表示圓柱的體積看成3份，圓錐上標(biāo)上1表示圓錐的體積是1份，如圖：

這樣從圖中非常容易看出圓錐的底面積是圓柱底面積的6倍。讓畫(huà)的方法成為解決問(wèn)題的拐杖，并幫助學(xué)生進(jìn)一步深刻地理解了圓柱與圓錐之間的關(guān)系。這樣，學(xué)生借助畫(huà)圖分解難點(diǎn)，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維--- 體會(huì)“畫(huà)”數(shù)學(xué)的魅力。

在幾何教學(xué)中要注意讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，化抽象為具體，畫(huà)圖形成表象，初步建立幾何直觀的模型，有助于提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)以上實(shí)例足以看出畫(huà)圖對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題十分有效.“畫(huà)”數(shù)學(xué)這種方法不僅能夠幫助學(xué)生建立表象，以達(dá)到抽象邏輯思維與具體形象思維的完美統(tǒng)一，通過(guò)畫(huà)圖可以幫助學(xué)生建立清晰的思維模型，借助數(shù)學(xué)模型的研究，有利于學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于提高思維的導(dǎo)向，有利于解決更多的生活中的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問(wèn)題。學(xué)生的思路會(huì)豁然開(kāi)朗，從而使要解決的問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，一些疑難障礙會(huì)迎刃而解。畫(huà)圖兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長(zhǎng),是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一,是一種有效的數(shù)學(xué)思考方法。

[1]張習(xí)禹.畫(huà)數(shù)學(xué)在小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)中的妙用[J].考試周刊,2014（62）.

[2]朱靜.數(shù)學(xué)可以畫(huà)出來(lái)[J] .山東教育,2010（13）.

[3]小學(xué)數(shù)學(xué)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀.

G623.5

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2095-3089（2017）27-0159-03