淺談幾類數(shù)學(xué)思想在高考中的運(yùn)用

王恩澤

(華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三(21班)，湖北 武漢 430000)

淺談幾類數(shù)學(xué)思想在高考中的運(yùn)用

王恩澤

(華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三(21班)，湖北 武漢 430000)

本文重點(diǎn)總結(jié)了我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中比較重要的，也是各種考試中容易考到的幾類典型的數(shù)學(xué)思想，并以具體的例題展示了在解題過程中如何靈活運(yùn)用這些思想，希望通過本文的總結(jié)，能對(duì)我們數(shù)學(xué)解題能力的提升有所幫助.

高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)與方程；轉(zhuǎn)化與化歸；分類與整合

高考著重于專題知識(shí)點(diǎn)的巧妙結(jié)合與對(duì)數(shù)學(xué)技巧、思想方法、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查，同時(shí)也考核了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的精準(zhǔn)理解以及綜合運(yùn)用.在高中數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)中，同學(xué)們應(yīng)該在整體把握各部分基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，優(yōu)化思維、求同存異、知一反三，全面提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、認(rèn)知和考試能力，而數(shù)學(xué)的精髓所在即是數(shù)學(xué)思想的提煉和技巧的整合．在此我和大家一起分享以下幾種常見的數(shù)學(xué)技巧與方法：

一、數(shù)形結(jié)合在于“數(shù)”與“形”的橋梁搭建

“數(shù)”與“形”是最古老的數(shù)學(xué)形式，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的兩塊基石.“數(shù)” 具有嚴(yán)密性和抽象性，而“形”則具有直觀性和表達(dá)性，由“數(shù)”解“形”和以“形”助“數(shù)”是數(shù)形結(jié)合最基礎(chǔ)的運(yùn)用.

1. 以數(shù)解形

分析 可通過建立直角坐標(biāo)系引入三角函數(shù)，化“形”為“數(shù)” 進(jìn)而技巧運(yùn)算.

解 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD為x軸和y軸的非負(fù)半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

2.以形助數(shù)

例2 若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(b+a2-3lna)2+(c+d+4)2=0，則(a-c)2+(b-d)2的最小值為______.

解 因?yàn)?b+a2-lna)2+(c-d+4)2=0，

所以b=3lna-a2,

①

且d=c+4.

②

將①②轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，即y=3lnx-x2,

③

y=x+4.

④

記③為C1曲線，同時(shí)記④為C2直線，那么這個(gè)時(shí)候，我們可以構(gòu)造成“形”的問題，即在C1和C2上存在兩動(dòng)點(diǎn)，這兩動(dòng)點(diǎn)距離的最小值即我們題目要求的備案，而此時(shí)的兩動(dòng)點(diǎn)，可再次轉(zhuǎn)換為將C2平移至與C1相切，求出切點(diǎn)到C2的距離：

二、函數(shù)與方程思想

函數(shù)是運(yùn)動(dòng)和變化的，方程是靜止和確定的.所謂函數(shù)與方程思想即是化“動(dòng)”為靜，變“靜”為“動(dòng)”，“靜”難則“動(dòng)”易.兩者相輔而成，重點(diǎn)在于研究“動(dòng)靜”之間的數(shù)量關(guān)系.

1.函數(shù)思想的運(yùn)用

例3 在等差數(shù)列中，已知ap=q且aq=p，p≠q，求ap+p.

分析 關(guān)于等差數(shù)列中an的通項(xiàng)公式可記為an=An+B(其中A不為0)，我們可以把a(bǔ)n理解為一個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式.

解 記an=An+B為f(n)=An+B，因?yàn)閍p=q，且aq=p，即(p,q),(q,p)兩點(diǎn)在f(n)=An+B的圖象上，此時(shí)有

q=pA+B,

①

p=qA+B.

②

所以ap+q=0.

2.方程思想的運(yùn)用

三、分類與整合思想用于解含參數(shù)類題型

“分而拾之，各個(gè)擊破”是分類與整合思想的核心，我們常常把一個(gè)帶有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題按照題設(shè)中已有(或隱含條件)數(shù)據(jù)進(jìn)行有條理的討論，分析與計(jì)算，從而一步步接近答案，解決這一整個(gè)題目.

(Ⅰ)當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增；

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想讓題目簡(jiǎn)單化

化難為易是轉(zhuǎn)化與化歸的最終目的.一般地，我們通過轉(zhuǎn)化和化歸的方式將困難和陌生的問題化為簡(jiǎn)單和熟悉的問題，往往題設(shè)中會(huì)有以前見過的“影子”知識(shí)點(diǎn)，所以轉(zhuǎn)化與化歸思想的第一步是快速找到轉(zhuǎn)化點(diǎn).

例6 設(shè)不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

分析 二次函數(shù)的參數(shù)問題，所以換元是解該題的重點(diǎn)所在.

從以上看來，我們已經(jīng)看到了數(shù)學(xué)思想解題的重要性，它不僅僅涉及某個(gè)題，并且在學(xué)習(xí)過程中也能很好的啟迪思維，所以掌握好數(shù)學(xué)里的幾類數(shù)學(xué)思想，用思想指導(dǎo)解題，往往可以起到事半功倍的效果.

[1]楊永海.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的方法和技巧[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(教育理論版),2010(01):11-12.

[2]盛軍.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用評(píng)價(jià)[J].赤字(上中旬),2016(08).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

王恩澤(1998.10-)，男，湖北武漢人，高中在讀.

G632

B

1008-0333(2017)19-0013-03