應(yīng)用廣泛的三角函數(shù)

楊志敏

(甘肅省靖遠(yuǎn)縣第七中學(xué)，甘肅 白銀 730600)

應(yīng)用廣泛的三角函數(shù)

楊志敏

(甘肅省靖遠(yuǎn)縣第七中學(xué)，甘肅 白銀 730600)

本文主要討論了三角函數(shù)在四邊形、圓和實(shí)際生活中的應(yīng)用，通過(guò)構(gòu)建直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題，這類問(wèn)題難度適中，在中考中的考查非常頻繁.

三角函數(shù);四邊形;圓;實(shí)際生活

三角函數(shù)的應(yīng)用一直是中考中的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題一般是中檔題，也是拿分的重點(diǎn).解決此類問(wèn)題需要用到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將原本無(wú)法直接通過(guò)三角函數(shù)解決的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而通過(guò)三角函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題.

一、四邊形中的三角函數(shù)

三角函數(shù)與在四邊形中的應(yīng)用是中考中的重要考點(diǎn)，通過(guò)四邊形的特殊性質(zhì)，可以構(gòu)造出直角三角形.在所構(gòu)造的直角三角形中，只要知道相應(yīng)的邊長(zhǎng)，未知的三角函數(shù)問(wèn)題自然就迎刃而解了，下面的例子就是通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)解決三角函數(shù)的典型例題.

例1 如右圖所示，圖中的網(wǎng)格是由6個(gè)大小和形狀完全相同的菱形組成，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).現(xiàn)在已知菱形的一個(gè)角(∠O)為60°，A、B、C都是格點(diǎn)上的點(diǎn)，那么tan∠ABC的值是____.

分析 如圖，連接EA，EC，那么根據(jù)菱形的相關(guān)性質(zhì)，可以得到∠AEF和∠BEF的度數(shù).接著可以將菱形的邊長(zhǎng)設(shè)為m，用關(guān)于m的代數(shù)式表示出各邊的長(zhǎng)度，通過(guò)構(gòu)造出特殊的三角形，可以求出tan∠ABC的值.

評(píng)注 本題主要考查三角函數(shù)在菱形中的應(yīng)用，通過(guò)菱形的特殊性質(zhì)，可以解決三角函數(shù)的問(wèn)題.對(duì)于這道題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形，通過(guò)構(gòu)造出的直角三角形，可以求出三角函數(shù)的值.

二、圓中的三角函數(shù)

三角函數(shù)在圓中的應(yīng)用在中考中的頻率很高，主要通過(guò)圓周角定理以及解直角三角形來(lái)考查.這類問(wèn)題的解決往往需要添加輔助線，構(gòu)造出新的直角三角形，將原來(lái)無(wú)法直接求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，使得問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單便捷.

評(píng)注 本題主要考查了三角函數(shù)在圓中的應(yīng)用，通過(guò)圓周角定理以及勾股定理將問(wèn)題解決.本題的關(guān)鍵在于添加輔助線，通過(guò)添加的輔助線將無(wú)法直接求解的∠A轉(zhuǎn)化為∠D，將所要求的角構(gòu)建到一個(gè)直角三角形中.

三、實(shí)際生活中三角函數(shù)

分析 對(duì)于此類問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)建一個(gè)直角三角形，在所構(gòu)建的直角三角形中，通過(guò)三角函數(shù)的知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.而本題中的堤壩高BC與地面是垂直的，所以可以直接利用已知條件中的直角三角形，而迎水坡AB的坡比和BC的高度都是已知的，所以易得AB的長(zhǎng)度.

評(píng)注 對(duì)于此類問(wèn)題，應(yīng)該首先觀察題目中的已知條件中是否有直角三角形，如果有的話就直接通過(guò)三角函數(shù)進(jìn)行求解，省去了許多麻煩；如果沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形，需要添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)直角三角形來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.

綜上所述，三角函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，然后運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題，對(duì)于一些要添加輔助線的問(wèn)題，比較有難度，需要學(xué)生平時(shí)多加練習(xí)，做好積累，才能很好地掌握這類知識(shí).

[1]陳素和.銳角三角函數(shù)考點(diǎn)例析[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2017(02).

[2]葉紀(jì)元.網(wǎng)格中格點(diǎn)問(wèn)題的思路探究[J].新高考,2017(02).

[責(zé)任編輯：李克柏]

2017-06-01

楊志敏(1979.8)，男，甘肅靖遠(yuǎn)，中學(xué)二級(jí)教師，本科，從事初中數(shù)學(xué)課堂授課策略.

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