數據驅動緊框架在灰色圖像去噪中的應用

范立靜，王 聰

（河海大學 理學院，江蘇 南京 211100）

數據驅動緊框架在灰色圖像去噪中的應用

范立靜，王 聰

（河海大學 理學院，江蘇 南京 211100）

針對去除灰色圖像中的泊松噪聲從而進一步進行圖像分析的目的，采用了基于數據驅動緊框架的含泊松噪聲的圖像去噪變分模型，并通過了重新賦權的分裂Bregman算法解該模型。結合Matlab仿真實驗以及PSNR指標對該算法的圖像去噪效果進行評估，評估結果表明該算法可行、有效。

數據驅動緊框架；泊松噪聲；圖像去噪；分裂Bregman算法

圖像去噪是圖像處理中的基本問題之一。現如今，已經存在了大量的算法能夠解決含高斯噪聲的圖像去噪問題。但是，含泊松噪聲的圖像去噪問題依然很少被研究。泊松噪聲，一般會在由數量少的光子產生的圖像中觀察到，例如熒光顯微鏡檢查、發射X線體層照相術等等。

最近十多年來，對于去除灰色圖像中泊松噪聲的研究取得了一定進展。例如，Csiszár[1]最早提出了Kullback-Leibler（KL）-divergence保真項用于去除灰色圖像中的泊松噪聲。Luisier等[2]在小波變換中構造了一個SURE估計量用于泊松噪聲的去除。Gong等[3]提出了一個l1+l2保真項去除泊松噪聲及一切未知噪聲。最近，Zhang等學者[4-5]使用重新賦權的l2方法逼近KL-divergence保真項，從而實現了去除泊松噪聲的目的。

由圖像去噪模型的發展歷程來看，變分模型在圖像去噪中的應用是最廣的。最常用的一種變分模型是 Rudin-Osher-Fatemi（ROF）模型[6]。 ROF 在具有分段時長的圖像去噪如二進制圖像（文本和條碼）時十分有效。在ROF模型被提出之后，許多學者又衍生出了許多其他類型的變分模型[7-12]。其中，基于小波框架的變分模型[14-19]被成功應用于圖像去噪中。研究表明，基于小波框架的變分模型比其他變分模型例如ROF模型更好，這是因為小波框架的多分辨率結構和冗余。此外，Cai等[20]最近建立了小波框架和變分模型之間的聯系。這種聯系給出了基于小波框架的變分模型優于其他某些變分模型的理論依據，即基于小波框架的變分模型可以根據潛在的解的奇點的順序，在給定圖像的不同區域中自適應地選擇微分算子。最近，在小波緊框架的思想鼓舞下，Cai等[20]又基于圖像數據結構特征，提出了一種數據驅動緊框架，該框架比以往的模型更能精確地重構圖像。

文中采用基于數據驅動緊框架的變分模型去除灰色圖像中的泊松噪聲。其中，賦權的范數項作為保真項，包含數據驅動緊框架的l1范數項作為正則項。然后，又提出了解該模型的重新賦權的分裂Bregman算法。最后，文中又進行了數值實驗對所提出的模型和算法進行了驗證。

1 背景知識

1.1 變分模型理論

觀測圖像f的一般表達形式為

其中，u為原始未知圖像，ε為噪聲擾動。若噪聲為泊松噪聲，那么泊松噪聲服從泊松分布y～P（y），其概率密度函數為

其中，τ是隨機數的期望值和方差。

用于圖像去噪的變分模型一般表示為

其中，F（u）為保真項，G（u）為正則項。λ＞0 是用于平衡保真項 F（u）和正則項 G（u）。 F（u）由似然函數得到，與噪聲特性有關，G（u）是基于u的先驗假設得出，而懲罰項的標準解代表了變換系數，下面的變分模型主要研究了含加性高斯白噪聲圖像去噪：

這里||·||1表示l1范數，D是一個線性變換，例如：全變差[6]、傅里葉變換、局部余弦變換、小波框架[20]等。

1.2 含泊松噪聲的圖像特性

假設觀測圖像含有泊松噪聲，則

給定u和c，可得f的似然性為：

其中，ui是圖像u的第i個像素值。由泊松噪聲的特性可知f的期望（平均值）和方差是：

2 含泊松噪聲的圖像去噪

2.1 數據驅動緊框架

選擇緊框架基，是因為它的多分辨率性質和冗余性質有助于算法實現和圖像的稀疏表示[6-7]，基于多分辨分析（MRA）的小波由酉擴張定理[21]產生。通過小波緊框架系統的濾波器得到快速緊框架變換或分解算子W。矩陣W包括J+1個子濾波算子W0，W1，…，WJ，W0是低通濾波器，其余的是高通濾波器。通過酉擴張定理[21]，WT是快速緊框架重構算子且WTW=I，即對于任意圖像均有。

最近，Cai等[19]基于輸入圖像的結構特征，在小波緊框架的基礎上提出了數據驅動緊框架，并且該緊框架相較于小波緊框架更加精確地稀疏逼近輸入圖像。另外，Cai等[20]將數據驅動緊框架已經成功應用到了圖像去噪中。數據驅動緊框架的設計流程具體如下：

數據驅動緊框架

輸入：圖像g（未污染或污染）

主程序：

2）fordo

②令 ν（k）=Tλ（W（k）g），Tλ為硬閾值算子；

④對VGT進行SVD分解，VGT=UDXT；

通過數據驅動緊框架，可以得到一組低通和高通濾波器。在此基礎上，可以建立緊框架分解算子W和重構算子WT。此部分的理論由Cai等[20]提出，故具體理論在此不多贅述。

2.2 圖像去噪模型和算法

根據式（1），可以得到泊松噪聲的表達式如下

給定u，可得期望和方差分別為：

如果用加性高斯噪聲來逼近泊松噪聲ε，則ε服從正態分布 N（0，u），即

其中，∑是協方差矩陣。由噪聲的獨立性，可得

其中，diag（Au+c）是對角矩陣。利用極大似然性，取式（9）的負對數，得保真項

定義向量x∈RW的賦權l2范數為，Q是對稱正定矩陣。那么（11）可被改寫為

由于u≥0，所以∑-1是正定陣。式（12）可作為偏差原理在[22]中選擇正則化參數λ，但是保真項（12）含有未知的權重u，所以需要逼近或直接解決這個非線性平方問題。例如，這個未知的權重u可以通過觀測圖像f逼近，即

在這個簡化公式上，最小二乘方法結合正則化可以求解這個問題。

框架函數稀疏正則化和非負約束結合，得到下述圖像去噪模型：

文中提出了一個基于分裂Bregman迭代[23]的新算法逼近（14）的精確解。假設存在一個迭代解uk，如果uk收斂到u*，則當k充分大時，即解決下式

隨著uk逐漸穩定，1/u*逼近于1/uk，結合分裂Bregman迭代得到一個新算法，即

用算法1描述算法（16），如下：

算法1含泊松噪聲的圖像去噪算法

初始化：u0=0；d0=Wf；b0=0；k=1，Σ0是初始協方差矩陣；

3 數值實驗

為對本文提出的去除泊松噪聲的模型與算法的有效性進行驗證，本小節共進行了兩組數值實驗，所選取的圖片分別為“cameraman.tif”和“boat256.png”。在Matlab仿真平臺下，通過‘poissrnd’生成泊松噪聲。為了數值上強有力地說明數值實驗效果，文中選取評價指標PSNR對圖像去噪效果進行評價，PSNR表達式如下：

經計算得，cameraman圖像（第一行）與boat256圖像（第二行）的PSNR值分別為31.07、30.78。由圖1和PSNR值，可以得出，本文所提的模型與算法能夠有效地去除泊松噪聲。

圖1 cameraman圖像（第一行）與boat256圖像（第二行）去噪效果圖

4 結論

文中首先提出了一種基于數據驅動緊框架的變分模型用于含有泊松噪聲的圖像去噪。然后又提出了重新賦權的分裂Bregman算法用于解該模型。本文首次完成了數據驅動緊框架與變分模型的結合，并且將所提出的模型應用到了圖像去噪中。另外，數值實驗表明所提出的模型與算法能夠有效地進行圖像去噪并且具有一定的實用性。這也說明了本文所提的模型和算法適合向其他相似研究領域推廣。

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Application of data-driven tight frame in gray image denoising

FAN Li-jing，WANG Cong
（College of Science， Hohai University， Nanjing 211100， China）

In this paper，we proposed a data-driven tight frame based variational model for image denoising with Poisson noise，in order to remove Possion noise from noisy gray image and analyze image data further.And we proposed reweighted split Bregman algorithm to solve this model.Combining with supporting numerical experiments and PSNR indicators，we assessed the model evaluation results.Results showed that the algorithm was feasible and effective.

data-driven tight frame； Poisson noise； image denoising； split Bregman algorithm

TN919.8

：A

：1674－6236（2017）15-0180-04

2016-09-22稿件編號：201609204

國家自然科學基金項目（11101120）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（2015B38014）

范立靜（1990—），女，山東濟寧人，碩士研究生。研究方向：小波分析及應用、圖像處理。