一元一次不等式與一元一次方程的關聯與區別

魏思晴

一、關于基本概念

所謂的“一元一次”指的是“只含有1個未知數，且未知數的最高次數為1”，這是一元一次方程和一元一次不等式的最大相同點.還有一處相同點非常容易被同學們忽略：當我們談到“一次”時，等號或不等號左右兩邊的式子都必須是整式.

方程是含有未知數的等式，用等號連接，表達相等關系.而不等式則是用<，>，≤，≥，≠這些不等號連接的，表達的是不等關系.符號的區別是兩者在形式上最顯著的差異.自然界中的關系里，不等關系更為常見，碰巧相等才是特殊情況.

舉個例子，[2x-13]=[5x4]-5是一元一次方程，而[2x-13]≥[5x4]-5則是一元一次不等式.

二、關于基本性質

尋找方程的解的過程叫做解方程.同樣，尋找不等式解集的過程叫做解不等式.解方程的依據是等式的基本性質：1.等號兩邊同時加或減同一個數或整式，等式依然成立；2.等號兩邊同時乘或除同一個非零的數，等式依然成立.

在不等式中，對于加減也有相似的不等式的基本性質：不等號兩邊同時加或減同一個數或整式，不等式依然成立，但在乘或除的性質上，有所不同.不等號兩邊同時乘或除同一個正數，不等式依然成立；同時乘或除同一個負數時，不等號就應該改變方向.

一元一次不等式和方程一樣，求解都需要經歷去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化為1這幾個步驟，本質上還是通過一步一步地轉化，將不等式轉變為解的基本形式.在解題過程中，如果出現不等式兩邊同時乘或除負數的情況，一定要記得改變不等號的方向哦！

以之前的不等式為例，要找到[2x-13]≥[5x4]-5的解集，第一步需要去分母，不等式兩邊同時乘以12，得到4（2x-1）≥15x-60.接下來涉及去括號，得到8x-4≥15x-60.下一步移項，得到8x-15x≥-60+4.合并同類項，得到-7x≥-56.最后一步系數化為1時，不等式兩邊同時除以-7，需要改變不等號的方向，得到原一元一次不等式的解集為x≤8.

三、關于解和解集

在一元一次方程中，能使等式成立的未知數的值就是方程的解.同樣，在一元一次不等式中，能使不等式成立的未知數的值就是不等式的解.一元一次方程的解通常只有一個，是一個具體的數值，在數軸上對應一個點.而能使不等式成立的解卻有很多，在某個范圍內，不等式都能成立，把這些不等式的解看作一個整體，就是不等式的解集.不等式的解集在數軸上對應一定區域的連續的點.用≤，≥連接的不等式的解集在數軸上通常是一條射線；用<，>連接的不等式的解集可看成是一條射線去掉端點后剩余的部分.

繼續解讀文章開始用到的例子，[2x-13]=[5x4]-5的解是x=8，只有這一個值能夠使等式成立，在數軸上就是8所對應的那個點.而[2x-13]≥[5x4]-5的解集為x≤8，意思是在不超過8的范圍內的任何數都可以讓不等式成立，如x=8，x=0，x=[-53]等，它們都是不等式的解.這個不等式的解有無數個，在數軸上對應的點是包括8和在8左邊的所有的點，這些點組成了一條射線.

四、關于一元一次不等式組

將兩個一元一次不等式聯立在一起，就形成了一個一元一次不等式組，在一元一次方程中，并沒有一元一次方程組一說.一元一次不等式組的解，就是同時滿足幾個一元一次不等式的未知數的值，也就是每一個不等式的解集的公共部分.如果幾個不等式的解集沒有公共部分，也就是說這個不等式組是無解的.

我們在之前舉例的不等式上做一些變化，如果不等式[2x-13]≥[5x4]-5與2（x+4）≤3x+3聯立起來就形成了[2x-13≥5x4-5，①2x+4≤3x+3，②]分別求出兩個不等式的解集，兩個解集的公共部分就是不等式組的解集.由不等式①得x≤8，由不等式②得x≥5.得到原不等式組的解集為5≤x≤8.類似地，由三個、四個，甚至多個一元一次不等式組成的不等式組，也同樣是分別求出每個式子的解集，再找尋公共部分，即可解出整個不等式組，請同學們自己嘗試著解一解[2x-13≥5x4-5，①2x+4≤3x+3，②x-2<1. ③]

在接觸新知識的時候，類比以往熟悉的知識，找到相關的聯系點，在此基礎上對比區別之處，是一種很好的學習方法.同學們在日常的學習和生活中，需要注意積累，善于聯想，自主整理、充實、升級自己的知識庫，才能讓所學皆為我所用，成為大家口中學習不費力的學霸、學神級人物.

（作者單位：南京師范大學附屬中學江寧分校）