尋找身邊的不等式

西格

“排序”不等式

我們在公共場所做一件事情有時需要排隊，目的是讓大家做事情有秩序、節省時間、提高效率.一種公眾的情緒是，每個人都反對有人插隊，這里我們可以用一個“排序”不等式來解釋這種現象.

先看一個簡單的情形，有助于我們理解排序不等式的大意.

食堂里有一列同學在排隊打湯，為了簡單起見，我們考慮A、B、C3個人，他們分別要打4、5、6碗，每打一碗需要1分鐘，一個人打時其他人在后面排隊.則按ABC的順序需要的時間總和是4+（4+5）+（4+5+6）=4×3+5×2+6×1=28分鐘，如果按照CBA的順序，需要的時間總和是6+（6+5）+（6+5+4）=6×3+5×2+4×1=32分鐘，括號里的每一個加數是對應序號的人所用的時間.你可以算出來按照CAB的順序需要的時間，再比較大小.

由上面的計算可以知道，如果某個人在隊列中用時較多，則他在隊列中的順序越靠前，總體需要的時間就越多，這就是為什么我們不喜歡別人插隊的原因.而且，盡量不允許捎帶，如果需要捎帶，那么可以請這個人往后站，這樣可以減少全體需要的時間.

為了規范地表達其中的數學思想，我們引入下面的排序不等式對此進行闡述.

排序不等式：

設有a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn兩列數，這兩列數滿足a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，則

a1b1+a2b2+…+anbn（同序乘積之和）

≥a1bj1+a2bj2+…+anbjn（亂序乘積之和）

≥a1bn+a2bn-1+…+anb1（反序乘積之和）

其中j1，j2，…，jn是1，2，…，n的一個排列，并且等號同時成立，當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn成立.（證明略）

在排序不等式中，令（a1，a2，a3）=（4，5，6），（b1，b2，b3）=（1，2，3），則逆序和4×3+5×2+6×1<6×3+5×2+4×1（順序和），這就是上面食堂里大家排隊問題的結果.

“平均數”不等式

某人上山的速度大小為4，下山的速度大小為6，求全程的平均速度大小.

一種輕率的答案是[4+62]=5，但這顯然沒有依據.還有一種解法是，設s為山上到山下的距離，則平均速度為[2ss4+s6]=4.4<5.最后出現的不等式是否是一種偶然？也就是說，把某人上山和下山的速度大小改變一下，后者的算法結果還會小于前者的算法結果嗎？答案是肯定的.

我們可以假設，某人上山的速度大小為v，下山的速度大小為u，上山和下山的路程均為1.

按照第一種算法，全程的平均速度為[u+v2]，我們稱這個數是v和u的算術平均數.按照第二種算法，全程的平均速度為[v]=[1+11v+1u]=[2uvu+v]，我們稱這個數是v和u的調和平均數.在這里，我們有[2uvu+v]≤[u+v2]，這個證明是容易的，也就是證明（u+v）2≥4uv，即（u-v）2≥0，這個式子顯然成立.

那么，從這個例子中我們可以得到一個結論：兩個數的調和平均數不超過它們的算術平均數.這個結論具有一般性，而且可以推廣，用規范的數學語言表述如下：

一組正數a1，a2，…，an的調和平均數Hn=[n1a1+1a2+…+1an]，算術平均數An=[a1+a2+…+ann]，它們之間的關系是：An≥Hn.下面，我們再來看一個應用.

小王和小李倆人一塊去買糖，小王每次都是買1千克，小李每次都是買1元錢的.不管買多少次，糖的價格是變化的，2人同時買了相同次數，你說說這兩種方式買糖哪一個合算？

其實，我們只要比較2人歷次的平均價格就行了.設2人各買了n次，每次的價格分別為a1，a2，…，an元/千克，則a1，a2，…，an不全相等.

小王每次買1千克，則平均價格為α=[a1+a2+…+ann]；

小李每次買1元錢的，則平均價格為β=[n1a1+1a2+…+1an].

易見α為a1，a2，…，an的算術平均數，β為a1，a2，…，an的調和平均數，由于a1，a2，…，an不全相等，故α>β.也就是說價格變化時小李買的糖比小王買的糖合算.

（作者單位：南京師范大學附屬中學江寧分校）