含微裂紋懸臂梁摩擦阻尼分析研究

莫佳亮

【摘 要】本文的研究對象是含微裂紋均質(zhì)懸臂梁結(jié)構(gòu)摩擦阻尼，本文通過理論和仿真分析兩方面，先后建立一種含單條微裂紋的摩擦阻尼單胞模型和含有規(guī)則裂紋的懸臂梁模型，得到的結(jié)果對于研究含微裂紋的低粘性材料結(jié)構(gòu)具有一定的參考依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】阻尼；摩擦耗能；細觀力學(xué)；微裂紋

結(jié)構(gòu)的噪聲、振動等動態(tài)響應(yīng)會直接受阻尼等動態(tài)特性的影響，因此在結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)設(shè)計和分析中應(yīng)充分考慮其特性。結(jié)構(gòu)中的阻尼既可來源于外部的阻力，也可來源于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的耗散。根據(jù)結(jié)構(gòu)的材料特性及工作環(huán)境，阻尼機理一般可以分為以下幾種：（1）材料自身的粘彈特性；（2）界面相的阻尼（主要針對復(fù)合材料）；（3）損傷引起的阻尼；（4）粘塑性阻尼；（5）熱彈性阻尼。在上述幾種阻尼機理中，絕大多數(shù)的阻尼研究都集中于第一種。

損傷對阻尼的影響，主要可以分為兩部分，第一部分為裂紋面上的動摩擦作用而引起的能量損耗，第二部分為裂紋開裂和擴展時，形成新裂紋面所吸收的能量。此外，當(dāng)損傷大量存在且損傷尺寸較大時，結(jié)構(gòu)的整體受力也會發(fā)生變化，進而影響結(jié)構(gòu)的阻尼特性。以往的阻尼研究中，雖然會涉及到損傷對于阻尼的影響，但很少會直接給出損傷與阻尼的量化關(guān)系。

1 理論模型

在阻尼特性研究中，阻尼多用比阻尼容量ψ來表征，其表達式如下

當(dāng)外載荷為循環(huán)交變載荷時，微裂紋就會處于周期性的張開閉合交替狀態(tài)。當(dāng)裂紋閉合時，根據(jù)II型裂紋的裂尖位移場，可得到裂紋兩個面的相對位移，表達式如下

式中，G為材料剪切模量。κ=（3-v）/（1+v），v為材料泊松比。βa為裂尖奇異性主導(dǎo)區(qū)域半徑，0<β<1，本文β取0.5。r為裂紋面上任一點至較近一端裂尖的距離，a為裂紋半長。KⅡ'為裂紋面上摩擦力和單胞邊界載荷共同作用時的應(yīng)力強度因子，其表達式如下

式中，σN是接觸壓力峰值。〈 〉為單邊符號，當(dāng)符號內(nèi)表達式值為負時，結(jié)果為零，此時裂紋處于靜摩擦狀態(tài)；而當(dāng)該符號內(nèi)表達式值為正時，結(jié)果取原值，此時裂紋處于動摩擦狀態(tài)。

當(dāng)裂紋面閉合時，裂紋面上的接觸壓力可視為在裂紋面上均為分布，并等于方向的單胞邊界載荷。而當(dāng)裂紋張開時，此時裂紋面上無接觸壓力。當(dāng)在單胞邊界上施加周期性對稱正弦載荷時，微裂紋面上的接觸壓力可表達為

因單胞內(nèi)部存在裂紋，當(dāng)單胞的剪切和拉伸變形同時達到最大時，單胞的應(yīng)變能達到最大。但在本文中，由于裂紋的尺寸較小，不討論裂紋對于應(yīng)變能的影響。

因忽略微裂紋對應(yīng)力分布的影響，懸臂梁的宏觀應(yīng)力分量可直接由彈性力學(xué)得到

式中，q為施加在懸臂梁上表面的周期性對稱正弦均布載荷，L和h分別為懸臂梁的長和高，如圖1。通過轉(zhuǎn)換公式將應(yīng)力分量從整體坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換至局部坐標(biāo)系下，作為單胞模型的邊界載荷，就能得到單條裂紋在一個載荷周期內(nèi)的摩擦耗能。將所有裂紋的摩擦耗能疊加，就能得到一個載荷周期內(nèi)整個懸臂梁的摩擦耗能Efr，其表達式為

其中，下標(biāo)“j”表示第j條裂紋，Nc為懸臂梁中微裂紋總數(shù)量。F為應(yīng)力強度因子修正系數(shù)，為修正相鄰裂紋之間的相互影響，其數(shù)值可在應(yīng)力強度因子手冊上查到。

懸臂梁的應(yīng)變能可通過將應(yīng)變能密度積分得到，最后得到整個懸臂梁的摩擦阻尼。

2 仿真分析

建立如圖2的有限元單胞模型，為驗證單胞模型的準(zhǔn)確性，有限元模型計算結(jié)果與相應(yīng)的理論模型計算結(jié)果進行了對比，材料參數(shù)和摩擦系數(shù)見表1。

從表2中可以看到，理論模型的計算結(jié)果與仿真結(jié)果有著較好的一致性。同時，摩擦耗能隨著裂紋長度的增大而增大，并接近成二次關(guān)系。

為驗證懸臂梁模型的準(zhǔn)確性，建立有限元模型與相應(yīng)的理論模型進行對比。懸臂梁的長度為1000mm，高度為200mm。兩排的長度、角度、間距均相同的微裂紋對稱地預(yù)設(shè)在懸臂梁中面的兩側(cè)，每排共有8條微裂紋，分別假設(shè)了三種微裂紋的長度（a=3mm，5mm，10mm），裂紋角度均取θ=π/4，應(yīng)力強度因子修正系數(shù)F均取1.01。均布載荷的峰值由0.05MPa遞增至0.5MPa。懸臂梁的材料參數(shù)和動摩擦系數(shù)與單胞算例相同。圖3為分別由理論模型和有限元模型計算得到摩擦耗能Efr與均布載荷q的變化關(guān)系圖。

結(jié)果顯示，理論模型和仿真分析的計算結(jié)果有著很好的一致性，理論模型計算結(jié)果略低于仿真分析結(jié)果。此外圖3結(jié)果顯示，摩擦耗能Efr與均布外載荷q成二次關(guān)系。

懸臂梁摩擦阻尼ψfr的計算對比結(jié)果見表3。

從表2中可以看到，理論模型計算得到的結(jié)果與仿真分析結(jié)果相對接近。同時，摩擦阻尼與裂紋半長a成二次關(guān)系。對比球墨鑄鐵，Mg-Zn-Y-Zr合金的阻尼8.4E-3和1.3E-2，當(dāng)這些材料內(nèi)部存在微裂紋時，其阻尼會因摩擦作用而會顯著上升。

3 總結(jié)

常用的工程材料中都普遍存在著微裂紋。本章針對均質(zhì)材料，建立了一種可預(yù)測由微裂紋引起的摩擦阻尼模型，通過建立含單條微裂紋的摩擦阻尼單胞模型，分析了裂紋長度對于單胞摩擦耗能的影響。基于此單胞模型，建立了含有規(guī)則裂紋的懸臂梁模型，研究了裂紋長度和外載荷對于摩擦耗能和摩擦阻尼的影響。對比了常用工程材料的阻尼值，證明了對于低粘性的材料，例如鑄鐵等，由微裂紋引起的摩擦阻尼是不可忽略的。

[責(zé)任編輯：朱麗娜]