立方拋物線形斷面收縮水深的牛頓迭代公式

陳 誠，金 城，趙程程，王 潔，顏士開

（1．揚州大學 水利與能源動力工程學院，江蘇 揚州225009；2．鹽城響水船閘管理所，江蘇 響水224600；3．常熟市水利工程建設管理處，江蘇 常熟 215500）

科研與管理

立方拋物線形斷面收縮水深的牛頓迭代公式

陳 誠1，金 城2，趙程程3，王 潔1，顏士開1

（1．揚州大學 水利與能源動力工程學院，江蘇 揚州225009；2．鹽城響水船閘管理所，江蘇 響水224600；3．常熟市水利工程建設管理處，江蘇 常熟 215500）

建立立方拋物線形斷面收縮水深計算的牛頓迭代公式，誤差分析結果表明，其工程適用范圍內的最大相對誤差絕對值小于6.07×10-5%，平均相對誤差絕對值僅小于1.11×10-5%。該迭代公式收斂速度快，且形式較為簡捷，大大提高了計算效率，為工程設計及水工設計手冊的編制提供參考。

立方拋物線；收縮水深；牛頓迭代；誤差分析

隨著大型襯砌機的出現和使用，曲線型渠道斷面的施工變得越來越容易。由于曲線型渠道斷面的拐點較少或沒有拐點，因應力集中點導致的裂縫少，故相較于常見的梯型、矩型等斷面渠道，其滲漏量較少，同時由于其優良的水力學特性和結構穩定性，近年來得到越來越多的應用［1］。通過計算證明當拋物線斷面方程指數n=3.35時，對應的最優水力斷面為拋物線類渠道的最優斷面型式［2-3］，因而立方拋物線形斷面是工程中常用的拋物線形斷面中水力性能最優的。

泄水建筑物下游的收縮斷面水深（contracted water depth）是進行下游水流銜接狀態分析、消能工程設計的一個重要水力要素，在工程中應用十分頻繁且有較高的計算精度要求。立方拋物線形斷面收縮水深計算的實質為一元高次方程的求解，數學上無解析解。現有研究所運用的迭代公式收斂速度慢，計算精度提高不明顯［4-6］。本文擬引入牛頓迭代算法，得到一套高速收斂的牛頓迭代公式，且形式較為簡捷，可大幅提高計算效率，便于工程設計人員應用。

1 牛頓迭代公式建立

如圖1所示，立方拋物線形斷面的曲線方程為：

根據水力學原理，由能量守恒方程推得的收縮水深基本方程為：

式中 E0為以收縮斷面底部為基準面的過水建筑物上游總水頭（m）；hc為收縮斷面處的水深（m）；Q為過水流量（m3/s）；g為重力加速度，通常取9.81m/s2；φ為流速系數，一般取0.80～1.00；Ac為收縮斷面處的過水斷面面積（m2）。

引入無量綱收縮水深x和無量綱參數k：

由式（2），式（3），式（4），可推得立方拋物線形斷面無量綱收縮水深x的基本方程［4］：

根據式（6），令f（x）=x（1-x）3/8-1/k，則f（x）的一階導數為：

將f（x），f′（x）代入式（7）并整理，得關于無量綱收縮水深x的牛頓迭代公式：

2 誤差分析與精度評價

目前有關水利專家學者共計提出4套基于迭代法的立方拋物線形斷面收縮水深計算公式［4-6］，均通過引入無量綱參數來計算收縮水深，其中趙延風等［5］公式和滕凱［6］公式是拋物線類斷面收縮水深計算的通用公式，將n=3代入得到針對立方拋物線形斷面收縮水深計算的公式形式。

各類計算公式如表1。其中λ，ψ，k′為計算過程中引入的中間變量，其他符號意義同前文所述。本文以陳誠等［7］公式作為迭代初值計算公式，在此基礎上引入牛頓迭代公式進行計算。為驗證牛頓迭代公式的精確性，在［0.01，0.50］區間內以一定步長選取不同的xi，以此作為無量綱收縮水深的精確值x*，將其代入式（4）算得與之相對應的k值，將k作為已知參數代入近似公式，算得無量綱收縮水深的近似值，并根據式（9）計算相對誤差δ（保留至小數點后第六位數字），計算結果如圖2和表2。

表2 各類公式相對誤差

圖2 各類公式相對誤差分布圖（迭代1次）

根據圖2和表2，在工程適用范圍內，陳誠等［7］公式的最大相對誤差絕對值為0.117592%，經過1次迭代之后，最大相對誤差絕對值僅小于6.07×10-5%，精度提高近2000倍；以0.0001為步長，計算其在〔0.01，0.50〕區間內的4901個點的相對誤差，分別取絕對值之后計算平均值，得平均相對誤差絕對值小于1.11×10-5%，精度提高5000倍以上。

運用本文推得的牛頓迭代公式計算立方拋物線形斷面的收縮水深，收斂速度和精度遠遠高于其他各類迭代公式，可大幅提高計算效率。

3 結語

（1）從立方拋物線形斷面無量綱收縮水深的基本方程出發，基于牛頓迭代算法建立新的迭代公式，迭代1次之后的相對誤差絕對值小于6.07×10-5%，精度較迭代初值計算公式提高103以上，平均相對誤差絕對值僅小于1.11×10-5%。相比現有的通過對基本方程進行恒等變形建立的迭代公式，該迭代公式收斂速度快，計算精度高，大幅提高了計算效率，且形式較為簡潔。

（2）由于半立方、平方、二分之五次方［8］和立方拋物線形斷面的收縮水深基本方程形式類似，該迭代方法均可適用，本文引入的牛頓迭代算法在拋物線類斷面收縮水深的計算中具有較好的實用推廣價值。

［1］Easa SM．Improved channel cross section with two-segment parabolic sides and horizontal bottom［J］．Journal of Irrigation and Drainage Engineering，2009，135（3）：357-365．

［2］張麗偉，滕凱．拋物線形斷面最優水力參數及方程指數計算方法［J］．水利水電科技進展，2014，34（5）：65-68．

［3］范子龍，趙明登．冪律形水力最佳斷面設計與正常水深計算方法［J］．中國農村水利水電，2015（9）：157-159．

［4］冷暢儉，王正中．三次拋物線形渠道斷面收縮水深的計算公式［J］．長江科學院院報，2011，28（4）：29-31，35．

［5］趙延風，王正中，劉計良．拋物線類渠道斷面收縮水深的計算通式［J］．水力發電學報，2013，32（1）：126-131．

［6］代述兵，劉韓生，卞曉衛，等．三種拋物線形斷面收縮水深的直接計算公式［J］．長江科學院院報，2015，32（9）：90-93．

［7］陳誠，龔懿，王潔，等．立方拋物線形斷面收縮水深的直接計算研究［J］．中國農村水利水電，2017（2）：173-175，181．

［8］韓延成，徐征和，高學平，等．二分之五次方拋物線形明渠設計及提高水力特性效果［J］．農業工程學報，2017，33（4）：131-136．

（責任編輯：尹健婷）

New ton’s iterative formula for contracted water depth in cubic parabolic cross-sections

CHEN Cheng1，JIN Cheng2，ZHAO Cheng-cheng3，WANG Jie1，YAN Shi-kai1
（1.College of Hydraulic，Energy and Power Engineering，Yangzhou University，Yangzhou 225009，China；2.Xiangshui Ship Lock Control Station of Yancheng，Xiangshui224600，China；3.Water Conservancy Project Construction Management Office of Changshu，Changshu 215500，China）

Newton’s iteration formula was established for the calculation of contracted water depth in cubic parabolic crosssections.Results of error analysis indicated that themaximum absolute relative error in practical range was less than 6.07× 10-5%and the average absolute relative error was less than only 1.11×10-5%.The proposed iterative formula has fast convergence rate and brief form，thus perfectly improving the calculating efficiency，which would be used for engineering design practice and for the compilation of hydraulic structure design handbooks.

cubic parabolic；contracted water depth；Newton’s iteration；error analysis

TV131.4

：A

：1672-9900（2017）04-0001-03

2017-04-28

江蘇省普通高校研究生科研創新計劃項目（KYLX16_1397）

陳 誠（1993-），男（漢族），江蘇揚州人，碩士，主要從事農業水資源管理與環境保護研究，（Tel）18168650812。